Transcript 3.随机过程

通信原理
1
通信原理
第3章 随机过程
2
第3章 随机过程

3.1 随机过程的基本概念

一、定义

随机过程是一类随时间作随机变化的过程

它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度
看：

角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
3
第3章 随机过程
【例】n台示波器同时观测并记录 n 台接收机（性能
相同，工作条件相同）的输出噪声波形
 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时
间函数。

随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)}
是全部样本函数的集合。
 (t )
1 (t )
 2 (t )
 n (t )
0
t
4
第3章 随机过程

角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。

在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的
数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。

在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n}
是一个随机变量，记为 (t1)。

换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。

因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。

这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程

二、随机过程的分布函数


设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密
度函数来描述。
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 ( x1 , t1 )  P[ (t1 )  x1 ]

随机过程 (t)的一维概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 )
f1 ( x1 , t1 ) 
x1
若上式中的偏导存在的话。
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第3章 随机过程
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , )  P  (t1 )  x1 , (t 2 )  x2 
 随机过程 (t)的二维概率密度函数：

 2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 
x1  x2
若上式中的偏导存在的话。
 随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n )
 P  (t1 )  x1 ,  (t 2 )  x2 ,,  (t n )  xn 

随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
 n Fn ( x1，x2，
，x n；t1，t2，
，t n )
f n ( x1，x2，
，x n；t1，t2，
，t n ) 
x1x2 x n
7
第3章 随机过程

三、 随机过程的数字特征

均值（数学期望）：
在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值
E (t1 )   x1 f1 ( x1 , t1 )dx1


式中 f (x1, t1) －  (t1)的概率密度函数
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t，x1改为 x，
这样上式就变为
E (t ) 



xf1 ( x, t )dx
8
第3章 随机过程
E (t ) 



xf1 ( x, t )dx
 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
 (t )
a (t )，由各个时刻的平均值
连成的曲线
1 (t )
 2 (t )
 n (t )
0
t
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第3章 随机过程

方差


D[ (t )]  E [ (t )  a(t )]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为


Dξ t   E ξ 2 t   2a t ξ t   a 2 t 
 E[ξ 2 (t )]  2a t E ξ t   a 2 (t )
 E[ξ 2 (t )]  a 2 (t )

  x 2 f1 ( x, t )dx  [a(t )]2

均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随
机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
10
第3章 随机过程

相关函数与协方差函数

（自）相关函数
R(t1 , t 2 )  E[ (t1 ) (t 2 )]




 

x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中，  (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变
量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。
协方差函数
B(t1 , t 2 )  E[ (t1 )  a(t1 )][ (t 2 )  a(t 2 )]




 
[ x1  a(t1 )][x2  a(t 2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值
f2 (x1, x2; t1, t2) －  (t)的二维概率密度函数。
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第3章 随机过程


相关函数和协方差函数之间的关系
B(t1 , t 2 )  R(t1 , t 2 )  a(t1 ) a(t 2 )
若a(t1) = a(t2)= 0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
互相关函数
R (t1 , t 2 )  E[ (t1 )(t 2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。
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第3章 随机过程

3.2 平稳随机过程

一、平稳随机过程的定义

定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与
时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和
所有实数，有
f n ( x1 , x 2 ,, x n ；t1 , t 2 ,, t n )
 f n ( x1 , x2 ,, xn；t1  , t 2  ,, t n  )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，
简称严平稳随机过程。
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第3章 随机过程

性质：
该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的
推移而改变


它的一维分布函数与时间 t 无关： f1 ( x1 , t1 )  f1 ( x1 )
而二维分布函数只与时间间隔  = t2 – t1 有关：
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )  f 2 ( x1 , x2 ; )

数字特征：
E (t )   x1 f1 ( x1 )dx1  a


R(t1 , t 2 )  E[ (t1 ) (t1   )]




 
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2  R( )
可见，（1）其均值与 t 无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔  有关。
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第3章 随机过程

广义平稳：
根据严平稳的数字特征，
E (t )   x1 f1 ( x1 )dx1  a


R(t1 , t 2 )  E[ (t1 ) (t1   )]




 
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2  R( )
（1）其均值与t 无关，为常数a ；
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随
机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反
之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为
平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的
15
实际意义。
第3章 随机过程

二、各态历经性
问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、
相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，
但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自
然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一
个样本函数 x(t) 来决定平稳过程的数字特征?
 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一
个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又
称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征
（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的
时间平均值来代替。
 下面，我们来讨论各态历经性的条件。

16
第3章 随机过程

各态历经性条件
设：x(t)是平稳过程 (t) 的任意一次实现（样本），
则其时间均值和时间相关函数分别定义为：
1
a  x(t )  lim
T  T

T /2
T / 2
x(t )dt
1
R ( )  x(t ) x(t   )  lim
T  T

T /2
T / 2
x(t ) x(t   )dt
如果平稳过程使下式成立

aa

 R ( )  R ( )
则称该平稳过程具有各态历经性。
17
第3章 随机过程

“各态历经”的含义是：


随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能
状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数
等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，
用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，
从而使测量和计算的问题大为简化。
具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一
定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般
均能满足各态历经条件。
18
第3章 随机过程

[例3-1] 设一个随机相位的正弦波为
 (t )  A cos( c t   )
其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机
变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
2
1
d
0
2
A 2

(cos c t cos   sin c t sin  )d

0
2
a(t )  E[ (t )]   A cos(  c t   )
2
2
A

[cos c t  cos d  sin c t  sin d ]  0
0
0
2
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第3章 随机过程
自相关函数
R(t1 , t 2 )  E[ (t1 ) (t 2 )]
 E[ A cos(ct1   )  A cos(ct 2   )]
A2

E{cosc (t2  t1 )  cos[c (t 2  t1 )  2 ]}
2
A2
A 2 2
1

cosc (t 2  t1 ) 
cos[c (t2  t1 )  2 ]
d

0
2
2
2
2
A

cosc (t 2  t1 )  0
2
令t2 – t1 = ，得到
A2
R(t1 , t 2 ) 
cos c  R( )
2
可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，
只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。
20
第3章 随机过程
(2) 求(t)的时间平均值
1 T2
a  lim T A cos( c t   )dt  0
T  T
2
1 T2
R( )  lim T A cos( c t   )  A cos[ c (t   )   ]dt
T  T
2
T
A2 T 2
 lim
{T coscdt  T2 cos(2ct  c  2 )dt}
T  2T
2
2
A2

cosc
2
比较统计平均与时间平均，有
a  a , R( )  R ( )
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
21
第3章 随机过程
证明某过程满足各态历经性的一般方法：
1、先证明是广义平稳的
a.
E t   常数
b.
R  R 
2、再证明其满足各态历经性（求时间均值）
a.
aa
b.
R   R 
22
第3章 随机过程

三、平稳过程的自相关函数
平稳过程自相关函数的定义：R   E t  t   
 平稳过程自相关函数的性质


R(0)  E[ 2 (t )] — (t) 的平均功率

R( )  R( )
—  的偶函数

R( )  R(0)
— R() 的上界
即自相关函数 R() 在  = 0 有最大值。

R()  E 2 [ (t )]  a 2 — (t) 的直流功率

R(0)  R()   2
表示平稳过程 (t) 的交流功率。当均值为 0 时，有
R(0) = 2 。
23
第3章 随机过程

四、平稳过程的功率谱密度

定义：

对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为
Pf ( f )  l i m
FT ( f )
2
T
T 
式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数
f (t )
fT (t )
T

2
0
T
2
t
24
第3章 随机过程

对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样
本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计
平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为


P ( f )  E Pf ( f )  l i m
T 
E FT ( f )
2
T
25
第3章 随机过程

功率谱密度的计算

维纳-辛钦关系
非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度
是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即
有

 j
P     R ( ) e

1
R ( ) 
2
简记为



d
P ( ) e j d
R( )  P ( f )
以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应
用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析
方法的基本关系式。
26
第3章 随机过程

在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：

对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：

R(0)   P ( f )df

上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。

各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的
功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很
好地表现整个过程的的谱特性。
【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的
自相关函数，即 R( )  R( )
两边取傅里叶变换： F[R( )]  F[R( )]
P ( f )  Pf ( f )
即
式中
R( )  P ( f )
R    Pf ( f )
27
第3章 随机过程

功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有
P ( f )  0
和
P ( f )  P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
28
第3章 随机过程

[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct +  )的自相关函数
和功率谱密度。
【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个
平稳过程，并且求出其相关函数为
A2
R( ) 
cos c
2
因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶
变换，即有 R( )  P ( )
cos c   [ (   c )   (   c )]
A 2
所以，功率谱密度为 P ( ) 
[ (   c )   (   c )]
2
以及由于有
平均功率为 S  R(0)  1
A2
P ( )d 
2 
2

29
第3章 随机过程

功率谱密度的意义

可用来描述随机过程的频域特性

可用来描述通信系统中的滤波器及其它器件对信号与噪
声的影响

PSD的积分面积等于平稳过程的总功率

与相关函数构成一对傅里叶变换，从而建立起频域与时
域之间的联系
30
第3章 随机过程

功率谱密度的求法

求统计平均
直接法：由定义求
fT( t ) 的频谱函数
P  f   lim
T 
E FT  f 
2
T
f ( t ) 的截短函数
随机过程(t)的任一样本（属于功率型确定信号）

间接法：先求自相关函数，再进行傅里叶变换

P  f    R e  j 2f d

31
第3章 随机过程

3.3 高斯随机过程（正态随机过程）

3.3.1 定义

如果随机过程  (t) 的任意 n 维（n =1,2,...）分布均
服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

n 维正态概率密度函数表示式为：
f n ( x1 , x2 ,..., xn；t1 , t 2 ,...,t n )
1


exp
1/ 2
2B
(2 ) n / 2  1 2 ... n B
1
n
n

j 1 k 1
x j  a j xk  a k
B jk (
)(
)
j
k

式中 ak  E[ (tk )], k2  E[ (tk )  ak ]2
32
第3章 随机过程
式中 |B| － 归一化协方差矩阵的行列式，即
B 
b12 b1n
1  b2 n
1
b21


bn1 bn 2


 1
|B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余因子
bjk － 为归一化协方差函数，即
E{[ (t j )  a j ][ (tk )  ak ]}
b jk 
 j k
33
第3章 随机过程

3.3.2 重要性质

1、由高斯过程的定义式可以看出，高斯过程的 n
维分布只依赖各个随机变量的均值、方差（一阶统
计特性）和归一化协方差（二阶统计特性）。因此，
对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。

2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的。

因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间
无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起
点无关，则它的 n 维分布也与时间起点无关，故它
也是严平稳的。
34
第3章 随机过程

3、如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么
它们也是统计独立的
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有
j  k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为

n
f n ( x1, x2 ,...,xn ; t1, t2 ,...,tn )  
k 1
1
( xk  ak )2
exp[
]
2
2 k
2  k
 f ( x1 , t1 )  f ( x2 , t 2 )   f ( xn , t n )

4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程

也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出
也是高斯过程。
35
第3章 随机过程

3.3.3 高斯随机变量

一维概率密度函数

定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布
的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函
数为
 ( x  a) 2 
1
f ( x) 
exp  

2
2

式中
2


a － 均值
f ( x)
 2 － 方差
1
2
曲线如右图：
o
a
x
36
第3章 随机过程

f ( x)
性质
2 
 f (x)对称于直线 x = a，即
1
f a  x   f a  x 





a



f ( x)dx  1
o

f ( x)dx   f ( x)dx 
a
x
a
1
2
a 表示分布中心，  称为标准偏差，表示集中程度，
图形将随着 的减小而变高和变窄。
当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布：
 x2 
1
f ( x) 
exp   
2
 2
37
第3章 随机过程

一维分布函数——正态分布函数

在数字系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变
量 ξ 小于或等于某一取值 x 的概率 P(ξ ≤x)。它就等于概率密
度函数 f (x) 的积分，
即
x
 ( z  a) 2 
1
F ( x)  P(  x)  
exp 
dz

2

2
 2 
这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数
表示，然后用查表的方法求出。
38
第3章 随机过程

用误差函数表示 正态分布函数
a、误差函数
t  ( z  a) / 2
令

则有 dz  2 dt
于是 F x   1  2
2
 
 xa 

2
e dt
1 1
 xa
  erf 

2 2  2 
式中
t 2
(x ≥ a )
2 x t 2
erf ( x) 
e dt

0

——误差函数，可以查表（P473）求出其值
erf (x) 是增函数， erf (0)=0， erf (∞)=1，且 erf (−x)= −erf (x)
39
第3章 随机过程

b、互补误差函数
F ( x)  1 
式中
1
 xa
erfc

2
 2 
x≤a
2  t 2
erfc( x)  1  erf ( x) 
e dt

x

当 x > 2时可取近似，
erfc( x) 
1
x 
e
 x2
erfc (x) 是减函数， erfc (0)=1， erfc (∞)=0，
且 erfc(− x)= 2−erfc (x)
40
第3章 随机过程
于是，用误差函数表示 正态分布函数为
1 1
 xa
,　x  a
  erf 
2 2
 2 
F x   
1  1 erfc x  a ,　x  a
 2
 2 
用误差函数表示 F(x)的好处是便于数值计算，它特性简明，
有助于分析通信系统的抗噪声性能。

还可以用 Q 函数来表示，处理方法与误差函数类似，请大
家自己看书。
41
第3章 随机过程

3.4 平稳随机过程通过线性系统

确知信号通过线性系统（复习） ：

vo (t )  h(t )  vi (t )   hi ( )v(t   )d

式中 vi － 输入信号， vo － 输出信号
对应的傅里叶变换关系：Vo ( f )  H ( f )Vi ( f )


随机信号通过线性系统：o (t )   h( )i (t  )d
假设：i(t) －是输入，为平稳随机过程，
a －均值，
Ri() － 自相关函数，
Pi() － 功率谱密度；
求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函
数、功率谱以及概率分布。
43

第3章 随机过程

输出过程 o(t) 的均值
对下式两边取统计平均：

o (t )   h( )i (t  )d

得到
E[o (t )]  E



h( )i (t  )d
   h( )E[i (t  )]d

设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t   )]  E[ i (t )]  a

E[ 0 (t )]  a   h( )d  a  H (0)

式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出
过程的均值是一个常数。相对于输入放大了H(0)倍。
44
第3章 随机过程

输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义
Ro (t1 , t1   )  E[ o (t1 ) o (t1   )]
 E

 





 
h( )i (t1   )d  h(  )i (t1     )d


h( )h(  ) E[i (t1   )i (t1     )]dd
根据输入过程的平稳性，有
E[ i (t1   ) i (t1     )]  Ri (     )
于是
Ro (t1 , t1   )  



 
h( )h( ) Ri (     )dd  Ro ( )
上式表明，输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。
由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是
平稳的。
45
第3章 随机过程

输出过程o(t)的功率谱密度
对下式进行傅里叶变换（维纳-辛钦关系）
：
 
Ro (t1 , t1   )  
得出

 
h( )h( ) Ri (     )dd  Ro ( )

Po ( f )   Ro ( )e  j d




   h( )h(  ) R (     )dd  e  jωτ d
i
  

令  =  +  - ，代入上式，得到

即
Po ( f )   h( )e

j

d  h( )e

 j

d  Ri ( )e
'
 j '
d '

Po ( f )  H  ( f )  H ( f )  Pi ( f )  H ( f ) Pi ( f )
2
结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘
以系统频率响应模值的平方。
46
应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()
第3章 随机过程

输出过程o(t)的概率分布

如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过
程也是高斯型的。

因为从积分原理看，  0 (t )   h( ) i (t   )d
可以表示为：
 0 (t )  lim
 k 0

 (t 
k 0
i
k
)h( k ) k
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变
量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机变
量，因而输出过程也为高斯过程。
注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征可能不同。
47
第3章 随机过程

3.5 窄带随机过程

一、什么是窄带随机过程？
若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率
fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f << fc
的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带
随机过程。
可表示为
f  f c

 f c  0
48
第3章 随机过程

典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数
49
第3章 随机过程

二、窄带随机过程的表示式

包络 – 相位形式（准正弦表示式）
 (t )  a (t ) cos[c t   (t )] , a (t )  0
式中，
a (t) —— 随机包络，
 (t) —— 随机相位，
c
—— 中心角频率
a (t)和 (t)的变化相对于载波 cosct 的变化要缓
慢得多。
50
第3章 随机过程
同相 – 正交形式（莱斯表示式）
将前述准正弦表示式展开
 (t )  a (t ) cos[c t   (t )] , a (t )  0

可以展开为
 (t )   c (t ) cos c t   s (t ) sin  c t
式中
 c (t )  a (t ) cos (t )
－ (t)的同相分量
 s (t )  a (t ) sin  (t ) － (t)的正交分量
可以看出：
(t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确
定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)
的统计特性也随之确定。
51
第3章 随机过程

三、1. c(t)和s(t)的统计特性
下面假设(t) 均值为 0，方差为 2

得到
数学期望：对下式求数学期望：
 (t )   c (t ) cos c t   s (t ) sin  c t
E (t )  E[ c (t )]cosc t  E[ s (t )]sin c t
因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有
E[(t)] = 0 ，所以
E[ c (t )]  0， E[ s (t )]  0
52
第3章 随机过程

(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式
R (t, t   )  E[ (t ) (t   )]  Rc (t , t   ) cos c t cos c (t   )
 Rcs (t , t   ) cos c t sin  c (t   )
 Rsc (t , t   ) sin  c t cos c (t   )
 Rs (t , t   ) sin  c t sin  c (t   )
式中 Rc (t , t   )  E[ c (t ) c (t   )]
Rcs (t , t   )  E[ c (t ) s (t   )]
Rsc (t , t   )  E[ s (t ) c (t   )]
Rs (t , t   )  E[ s (t ) s (t   )]
因为(t)是平稳的，故有 R (t, t   )  R( )
这就要求上式的右端与时间 t 无关，而仅与  有关。
因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为
R ( )  Rc (t, t   ) cos c  Rcs (t , t   ) sin  c
53
第3章 随机过程
R ( )  Rc (t, t   ) cos c  Rcs (t, t   ) sin c
因与时间 t 无关，以下二式自然成立
Rc (t , t   )  Rc ( )
Rcs (t , t   )  Rcs ( )
所以，上式变为
R ( )  Rc ( ) cosc  Rcs ( ) sin c
再令 t = π/2c，同理可以求得
R ( )  Rs ( ) cosc  Rsc ( ) sin c
所以， R (t)与时间起点无关，只与时间间隔  有关。
由以上分析可知 ，若窄带过程 (t) 是平稳的，则c(t)和s(t)
也必然是平稳的。
54
第3章 随机过程

进一步分析，下两式
R ( )  Rc ( ) cosc  Rcs ( ) sin c
R ( )  Rs ( ) cosc  Rsc ( ) sin c
应同时成立，故有
Rc ( )  Rs ( )
Rcs ( )  Rsc ( )
上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。
根据互相关函数的性质，应有 Rcs ( )  Rsc ( )
代入上式，得到
Rsc ( )  Rsc ( )
上式表明Rsc()是 的奇函数，所以 Rsc (0)  0
同理可证 Rcs (0)  0
55
第3章 随机过程
Rsc (0)  0
将
代入下两式
Rcs (0)  0
R ( )  Rc ( ) cosc  Rcs ( ) sin  c
R ( )  Rs ( ) cosc  Rsc ( ) sin c
得到
R (0)  Rc (0)  Rs (0)
 2   c2   s2
即
上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。
56
第3章 随机过程

根据平稳性，过程的特性与变量 t 无关，故由式
 (t )   c (t ) cos c t   s (t ) sin  c t
得到
t  t1  0 时,  (t1 )   c (t1 )

t  t2 
时,  (t 2 )   s (t 2 )
2c
因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机
变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。

根据
Rcs (0)  0
可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯
型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。
57
第3章 随机过程

结论 1
一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量
c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为
零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是
互不相关的或统计独立的。即有：
E  t   E  c t   E  s t 
 c2   s2   2
Rcs 0   Rsc 0   0
58
第3章 随机过程

三、2. a(t)和(t)的统计特性

联合概率密度函数 f (a ,  )
根据概率论知识有
f (a ,   )  f ( c ,  s )
  a cos

由  c 
 s  a sin  
可以求得
 ( c , s )
 ( a ,  )
 c
a

 c
 
 ( c , s )
 (a ,   )
 c2   s2
1
f ( c ,  s )  f ( c )  f ( s ) 
exp[
]
2
2
2 
2 
 s
cos  
sin  
a

 a
 s
 a sin   a cos  
 
59
第3章 随机过程
于是有
 (a cos  ) 2  (a sin   ) 2 
f (a ,   )  a f ( c ,  s ) 
exp

2
2 
2 


a
 a2 

exp
2
2 
2 
 2  
a
式中
a  0,
 = (0 ~ 2π)
60
第3章 随机过程

a的一维概率密度函数
 a2 
f (a )   f (a ,   )d   
exp
d 
2
2 
 2  

0 2 

 a2 
 2 exp
2 

2


 

a
2
a
a  0
可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。
61
第3章 随机过程

的一维概率密度函数

 a2
1 a
f (  )   f (a ,   )da 
exp 
2

 2 2
2




0
0

1

0     2
2


da


可见， 服从均匀分布。
62
第3章 随机过程

结论 2
一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其
包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布
是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计
独立的 ，即有
 a2 
f (a )  2 exp
,　a ０
2

 2  
1
f ( ) 
, 0    2
2
f (a ,  )  f (a )  f ( )
a
63
第3章 随机过程

3.6 正弦波加窄带高斯噪声

一、正弦波加窄带高斯噪声的表示式
r (t )  A cos( c t   )  n(t )
式中
n(t )  nc (t ) cos c t  ns (t ) sin  c t
－ 窄带高斯噪声
 － 正弦波的随机相位，均匀分布在0 ～2间
A和c － 确知振幅和角频率
于是有 r (t )  [ A cos  nc (t )]cos c t  [ A sin   ns (t )]sin  c t
 z c (t ) cos c t  z S (t ) sin  c t
 z (t ) cos[ c t   (t )]
式中 zc (t )  A cos  nc (t )
z s (t )  A sin   ns (t )
64
第3章 随机过程

正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式
包络：
z (t )  z c2 (t )  z s2 (t ) , z  0
相位：
1 z s (t )
 (t )  tg
, (0    2 )
z c (t )
65
第3章 随机过程

二、正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性

1、包络的概率密度函数 f (z)
利用上一节的结果，如果 值已给定，则zc、zs是相互
独立的高斯随机变量，且有 E[ z ]  A cos
c
E[ z s ]  A sin 
 c2   s2   n2
所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度
函数为
f ( zc , z s /  ) 
 1
2
2 
exp

(
z

A
cos

)

(
z

A
sin

)


c
s
2
2 n2
2

n


1


66
第3章 随机过程
利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间
的随机变量关系  z c  z cos 
 z s  z sin 
可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数
f ( z,  /  )  f ( z c , z s /  )
( z c, z s )
( z, )
 z  f ( zc , z s /  )
 1

2
2
exp

z

A

2
Az
cos(



)


2
2 n2
2

n


z



然后求给定条件下的边际分布， 即
f (z / )  
2
0
f ( z,  /  )d
 z 2  A2

exp 
2
2 n
2 n2

z
 2
 Az

   exp 2 cos(   ) d
0

 n

67
第3章 随机过程
由于
故有
1
2
1
2

2
0

2
0
exp x cos  d  I 0 ( x)
 Az

 Az 
exp 2 cos(   ) d  I 0  2 
 n

 n 
式中
I0(x) － 第一类零阶修正贝塞尔函数
因此
 1
 Az 
2
2 
f ( z /  )  2  exp
( z  A ) I 0  2 
2
n
 2 n
  n 
z
由上式可见，f (, z)与无关，故包络z的概率密度函数为
 1
 Az 
2
2 
f ( z )  2 exp
( z  A ) I 0  2 
2
n
 2 n
  n 
z
z0
－称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。
68
第3章 随机过程
f ( z) 

 1
 Az 
2
2 
exp

(
z

A
)
I

 0  2 
2
2
n
 2 n
  n 
z
z0
讨论

小信号时，即A  0时，上式中(Az/n2)很小，
I0 (Az/n2)  1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。

大信号时，(Az/n2)很大，有
I 0 ( x) 
这时上式近似为高斯分布，即
ex
2x
 ( z  A) 2 

f ( z) 
 exp  
2 
2 n 
2  n

1
69
第3章 随机过程

3.7 高斯白噪声和带限白噪声

白噪声 n (t)

定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，
即
n
Pn ( f ) 
或
0
2
Pn ( f )  n0
(  f  )
－ 双边功率谱密度
(0  f  )
－ 单边功率谱密度
式中 n0 － 正常数
72
第3章 随机过程

白噪声的自相关函数
n0
R( )   ( )
2
对双边功率谱密度取傅里叶反变换
73
第3章 随机过程

白噪声的功率
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即

或
n0
R(0)  
df  
 2
n0
R ( 0)   ( 0)  
2
因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种
理想化的噪声形式。
74
第3章 随机过程

讨论

白噪声只有在 τ = 0（同一时刻）时才相关，而在其它任
意两个时刻上的随机变量都是不相关的。

实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大
于通信系统的工作频带，就可以把它看作白噪声。

如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高
斯白噪声。

高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不
仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
75
第3章 随机过程

低通白噪声
定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想
低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。
 功率谱密度
 n



 0
f  fH
Pn ( f )   2

其它
 0
功率谱密度被限制在 | f |  fH 内，通常把这样的噪声也
称为带限白噪声。
自相关函数
R( )  n0 f H
sin 2f H 
2f H 
76
第3章 随机过程

功率谱密度和自相关函数曲线

由曲线看出，这种带限白噪声只有在
  k / 2 f H (k  1,2,3, )
上得到的随机变量才不相关。
77
第3章 随机过程

带通白噪声
定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想
带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。
 功率谱密度

设理想带通滤波器的传输特性为

1
H( f )  

0
式中
fc 
B
B
 f  fc 
2
2
其他f
fc － 中心频率，B － 通带宽度
则其输出噪声的功率谱密度为
 n0

Pn ( f )   2

0
fc 
B
B
 f  fc 
2
2
其它f
78
第3章 随机过程

自相关函数

R( )   Pn ( f )e

 n0 B
j 2 f
B
2
B
 fc 
2
df 
 fc 
n0 j 2 f
e
df 
2
B
2
B
fc 
2

fc 
n0 j 2f
e
df
2
sin B
cos 2f c
B
79
第3章 随机过程

带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线
80
第3章 随机过程

窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，
相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。
 窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节窄带随
机过程。
 平均功率
N  n0 B

81

3.8 小节
82
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编著）配套课件制作。课件中原有的文字、图片和动画版
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