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第六章 定积分
§6 -1 定积分的概念及性质
主要内容：
1. 定积分的概念。
2. 定积分的性质。
一、定积分的概念
1.问题的提出
不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题。 求不定积
分就是求导的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们
之间既有区别又有联系。现在先从例子“曲边梯形的面积”来
看定积分概念是怎样提出来的。
设 f (x) 为闭区间[a , b]上的连续函数，
y
y = f (x)
且 f (x)≥0， 如右图, 由曲线 y = f (x)、直
线 x = a、x = b 以及 x 轴所围成的平面
图形称为曲边梯形。
下面讨论曲边梯形的面积。
O
a
b
x
(1) 分割：如右图，在区间[a , b]内
y
y = f (x)
任取n -1个分点，它们依次为:
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xn-1 < xn = b
i
这些点把[a , b]分割成 n 个小区间[xi-1 , xi]，O a=x0 x1 xi-1 xi
xn=b x
i = 1,2, ···,n，在用直线 x = xi (i = 1,2, ···,n)把曲边梯形分割成 n
个小曲边梯形，其面积记为ΔAi (i = 1,2, ···,n)。
(2) 近似代替：在每个小区间[xi-1 , xi]上任取一点ξi ， 作以
f (ξi)为高, [xi-1 , xi]为底的小矩形， 当[a , b]分割的分点较多，
又分割的较细密时，由于 f (x) 为连续函数， 它在每个小区间上
的值变化不大， 从而可用这些小矩形的面积近似代替相应小曲
边梯形的面积，即
ΔAi ≈ f (ξi)Δxi (i = 1,2, ···,n)
(3) 求和：把 n 个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积 A
的近似值， 即： n
A   f ( i )xi
i 1
(xi  xi  xi 1 )
(4) 取极限：可以想象，分割越细，误差越小。于是当所有
小区间的长度趋向于零时，这个近似值就成为曲边梯形面积
的精确值了。即：
n
A  lim  f ( i )xi
 0
i 1
(  max{x1 , x2 ,, xn })
上面曲边梯形的面积问题最终归结为一个特定形式的和式
极限。在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，解决这类
问题的思想方法概括起来说就是“分割、近似代替、求和、
取极限”,
这就是产生定积分概念的背景。
2.定积分的定义
定义 设函数 f (x) 在区间[a , b]上有定义， 用点
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xn-1 < xn = b
把区间[a , b]分成 n 个小区间[xi-1 , xi] (i = 1,2, ···,n) ，其长度
为 Δxi = xi - xi-1 (i = 1,2, ···,n) ， 在每个小区间[xi-1 , xi]上任意
取一点ξi ， 作和式
n
 f ( )x
i 1
i
i
{xi } ，如果当 n 无
记  max
1 i  n
n
限增大时，极限 lim  f ( i )xi 存在， 则称函数 f (x) 在区间
 0
i 1
[a , b] 上可积，并称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的定
b
积分，记作 f ( x)dx , 即

a

b
a
n
f ( x)dx  lim  f ( i )xi
 0
i 1
其中 f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， [a , b]称为
积分区间，b 、 a 分别称为积分上限与下限，x 称为积分变量。
对于定积分的定义有如下几点说明：
(1) 定积分

b
a
f ( x)dx 作为积分和式的极限是一个常数，定
积分的值只与被积函数 f (x) 和积分区间[a , b]有关， 而与积
分变量的字母无关，即有

b
a
b
b
a
a
f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du
(2) 定积分的定义是在积分限 a < b 情况下给出的，对a = b、
a > b 的情况，补充如下规定：
b
当 a = b 时， f ( x)dx  0 ；
a
b
a
a
b
当 a > b 时， f ( x)dx   f ( x)dx 。
(3) 定积分的存在性： 当 f (x) 在[a , b]上连续或只有有限个
第一类间断点时，

b
a
f ( x)dx 必定存在。
3.定积分的几何意义
由定积分定义，不难得到它的几何意义如下：
y
若在区间[a , b]上 f (x) ≥ 0， 则定积
y = f (x)
b
分  f ( x)dx 在几何上表示由曲线y=f(x)、
a
A
直线 x = a、x = b 及 x 轴所围成的曲边
梯形的面积，如右图所示， 即
O
a
b
a
b
x
b
A   f ( x)dx
a
若在区间[a , b]上 f (x) ≤ 0， 此时由曲
线 y = f (x)、直线 x = a、x = b 及 x 轴所
y
O
x
A
围成的曲边梯形位于 x 轴下方， 则定积
分

b
a
f ( x)dx在几何上表示上述曲边梯形
y = f (x)
b
的面积的相反数，如右图所示， 即 A   f ( x)dx

a
若在区间[a , b]上 f (x) 既有正值又有负值， 则定
b
积分 a f ( x)dx 在几何上表示介于曲线 y = f (x)、直线
x = a、x = b 及 x 轴之间各部分曲边梯形面积的代数
和， 如下图所示， 即

b
a
f ( x)dx  A1  A2  A3
y
y = f (x)
A1
O
a
A3
A2
b
x
二、定积分的性质
由上可知，定积分是积分和式的极限， 因此，由极限的运
算法则，容易推导出以下一些简单性质， 其中被积函数在积分
区间上假设都是可积的。
性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，

即
b
a
b
kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a
性质2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，
即
b
b
a
a
 [ f ( x)  g ( x)]dx  
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
性质2可推广到有限多个函数代数和的情况，即
b
 [ f ( x)  f
1
a
2
( x)    f n ( x)]dx
b
b
b
a
a
a
  f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx     f n ( x)dx
b
c
b
性质3 如果 a < c < b， a f ( x)dx  a f ( x)dx  c f ( x)dx
性质3叫做定积分的区间可加性。
从定积分的几何意义直接可以看出它的正确性， 并且无
论a , b , c三点位置如何，该性质总成立。事实上，当a < b < c
时，如下图所示，从几何上直观看到：

b
a
c
c
c
b
a
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
性质4 在[a,b]上若 f (x) ≥g(x)， 则a f ( x)dx ≥

b
a
g ( x)dx
性质4说明：比较两个定积分大小， 只需在同一积分区间
上比较两个被积函数的大小。
性质5(估值定理) 如果函数 f (x) 可积，对任意 x∈[a , b]
恒有 m ≤ f (x) ≤ M，
m(b - a) ≤

b
a
则
f ( x)dx≤M(b - a)
性质5的几何意义是：
曲线 y = f (x) 在[a , b]上曲边梯形
的面积介于以区间[a , b]长度为底，
分别以 m 和 M 为高的两个矩形面积
之间，如右图所示。
性质6(积分中值定理)
如果函数 f (x) 在闭区间[a , b]上
连续，则至少存在一个点ξ∈[a , b]，

b
a
使得
f ( x)dx  f ( )(b  a)
性质6得几何意义是：
以区间[a , b]为底，以曲线 y = f (x) 为顶的曲边梯形面积
等于有同一底边而高为 m = f (ξ) 的矩形面积(ξ∈[a , b])。
如下图所示。
小结：
1.定积分的定义。
2.定积分的性质。
作业：