第二章随机过程

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第 2 章随机过程
2.1随机过程的基本概念和统计特性
2.2平稳随机过程
2.3高斯随机过程
2.4随机过程通过线性系统
2.5窄带随机过程
2.6信道与噪声
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
图 2- 1样本函数的总体
一、随机过程的定义
设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有一条时间
波形(称为样本函数或实现),记作xi(t),所有可能出现的结
果的总体{x1(t), x2(t), …, xn(t), …}就构成一随机过程,记作
X(t)。简言之, 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
它兼有随机变量和时间函数的特点。
二、随机过程的统计特性
随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的
方法, 来描述它的统计特性。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过
程的统计特性, 但在实际工作中,有时不易或不需求出分布函
数和概率密度函数,而用随机过程的数字特征来描述随机过
程的统计特性,更简单直观。
1. 数学期望
设随机过程X(t)在任意给定时刻t1的取值X(t1)是一个随机
变量,其概率密度函数为p1(x1, t1),则X(t1)的数学期望为

E[ X (t1 )]   x1 p1 ( x1 , t1 )dx1

注意,这里t1是任取的,所以可以把t1直接写为t, x1改为x,
这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望,记作a(t),
于是

a(t )  E[ X (t )]   x p1 ( x, t )dx

a(t)是时间t的函数,它表示随机过程的n个样本函数曲线
的摆动中心。
2. 方差
 2 (t )  D[ X (t )]  E[ X (t )  a(t )]2 

  [ x  a(t )]2 p1 ( x;t )dx

D[X(t)]常记为σ2(t)。它表示随机过程在时刻t对于均
值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维
概率密度函数有关,因而它们描述了随机过程在各个
孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻
状态之间的联系, 还需利用二维概率密度引入新的数
字特征。
3.
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关
联程度时,常用协方差函数C(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
C (t1 , t2 )  E[ X (t1 )  a(t1 )][X (t2 )  a(t2 )]




 
[ x1  a(t1 )][x2  a(t2 )] p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )  E[ X (t1 ) X (t1 )]




 
x1 x2 p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
本书主要采用自相关函数。
2.2
一、定义
统计特性不随时间的推移而变化。
设随机过程{X(t),t∈T}, 若对于任意n和任意选定t1 <t2
<…<tn, tk∈T, k=1, 2, …, n,以及n为任意值,且x1, x2, …,
xn∈R,
pn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=pn(x1, x2, …, xn; t1+τ, t2+ τ, …, tn+ τ)
则称X(t)是平稳随机过程。
该定义说明,当取样点在时间轴上作任意平移时,随机过
程的所有有限维分布函数是不变的, 具体到它的一维分布,
则与时间t无关,而二维分布只与时间间隔τ有关,即有
p1(x1, t1)=p1(x1)
p2(x1, x2; t1, t2)=p2(x1, x2; τ)

E[ X (t )]   x p1 ( x , t )dx  a

R(t1 , t2 )  E[ X (t1 ) X (t1   )]




 
x1 x2 p2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2  R()
这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。
同样,可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=常数,表示它的
起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程X(t)的自
相关函数尽与时间间隔有关。
设有一个随机过程X(t),它的均值为常数,自相关函数仅
是τ的函数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
相应地,由严格的n维概率密度函数定义的过程为严平稳随机
过程或狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只
涉及与一维、 二维概率密度有关的数字特征,所以一个严平
稳随机过程只要它的均方值E[X2(t)]有界,则它必定是广义
平稳随机过程,但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机
过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外,均假定是平稳的,
且均指广义平稳随机过程, 简称平稳过程。
二、平稳随机过程自相关函数的性质
对于平稳随机过程而言, 它的自相关函数是特别重要的
一个函数。其一,平稳随机过程的统计特性,如数字特征等,
可通过自相关函数来描述;其二,自相关函数与平稳随机过
程的谱特性有着内在的联系。
设X(t)为实平稳随机过程, 则它的自相关函数
R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]
具有下列主要性质:
(1)R(0)=E[X2(t)]=S
(X(t)的平均功率)
(2)R(∞)=E2[X(t)]
(X(t)的直流功率)
(3)|R(τ)|≤R(0)
(R(τ)的上界)
三、各态历经性
假设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现,它的时间
均值和时间相关函数分别为
a  x(t )  lim
T 
1 T /2
x(t )dt


T
/
2
T
R( )  x(t ) x(t   )  lim
T 
1 T /2
x(t ) x(t   )dt

T T / 2
如果平稳随机过程依概率1使下式成立:
aa
R( )  R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义:随机过程中的任一实现都经历了随
机过程的所有可能状态。因此, 我们无需(实际中也不可能)
获得大量用来计算统计平均的样本函数,而只需从任意一个随
机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征, 从而使
“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大
为简化。
注意: 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程,
但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到
的随机信号和噪声, 一般均能满足各态历经条件。
四、平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。
随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而
对于任意的确定功率信号x(t),它的功率谱密度为
Px (w)  lim
T 
X T (w)
T
2
图 2-2 功率信号x(t)及其截短函数
随机过程的功率谱密度应该是每一样本的统计平均值
2
PX (w)  E[ Px ( )]  lim
E[ X T (W ) ]
T 
1
P
2

1
 p()d  2
T

 lim

T 
E X T ()
T
2
d
为方便求功率谱密度函数可利用维纳--辛钦关系

PX ( )   R( )e  jw d

例 2 - 1某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ),其中A和ωc
均为常数,θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。
(1) 求X(t)的自相关函数与功率谱密度;
(2) 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解
(1) 先考察X(t)是否广义平稳。
X(t)的数学期望为
2
a(t )  E[ X (t )]   A cos( wc t   )
0
A

2

2
0
1
d
2
(cos wct cos   sin wct sin  )d
2
2
A
 [cos wct  (cos d  sin wct  sin  )d ]  0(常数)
0
0
2
X(t)的自相关函数为
R(t1 , t 2 )  E[ X (t1 ) X (t 2 )]
 E[ A cos(wct1   ) A cos(wct2   )]
A2

E{cos wc (t2  t1 )  cos[wc (t2  t1 )  2 ]}
2
A2
A2

cos wc (t2  t1 ) 
2
2

2
0
1
cos[wc (t2  t1 )  2 ] d
2
A2

cos wc (t2  t1 )  0
2
由此可见X(t)的数学期望为常数, 而自相关函数只与时
间间隔τ有关, 所以X(t)为广义平稳随机过程。
根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里
叶变换,即R(τ)↔PX(ω),则
cosc   [ (  c )   (  c )]
所以,功率谱密度为
A2
PX ( ) 
[ (  c )   (  c )]
2
(2) 现在来求X(t)的时间平均:
a  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
A cos(wct   )dt  0
R( )  lim
T 
1 T /2
A cos(wct   )  A cos(wct (t   )   ]dt


T
/
2
T
T /2
A2 T / 2
 lim
[  cos wc dt   cos(2wct  wc  2 )dt]
T / 2
T / 2
T  2T
A2

coswc
2
比较统计平均与时间平均,得a=
此,随机相位余弦波是各态历经的。
a
, R(τ)= R( ) , 因
2.3高斯随机过程
一、定义
若随机过程X(t)的任意n维(n=1, 2, …)分布都是正态分
布,则称它为高斯随机过程或正态过程。
1
( x  a) 2
p ( x) 
exp[
]
2
2
2 
式中,a为高斯随机变量的数学期望,σ2为方差。
图2-3 正态分布的概率
二、
(1) 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、
方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此,对于高
斯过程,只要研究它的数字特征就可以了。
(2) 如果高斯过程是广义平稳的,则它的均值与时间无
关,协方差函数只与时间间隔有关,而与时间起点无关,由
性质(1)知,它的n维分布与时间起点无关。 所以,广义平
稳的高斯过程也是狭义平稳的。
(3) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的, 那么
它们也是统计独立的
(4) 高斯过程通过线性系统其输出仍是一高斯过程。
三、一维高斯分布
( x  a) 2
exp(
)
2
2
2
1
p ( x) 
p(x)具有如下特性:
(1) p(x)对称于x=a这条直线。
(2)

且有

p( x)dx  1


a

p( x)dx  

a
1
p( x)dx 
2
3) a表示分布中心,σ表示集中程度,p(x)图形将随着σ
的减小而变高和变窄。当a=0,σ=1时,称p(x)为标准正态分
布的密度函数。
4)正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分,
即
F ( x)  p ( X  C )  

C
1
( x  a) 2
exp[
]dx
2
2
2
这个积分无法用闭合形式计算,我们要设法把这个积分
式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来,一
般常用以下几种特殊函数:
(1) 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为
erf ( x) 
2


x
0
t 2
e dt
它是自变量的递增函数,erf(0)=0,erf(∞)=1,且erf(-x)=erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数,记为erfc(x), 即
erfc( x)  1  erf ( x) 
2



x
t 2
e dt
它是自变量的递减函数,erfc(0)=1,erfc(∞)=0,且erfc(x)=2-erfc(x)。当x >2时(实际应用中只要x>2)即可近似有
erfc( x ) 
1
x
e
 x2
(2) 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为
1
Q( x) 
2


x
e
t 2 / 2
dt, x  0
1
x
Q ( x )  erfc( )
2
2
erfc( x)  2Q( 2x)
 X a
F ( X  C )  Q

  
四、高斯白噪声
信号在信道中传输时, 常会遇到这样一类噪声, 它的功
率谱密度均匀分布在整个频率范围内,即
n0
pn ( ) 
2
,它是一个理想的宽带随机过程。
式中n0为一常数,单位是瓦/赫。显然,白噪声的自相关函数
可借助于下式求得,即
n0
R( )   ( )
2
2.4随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号,信号和系统总是联系在一起的。
通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论
中我们必然会遇到这样的问题:随机过程通过系统(或网络)
后,输出过程将是什么样的过程?
这里,我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。
随机信号通过线性系统的分析,完全是建立在确知信号通过线
性系统的分析原理的基础之上的。
线性系统的响应r(t)等于输入信号e(t)与系统的单位冲激响
应h(t)的卷积,即

r (t )  e(t ) * h(t )   e( )h(t   )d

若 r(t)↔R(ω), e(t)↔E(ω), h(t)↔H(ω),则有
R(ω)=H(ω)E(ω)
若线性系统是物理可实现的,则
r(t)=
t
 r ( )h(t   )d

如果把e(t)看作是输入随机过程的一个样本,则r(t)可看作
是输出随机过程的一个样本。显然,输入过程X(t)的每个样本
与输出过程Y(t)的相应样本之间都满足上述关系。这样,就整
个过程而言,便有

Y (t )  X (t ) * h(t )   h( ) X (t   )d
0
Y(t)=


0
h( ) X (t   )d
假定输入X(t)是平稳随机过程, 现在来分析系统的输出过
程Y(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关
函数及功率谱密度,然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程Y(t)的数学期望


0
0
E[Y (t )]   h( ) E[X (t  )]d  a   h( )d
式中利用了平稳性假设E[X(t-τ)]=E[X(t)]=a(常数)。
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望
与直流传递函数H(0)的乘积,且E[Y(t)]与t无关。
2. 输出过程Y(t)的自相关函数
RY (t1 , t1   )  E[Y (t1 )Y (t1   )]


0
0
 E[ h(a) X i (t1  a)da h( ) X i (t1     )dd ]


0


0
h(a)h( ) E[ X i (t1  a) X i (t1     )]dd ]
根据平稳性
E[Xi(t1-α)Xi(t1+τ-β)]=RX(τ+α-β)
有RY(t1, t1+τ)=


0
0
X(τ+α-β) dαdβ=RY(τ)
 h(α)h(β)R

可见, Y(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点
t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明,
若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳
的。
3. 输出过程Y(t)的功率谱密度

pY (w)   RY ( )e  jw d





 0
令

0
    

则有 PY ( )   h(a)e
0
即
[h(a)h( ) R X (     )dad ]e  jw d
jwa

d  h( )e
0
 jw

d  RX ( )e jwr d 

PY ( )  H ( )  H ( )  PX ( )  H ( ) PX ( )

2
例 2 带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过
理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声
平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt
w  wH
0
其他
解 由上式得|H(ω)|2= K02 ,|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
n
2, |ω|≤ωH
K·02
PY(ω)=|H(ω)|2PX(ω)=
可见, 输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的, 在此
范围外则为零,如图 2 - 5(a)所示,通常把这样的噪声称为带
限白噪声。其自相关函数为
1
RY ( ) 
2



PX ( w)e jw dw
n0 j 2f
 K
e
df
 fH
2
fH
2
0
sin wH 
 k n0 f H
wH 
2
0
Po ()
Ro ()
n0 2
K
2 0
K0 n 0 fH
2
1
£ - 2f
H
£ -fH
O
fH
f
1
2fH
O
图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数

如图 2 - 5(b)所示,带限白噪声的自相关函数Ro (τ)在τ=0 处
有最大值,这就是带限白噪声的平均功率:
2
Ro(0)= k0 n0fH
2.5窄带随机过程
随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出,即是窄
带过程。
窄带系统,是指其通带宽度Δf<<fc,且fc远离零频率的系
统。实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统
的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪声又是随机
的,则称它们为窄带随机过程。
如用示波器观察一个实现的波形,它是一个频率近似为
fc,包络和相位随机缓变的正弦波。
窄带过程的频谱和波形示意
一、窄带随机过程的数学表示
X (t )  AX (t ) cos[ct   X (t )]
若
X I (t )  AX (t ) cos X (t )
X Q (t )  AX (t ) sin  X (t )
则
同相分量
X (t )  AI (t ) cosct  X Q (t ) sin ct
正交分量
二、同相和正交分量的统计特性
设窄带过程X(t)是平稳高斯窄带过程,且均值为零,
方差为σX2。
1. 数学期望
E[ X (t )]  E[ X I (t ) cosct  X Q (t ) sin ct ]  0
则有:
E[ X I (t )]  0
E[ X Q (t )]  0
2. 自相关函数
RX (t , t   )  E[ X (t ) X (t   )]
RX (t , t   )  E{[ X I (t ) cosct  X Q (t ) sin ct ] 
[ X I (t   ) cosc (t   )  X Q (t   ) sin c (t   )]}
其中:
RX (t , t   )  RX ( )
若t=0
RI(t, t+τ)=RI(τ)
RIQ(t, t+τ)=RIQ (τ)
若t=Π/2wc
RQ(t, t+τ)=RQ(τ)
RQI(t, t+τ)=RQI(τ)
如果窄带过程X(t)是平稳的,则XI(t)与XQ(t)也必将
是平稳的。
3. 平均功率
RI(0)=RQ(0)=RX(0)
即σX2=σI2=σQ2
这表明X(t)、XQ(t)和XI(t)具有相同的平均功率或方差
(因为均值为0)。
4. 分布情况
因为X(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量, 故有
取t=t1=0 时,X(t1)=XI(t1)
取t=t2=π/2ωc时,X(t2)=XQ(t2)
所以XI(t1),XQ(t2)也是高斯随机变量,从而XI(t)、XQ(t)
也是高斯随机过程。
重要结论:一个均值为零的窄带平稳高斯过程X(t),它的
同相分量XI(t)和正交分量XQ(t)也是平稳高斯过程, 而且均
值都为零,方差也相同。
5. 功率谱密度
PX (  c )  PX (  c ),W    W
PI ()  PQ ()  
0
, other

2.6
信道与噪声
一、信道定义、分类、模型
二、恒参信道特性及其对所传信号的影响
三、随参信道特性及其对所传信号的影响
四、信道的容量
一、信道定义、分类、模型
1.定义:以传输媒质为基础的信号的通路。
2.分类:

有线
狭义仅指传输媒质
无线


编码信道

广义设备  媒质
恒参信道


调制信道


随参信道


二、信道的数学模型
1〉调制信道模型:时变线性网络
编码器
输出
ei(t)
调
制
器
发转
换器
信道
时变线性
网络
收转
换器
eo(t)
e0(t)=f[ei(t)]+n(t)=K(t)ei(t)+n(t)
其中,K(t)为乘性干扰,n(t)为加性干扰
解
调
器
译码器
输入
信道的加性噪声
1.信道内噪声
信  人为噪声
信  单频噪声
号 
号 
来  自然噪声
性  脉冲噪声
源 
质 
 内部噪声
 起伏噪声
2.随机信号分析
 (1)随机过程的一般表述

随机信号和噪声统称随机过程
信道噪声
按噪声的性质,可将噪声分为:
(1)单频噪声
(2)脉冲噪声
(3)起伏噪声
(1)单频噪声
单频噪声是一种连续波的干扰,主要是指无
线电噪声,还有电源的交流声、信道内设备的自
激震荡、高频电炉干扰等也在此类之列。这种噪
声的主要特点是其频谱集中在某个频率附近较窄
的范围之内,干扰的频率可以通过实测来确定。
因此,单频噪声并不是在所有通信系统中都存在,
且只要采取适当的措施便可能防止或削弱其对通
信的影响。
(2)脉冲噪声
脉冲噪声是在时间上无规则地突发的短
促噪声,如工业上的点火辐射、闪电及偶
然的碰撞和电气开关通断等产生的噪声。
这种噪声的特点是其突发的脉冲幅度大,
但持续时间短,且相邻突发脉冲之间有较
长的平静期。从频谱上看,脉冲噪声通常
有较宽的频谱(从甚低频到高频)。脉冲
噪声主要影响数字信道(编码信道),而
对模拟信道(调制信道)的影响比较小。
(3)起伏噪声
起伏噪声是最基本的噪声来源,是普遍存在
和不可避免的,其波形随时间作不规律的随机变
化,且具有很宽的频谱,主要包括信道内元器件
所产生的热噪声、散弹噪声和宇宙噪声。从它的
统计特性来看,可认为起伏噪声是一种高斯噪声,
且在相当宽的频率范围内且有平坦的功率密度谱,
可称其为白噪声,故而起伏噪声又可表述为高斯
白噪声。
 热噪声
 散弹噪声
 宇宙噪声
起伏噪声--热噪声
热噪声是由于导体中组成传导电流的自由
电子无规则的热运动而引起的。在任何时刻通
过导体每个截面的电子数目的代数和是不等于
零的,即由自由电子的随机热骚动带来一个大
小和方向都不确定(随机)的电流——起伏电
流(噪声电流),它们流过导体就产生一个与
其电阻成正比的随时间而变化的电压——起伏
电压(噪声电压)。
起伏噪声--散弹噪声
散弹噪声又称散粒噪声或颗粒噪声,是
1918年肖特基研究此类噪声时,根据打在靶子
上的子弹的噪声而命名的。
散弹噪声出现在电子管和半导体器件中,电
子管中的散弹噪声是由阴极表面发射电子的不
均匀性引起的。
起伏噪声--宇宙噪声
宇宙噪声是指天体辐射波对接收机形成的噪
声,它在整个空间的分布是不均匀的,最强的
来自银河系的中部,其强度与季节、频率等因
素有关。
实测表明,在20~300MHz的频率范围内,它
的强度与频率的三次方成反比。
实践证明,宇宙噪声也是服从高斯分布的。
在一般的工作频率范围内,它也具有平坦的功
率谱密度。
2〉编码信道模型:转移概率描述
P(1/1)
1
1
P(0/0)=1-P(1/0)
P(1/0 )
P(0/1)
P(1/1)=1-P(0/1)
0
0
P(0/0)
三、恒参信道特性及其对所传信号的影响
1.恒参信道特性
 K(t)〜t 不变或变化缓慢
 可等效为一个线性非时变网络用传递函数H(w)描述
H ( )  H ( ) e

不失真条件:
j ( )
H(w)〜w
成一水平线
 ( w)〜w

 ( w) 〜w
成线性关系
成一水平线
2.对信号传输的影响:线性畸变(幅度、相位)
四、 随参信道特性及其对所传信号的影响
1.随参信道特性: K(t)〜t 变化快
2.随参信道的传输媒质的三个特点:
(1)对信号的衰耗随时间而变;
(2)传输的时延随时间而变;
(3)多径传播。
3.对信号的影响:衰落与扩散
4.改进措施:分集接收
四、信道容量—信道可能传输的最大信息速率
S
C  B log 2 (1  )( bit / s)
N

作业:2.5 2.8 2.10 2.13