Transcript （1）求曲边梯形的面积

§3.3定积分
基础知识
自主学习
要点梳理
1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边
梯形的面积的具体步骤为分割 、近似代替、 求和 、
取极限 .
2.定积分的定义
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区
间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取
n
 f ( ) x
一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式 i 1 i
.当n→∞
时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做
 ba f分( x,) d记
x
函 数 f(x) 在 区 间 ［ a,b ］ 上 的 定 积
n ba
lim 
f ( i )
b
被积函数
作  a f ( x) d x ,ni 1 n
积分变量
=
积分区间
x称为
被积式
,其中f(x)称为
积分下限
,f(x)dx称为
，a为
，b为
,
积分上限
， ［a,b］为
，“
”
b
3.  a f ( x) d x
的实质
（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，
 ba f ( x) d x 表示
由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成
的曲边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义.
（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，
 ba f ( x) d x 表示
由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的
曲边梯形的面积的相反数.
(3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时，
 ba f ( x) d x 表
示介于x=a，x=b (a≠b)之间x轴之上、下相应的曲
边梯形的面积的代数和.
4.定积分的运算性质
(1) ba
(2) ba
b
k

k f ( x) d x = a f ( x) d x
.
.
[ f ( x)  g ( x)]d x= ba f ( x)dx  ba g( x) d x
(3) b f ( x) d x =  ca f ( x) d x   bc f ( x) d x(a ＜ c＜ .
a
5.微积分基本定理
b)
一般地，如果f（x）是区间［a，b］上的连续函数，
 ba f ( x) d x  F (b)  F.(a)
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱
并且F′(x)=f(x),那么
布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x) |ba .即
 ba f ( x) d x  F ( x) |ba  F (b)  F (a).
6.利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是求被
积函数的原函数，可将基本初等函数的导数公式逆
向使用.
7.定积分的简单应用
（1）求曲边梯形的面积
（2）匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速
度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的
b

定积分，即s= a v(t ) d t
.
(3)变力作功公式
一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线
运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到
x=b (a＜b)（单位：m),则力F所作的功为W=
 ba F ( x) d x .
基础自测
1.  0π sin xdx等于
A.0
解析
B.2π
（ D ）
C.π
 0π sin xdx  ( cos x) |0π
=-cosπ-(-cos 0)=1+1=2.
D.2
2.设f(x)=
x2(x≥0)
2x(x＜0)，则 11 f(x)dx的值是（ D ）
A.11 x2dx
C. 01 x2dx+ 10 2xdx
解析
B. 11 2xdx
D.  012xdx+ 10 x2dx
由分段函数的定义及积分运算的性质知：
11 f ( x) d x   01 f ( x) d x  10 f ( x) d x   01 2 x d x  10 x 2 d x.
3.如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭
合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积
是
（ B ）
B. 4
3
D.2
A.1
C. 3
解析 由
y=1，
y=-x2+2x+1
得x1=0,x2=2.
∴S=  02（-x2+2x+1-1）dx=  02（-x2+2x）dx
x3
8
4
 (  x 2 ) |02    4  .
3
3
3
4.曲线y=cos x（0≤x≤
是
A.2
B.3
解析
如图所示，
π
 02
3
π
2
cos x d x  |  π
2
 sin
π
x |02
 sin
 1  2  3.
3π
) 与坐标轴所围成的面积
2
（ B ）
C. 5
D.4
2
cos x d x |
3
π
2
x |π
2
5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为
（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x
轴），棒长为1，则棒的质量M为
（
A.1
解析
）
1
1
1
3
4
2
B.1 3
C.
1 4 1 1 D.
M   0 x d x  x |0  .
4
4
D
题型分类
题型一
深度剖析
利用微积分基本定理求定积分
【例1】(1) 12 (x2+2x+1) dx;(2)
 0π (sin x-cos x) dx;
2
2+ 1 ）dx;(4) 0 (cos x+ex) dx.
(3)（x-x
 π
1
x
思维启迪 先由定积分的性质将其分解成各个简单
函数的定积分,再利用微积分基本定理求解.
解
(1)12(x2+2x+1) dx
= 12 x2dx+ 12 2xdx+ 12 1·dx
3
x
2
2 2
2 19
=
|1  x |1  x |1  .
3
3
(2)  0π (sin x  cos x) d x   0π sin x d x   0π cos x d x
 ( cos x) |0π  sin x |0π  2.
1
2
2 2
21
x  ) d x  1 x d x  1 x d x  1 d x
x
x
x 2 2 x3 2
 |1  |1  ln x |12
2
3
3 7
5
   ln 2  ln 2  .
2 3
6
(4)  0 π (cos x  e x ) d x
(3) 12 ( x 
2
  0 π cos x d x   0 π e x d x
 sin x |0 π  e x |0 π  1 
1
.
π
e
探究提高
计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦
函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分
用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积
分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；
（4）利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分
的值；（5）计算原始定积分的值.
 ba f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函
数F（x）.其中F（x）可将基本初等函数的导数公
式逆向使用得到.
知能迁移1
求下列函数的定积分.
(1) 02(4x3+3x2-x)dx;
1
2
2x
(2) 1（e + ）dx;
x
π
x
(3)  2 sin2 dx.
0
2
解（1） 02(4x3+3x2-x) dx
=  02(4x3)dx+  02 (3x2) dx- 2 xdx
0
= x 4 |02  x 3 |02  1 x 2 |02
2
1 2
4
3
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2=22.

1  1 2x 
(2)  (ln x)  ,  e   e 2 x ,
x 2

2 2x 1
2 2x
21
 1 (e  ) d x  1 e d x  1 d x
x
x
1 2x 2
 e |1  ln x |12
2
1
1
 e 4  e 2  ln 2  ln 1
2
2
1
1
 e 4  e 2  ln 2.
2
2
π
2
0
π
x
1  co s x
(3)  sin
d x   02
dx
2
2
π
π
1
co s x
  02
d x   02
dx
2
2
π
π
1
1

x |02  sin x |02
2
2
π
0
1
π
(  )
(sin
 sin 0)
4
2
2
2
π
1

 .
4
2
2
题型二
求分段函数的定积分
【例2】计算下列定积分.
（1） 02 π |sin x|dx;(2) 02 |x2-1|dx.
思维启迪 对于第（1）小题，应对在区间［0，2π］
上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，
在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨
论.
解
（1）∵（-cos x）′=sin x，
∴  02 π|sin x|dx=  0π |sin x|dx+ 2π π |sin x|dx
  0π sin x d x   2π π sin x d x   cos x |0π  cos x |2π π
=-（cos π-cos 0）+（cos 2π-cos π）=4.
（2）∵0≤x≤2，于是|x2-1|=
x2-1(1＜x≤2)
1-x2(0≤x≤1)
10
12
21
2-1)dx
1(1-x
∴ ( x|x
-1|dx=
(x
3 1
3 2)dx+
2
 x ) |0 ( x  x) |1
3
3
1
1 3
1
 (1  )  (  2  2)  (  1)  2.
3
3
3
探究提高 当被积函数含有绝对值（或平方根）时，
 02
须按绝对值内的正、负号将定积分区间分段，然后
按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分
段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐
段积分.
x3
知能迁移2
（1）求函数f(x)=
(0≤x≤1)
x
(1＜x≤4),
2x-14 (4＜x≤5)
在区间［0，5］上的定积分；
12
(2)求
(3)求
π
|3-2x|dx;
2
 0 1  sin 2 x d x.
解
（1）由定积分性质知
 50 f ( x) d x  10 f ( x) d x  14 f ( x) d x   54 f ( x) d x
 10 x 3 d x  14 x d x   54 (2 x  14) d x
3
x4 1 2 2 4
2x
 |0  x |1  (
 14 x) |54
4
3
ln 2
1 16 2 32
16
   
 14  5  (
 14  4)
4 3 3 ln 2
ln 2
16 109


.
ln 2 12
3
2
1
(2)  | 3  2 x | d x   | 3  2 x | d x   23 | 3  2 x | d x
2
1
2
3
2
1
  (3  2 x)dx   23 (2 x  3) d x
2
3
2
1
1
 (3x  x 2 ) | ( x 2  3x) |23  .
2
2
(3)当x∈[0,
π
] 时,
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)2 =|sin x-cos x|
π
-sin x+cos x
（0≤x≤ ）
4
,
=
π
π
sin x-cos x
（
＜x≤
2
4
）
π
  02
1  sin 2 x d x 

π
 04

π
 04 ( sin
π
 02
| sin x  cos x | d x
| sin x  cos x | d x 
π
 π2
4
x  cos x) d x 
 (cos x  sin
π
x) |04
| sin x  cos x | d x
π
 π2 (sin
4
x  cos x) d x
 ( cos x  sin
π
x) | π2
4
π
π
 (cos  sin )  (cos 0  sin 0)
4
4
π
π
π
π
 ( cos  sin )  ( cos  sin )
2
2
4
4
2
2
2
2


 1  (1)  (
 )  2 2  2.
2
2
2
2
题型三
求曲边梯形的面积
【例3】求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图
形的面积.
思维启迪
画出图象→求出抛物线与x轴交点→
用定积分求面积.
解
作出直线x=2,曲线y=x2-1
的草图,所求面积为图中阴影
部分的面积.
由x2-1=0得抛物线与x轴的
交点坐标是(-1,0)和(1,0),
因此所求图形的面积为
S=  11 |x2-1|dx+ 12 (x2-1)dx
=  11(1-x2)dx+  12 (x2-1)dx
x3 1
x3
 ( x  ) |1 (  x) |12
3
3
1
1
1 3
1
 (1  )  (1  )  (  2  2) （  1）
3
3
3
3
1
1 8
 8
 1 1   2   .
3
3 3
3 3
探究提高 对于求平面图形的面积问题,应首先画
出平面图形的大概图形,然后根据图形特点,选择相
应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.
知能迁移3
求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面
图形的面积.
解
由方程组
y2=2x
y=4-x
解出抛物线和直线的交点为
（2，2）及(8,-4).
方法一
选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2
在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y= 2 x ,
下半支方程为y=  2 x ，所以
1
2
S A1   [ 2 x  ( 2 x )]d x  2 2  x d x
2
0
2
0
3
2
16
 2 2  x 2 |02  ,
3
3
S A2   82 [4  x  ( 2 x)]d x
3
1
2 2 2 8 38
 (4 x  x 2 
x ) |2  ,
2
3
3
16 38
于是： S  
 18.
3 3
方法二
选y作积分变量，
y2
将曲线方程写为x= 及x=4-y.
2
S
 24 [(4 
y2
y 2 y3 2
y )  ] d y  (4 y   ) |4  18.
2
2 6
题型四
定积分在物理中的应用
【例4】(12分)一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，
求此汽车在这1 min内所行驶的路程.
思维启迪
由题意知，在t∈［0，10）和t∈［40，
60）物体作匀变速直线运动，t∈［10，40）作匀
速运动，∴v（t）应为分段函数，应分三段求积分.
解
由速度—时间曲线易知，
3t，
v（t）= 30，
-1.5t+90，
t∈［0，10）
t∈［10，40）
t∈［40，60］
4
分
40
60
由变速直线运动的路程公式可得
s  10
3
t
d
t


30
d
t


0
10
40 ( 1.5t  90) d t
3 2 10
3 2
40
 t |0 30t |10 ( t  90t ) |60
40  1 350(m).
2
4
答
8分
11分
此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.12分
探究提高
用定积分解决变速运动的位置与路程问
题时，将物理问题转化为数学问题是关键.变速直
线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要
利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分
的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以
运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定
要细心，不要出现计算上的错误.
知能迁移4
一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x为
时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正
比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力做的功.
解
物体的速度v=x′(t)=(bt3)′=3bt2,
媒质阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.
（其中k为比例常数，k＞0)
1
当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=( a ) 3 ,
b
∴阻力做的功是：
W阻= 0a f阻dx=
 t01 kv2·vdt
27
7
t1 3
t1
2
3
= k  0v dt=k  0 (3bt ) dt=
kb13t
7
27 3 7 2 27 2 3 2
 k a b  ka ab .
7
7
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.求定积分的方法
（1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强.
（2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下：
①求被积函数f（x）的一个原函数F（x）；
②计算F（b）-F（a）.
（3）利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积
求定积分.
如：定积分 10 1  x 2 dx的几何意义是求单位圆面积
π
1
1
2

1

x
d
x

.
的 ，所以 0
4
4
2.求曲边多边形的面积
其步骤为：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的
大致图象.
（2）借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定
积分的上限、下限.
（3）将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和.
（4）计算定积分.
失误与防范
1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段
积分.
2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁
是被积变量.
3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下
限.
4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意:
面积非负，而定积分的结果可以为负.
5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面
积的求解变得简捷.
定时检测
一、选择题
π
2
1.  （sin x+cos x）dx的值是
π

（
2
A.0
解析
π
2
π
B.
C.2
4
π
 2 π (sin x  cos x) d x

2
  π sin x d x  

2
 ( cos x) |
π
2
π

2
π
2
π

2
cos x d x
 sin x |
π
2

π
2
π
π
π
π
  cos  cos(  )  sin  sin ( )
2
2
2
2
 1  (1)  2.
D.4
C
）
π
a π

2.若函数f(a)= 0 2（2+sin x)dx, 则f（f（ ））等
2
于
（ C ）
A.1
B.0
C.2π+3+cos 1
D.1-cos 1
解析
∵f(a)= 0a (2+sin x)dx
=(2x-cos x)|0a =2a-cos a+1,
∴f（π ）=π+1,
2 π
∴f（f（ ））=f(π+1)=2(π+1)-cos(π+1)+1
2
=2π+cos 1+3.
3.若  k0 (2x-3x2)dx=0,则k等于
A.0
B.1
C.0或1
D.以上均不对
解析
k
2）dx= k 2xdx- k 3x2dx
（2x-3x
0
0
0
 x 2 |k0  x3 |k0 =k2-k3=0，∴k=0或k=1.
（ C ）
4.设f（x）=
x2 ，
x∈［0，1］，
2-x，x∈（1，2］，
 02 f（x）dx等于
A.3
4
解析
则
（ C ）
B. 4
C. 5
D.不存在
6
5
本题应画图求解，更为清晰，
 02 f（x）dx=10 x2dx+12 （2-x）dx
1 31
1 2 2
 x |0 (2 x  x ) |1
3
2
1
1 5
  (4  2  2  )  .
3
2 6
5. 曲 线 y=cos x(0≤x≤3 π ) 与 坐 标 轴 围 成 的 面 积 是
2
（ C ）
B. 5
C.3
D.2
2
3π
解析 先作出y=cos x（0≤x≤ ）的图象，从图象
2
中可以看出
A.4
π
2
0
3π
2
π
2
S   cos x d x   cos x d x
π
2
0
 sin x |  sin x |
3π
2
π
2
π
3π
π
 sin 0  (sin
 sin )
2
2
2
 1  0  (1  1)  3.
 sin
6.一物体在变力F（x）=5-x2（力单位：N，位移单
位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运
动，则由x=1运动到x=2时F（x）作的功为
A. 3 J
解析
B.2 3J
C.4 3J
D.2 3 J
3
3
由于F（x）与位移方向成30°角.如图：F在
位移方向上的分力F′=F·cos 30°,
3 2
W   (5  x )  cos 30 d x 
1 (5  x 2 ) d x
2
3
1
3 8 4 3

(5 x  x 3 ) |12 
 
(J).
2
3
2 3
3
2
1
（ C ）
2

二、填空题
7. 
π
2 （1+cos
π

2
解析
x）dx= π+2 .
∵(x+sin x)′=1+cos x,
π
2
∴  π (1+cos x)dx=(x+sin x)

2
π
2
π

2
π
π
π
π
  sin  [  sin(  )]  π  2.
2
2
2
2
8. 10 (2xk+1)dx=2,则k= 1
.
解析 10 (2 x k  1) d x  ( 2 x k1  x) |10
k 1
2
2

 1  2,
 1, k  1.
k 1
k 1
9.(2008·山东理，14)设函数f(x)=ax2+c (a≠0),若
3
10 f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为3
.
a
 c,  ax02 ,
3
1
∵a≠0,∴ x02  ,又0≤x0≤1,∴x0= 3 .
3
3
解析
2
10(ax2+c)dx= ax0
三、解答题
10.计算下列定积分
（1）12 (2 x 2  1 ) d x;
x
（2） 32 ( x  1 ) 2 d x;
x
π
（3） 3 (sin x  sin 2 x) d x.
0
（1）  2 (2 x 2  1 ) d x  ( 2 x 3  ln x) |2
1
1
x
3
16
2 14
  ln 2    ln 2
3
3 3
解
(2)  32 ( x 
1 2
1
) d x   32 ( x   2) d x
x
x
1 2
 ( x  ln x  2 x) |32
2
9
 (  ln 3  6)  (2  ln 2  4)
2
3 9
 ln  .
2 2
π
3
0
π
(3)  (sin x  sin 2 x) d x  ( cos x  1 cos 2 x) | 3
0
2
1 1
1
1
 (  )  (1  )   .
2 4
2
4
11.已知f(x)为二次函数，且f(-1)=2,f′(0)=0,
10
f(x)dx=-2.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在［-1，1］上的最大值与最小值.
解
（1）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
则f′(x)=2ax+b.
，即
由f(-1)=2,f′(0)=0,得
a-b+c=2
c=2-a
b=0
b=0
∴f(x)=ax2+(2-a).
.
又 10 f(x)dx=10［ax2+(2-a)］dx
=[1ax3+(2-a)x]|10 =2- 2 a=-2.
3
3
∴a=6，∴c=-4.从而f(x)=6x2-4.
(2)∵f(x)=6x2-4,x∈［-1,1］,
所以当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2.
12.如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、
B，点P在抛物线上从A向B运动.
(1)求使△PAB的面积最大的P点的
坐标(a,b);
(2)证明由抛物线与线段AB围成的
图形，被直线x=a分为面积相等的
两部分.
y=4-x2
（1）解
解方程组
y=3x，
得x1=1,x2=-4.
∴抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为
A（1，3），B（-4，-12），
∴P点的横坐标a∈(-4,1).
| 3a  b |
点P（a,b)到直线y=3x的距离为d= 2 2 ,
1 3
∵P点在抛物线上，∴b=4-a2，
1
1
d′a=
·(4-3a-a2)′=
(-2a-3)=0,
10
10
3
∴a=- 32 ，即当a=- 2 时，d最大，
9 7
= ,
4 4
∴P点的坐标为（-
这时b=4-
3
2
, 7 ）时，△PAB的面积最大.
4
（2）证明
设上述抛物线与直线所围成图形的面积
为S,
3
右侧的面积为S1.
2
2-3x)dx= 125 ,
S= 1（4-x
4
6
2-3x)dx= 125 ,
S1= 1 （4-x
3

12
2
∴S=2S1,即直线x=- 3 平分抛物线与线段AB围成的图
2
位于x=-
形的面积.
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