Transcript 第一节期望
4.1
4.2
期 望
方 差
4.3
协方差与相关系数
4.4
矩和协方差矩阵
第4章 数字特征
4.1 期望
教学要求
与
重点难点
教学内容
第4章 数字特征
教
学
要
求
与
重
点
、
难
点
理解数学期望的概念
掌握数学期望的性质和计算
公式
重点：数学期望的概念及计算
难点：数学期望的计算
第4章 数字特征
4.1 期望
一、期望的概念
二、期望的性质
三、随机变量函数的期望
四、小结
五、思考与练习
第4章 数字特征
一、期望的概念
赌博提前结束分配赌金问题
参赌人：法国贵族公子梅尔及其赌友
赌金：各押32金币
梅尔赢
赢的条件：梅尔先掷出3个6点
赌友赢
赌友先掷出3个4点
现况：梅尔已掷出2个6点，赌友掷出1个4点，
赌博因故中止
问：两人如何分配64枚金币？
第4章 数字特征
对梅尔不公平
方案1
64枚金币平均分
64枚金币全给梅尔
方案3
梅尔得2/3,赌友得1/3
梅尔得3/4,赌友得1/4
第4章 数字特征
对赌友不
公平
方案2
最佳方案
方案4
1. 离散型随机变量的期望
定义 设 离 散 型 随 机 变 量
X 的分布律为
P{ X x i } pi , i 1,2, .
i 1
i 1
若 级 数 x i pi 绝 对 收 敛, 则 称 级 数 x i pi
为 随 机 变 量X 的 数 学 期 望, 记 为 E ( X ). 即
E ( X ) x i pi .
i 1
第4章 数字特征
例1 某人有一笔资金，可投入三个项目：房产、
地产和商业，现在假设投入到3个项目的资金分
别为房产X、地产Y和商业Z，其收益和市场状态
有关，若把未来市场划分为好、中、差三个等级，
X
其发生的概率分别为
p1 0.2, p2 0.7, p3 0.1
根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种
投资的年收益（万元），见表4-1：
第4章 数字特征
表4-1 各种投资年收益分布表
好
中
差
p1 0.2
p2 0.7
p3 0.1
房产
11
3
-3
地产
6
4
-1
商业
10
2
-2
第4章 数字特征
请问：该投资者如何投资好？
解 由投资问题知，数学期望如下:
E X 11 0.2 3 0.7 - 3 0.1 4.0
EY 6 0.2 4 0.7 - 1 0.1 3.9
EZ 10 0.2 2 0.7 - 2 0.1 3.2
，
由期望可知，投资房产的平均收益最大，
如果仅仅考虑的是收益，则可能选择房产。但投
资有风险，若收益的波动大，风险也大，只有收
益与风险综合权衡，才是比较好的投资策略。
.
第4章 数字特征
2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量
X 的 概 率 密 度 为f ( x ),
若积分
x f ( x) d x
绝 对 收 敛, 则 称 积 分 x f ( x ) d x 的 值 为 随 机
变 量 X 的 数 学 期 望, 记 为 E ( X ) . 即
E ( X ) x f ( x ) d x.
第4章 数字特征
例2 设某商店经销商品的利润X的概率密度为
2(1 x ), 0 x 1,
f ( x)
其他.
0,
试求E(X).
解
E( X ) x f ( x) d x
1
0
1
x 2(1 x )d x .
3
第4章 数字特征
例3 设随机变量X服从柯西分布,其概率密度为
1
f ( x)
, x .
2
(1 x )
说明E(X)不存在.
解
由于积分
| x | dx
x f x dx
(1 x 2 )
xdx 1
2
1 x
1
0
第4章 数字特征
0
xdx
2
1 x
2
0
2
d
1
x
1
0 1 x2
xdx
2
1 x
1
2
1
2
ln 1 x lim ln 1 x
0 x
lim
ln 1 x
2
x f x dx发散，因而由期望的定义可知,
x
1
E(X)不存在.
第4章 数字特征
二、期望的性质
1. 设 C 是常数, 则
E (C ) C .
2. 设 X 是一个随机变量,k 是常数, 则
E (kX ) kE( X ).
3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
第4章 数字特征
三、随机变量函数的期望
1. 离散型随机变量函数的期望
例4 设随机变量 X 的分布律为
X xi
1
0
P{ X xi } pi
14
1
14
14
2
14
若 Y g( X ) X 2 , 求 E (Y ).
解 先求 Y X 2 的分布律
Y X2
0
1
4
p
14
12
14
第4章 数字特征
则有 E (Y ) E ( g( X )) E ( X 2 )
0 p2 1 ( p1 p2 ) 4 p4
1
1
2 1
2 1
2 1
0 1 1 2 1 .
4
4
4
4
2
因此离散型随机变量函数的数学期望为
若 Y=g(X), 且 P{ X xi } pi , i 1, 2,,
则有
E ( g( X )) g( xi ) pi .
i 1
第4章 数字特征
2. 连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
E ( g( X )) g( x ) f ( x ) d x.
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X ,Y 为离散型随机变量 , g ( x , y ) 为二元函
数,则
E g X ,Y g xi , y j p ij .
i 1 j 1
其中 ( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
第4章 数字特征
( 2) 设 X , Y 为连续型随机变量, g( x , y ) 为二元函
数, 则
E[ g( X , Y )]
g( x , y ) f ( x , y ) d x d y .
其中 ( X ,Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y ).
第4章 数字特征
常用离散型随机变量的期望
1.两点分布：X ∼ B(1, p), 0 < p < 1，则
E(X)= 1p + 0(1-p) = p .
2.二项分布：X ∼ B(n, p)，
其中 0 < p < 1，则 E ( X ) np.
由两点分布和二项分布的关系知，若随机变量
X1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i ~ B 1, p ,
E Xi p i 1, 2,
由期望的性质，得
,n , X X1 X 2
n
Xn .
E X E X i np.
第4章 数字特征
i 1
例5 某种产品次品率为 0.1.检验员每天检验 4
次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现
次品数大于 1, 就调整设备. 若各件产品是否为
次品相互独立, 求一天中调整设备次数的期望.
解 用X 表示10件产品中的次品数，则
X~B(10, 0.1)，
每次检验后需要调整设备的概率为
p P{ X 1} 1 P{ X 1}
1 P{ X 0} P{ X 1}
1 0.910 10 0.1 0.99 0.2639 .
第4章 数字特征
用 Y 表示一天中调整设备的次数，则
Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望
E (Y ) np 4 0.2639 1.0556.
第4章 数字特征
3.泊松分布 X ∼ P(),其中 > 0 ,则 E(X)= .
P X k
E( X ) k
k 0
e
k
k!
e
k
k!
e
e
k
k 1
k 1!
k 1
k ! e e
k 0
第4章 数字特征
4.X ~ U[a, b], 则
ab
E( X )
；
2
5.X 服从参数为 λ 的指数分布，则
1
E( X ) ；
2
N
(
,
) ，则
6.若X 服从
E( X ) .
第4章 数字特征
5.设 X 服从参数为 的指数分布概率密度函数为
e x , x 0,
f ( x)
x 0.
0,
E ( X ) xf ( x)dx
xe
x
0
第4章 数字特征
dx
1
．
6.正态分布
设 X ~ N ( , 2 )，概率密度函数为
1
f ( x)
e
2
设Y
X
( x )2
2 2
, x
则随机变量
，
Y ~ N (0,1)
其概率密度函数为
1
f ( y) , e
2
y2
2
， y
第4章 数字特征
E (Y )
y f ( y)dy
y
e
2
y2
2
dy 0
利用期望的性质,得
E ( X ) E ( Y )
E (Y )
.
第4章 数字特征
已知某地区成年男子身高X~ N (1.68,
2 ),
E ( X ) 1.68.
这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分
别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为
1.68。
第4章 数字特征
例6 设某型号电子管的寿命X服从指数分布,
平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}.
解 由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X
的概率密度为
0.001e 0.001 x , x 0,
f ( x)
x 0.
0,
P{1000 X 1200}
1200
1000
0.001e 0.001 x d x
e 1 e 2 0.067.
第4章 数字特征
例7 设 X ∼ N(0 , 1)，求 E(X2)．
x2
1
2
2
2
解 E( X )
x
e
dx
2
1
1
xe
2
0 1 1.
2
2
x
2
x de
1
e
2
第4章 数字特征
x2
2
x2
2
dx
由已知条件, 知X的概率密度函为
1
， x [2000，4000]，
2000
f ( x)
0， 其他.
4000
2000
E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx
1
g( x )dx
2000
4000
1 t
(4
x
t
)
dx
3
tdx
t
2000 2000
1
( 2t 2 14000t 8 106 )
2000
第4章 数字特征
例 8 设国际市场上对我国某种出口商品
每年的需求量是随机变量X(单位: 吨).X服
从区间[2000, 4000] 上的均匀分布。每销
售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；
若销售不出, 则每吨商品需贮存费1万元.求
应组织多少货源，才能使国家收益最大?
解 设组织货源 t 吨.显然，应要求
2000≤t ≤4000.国家收益Y(单位:万元)是X 的
函数Y=g(X).表达式为
3t ,
g( X )
3 X (t X ),
第4章 数字特征
X t,
X t.
可算得当 t = 3500 时，
E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106.
因此，应组织3500吨货源.
第4章 数字特征
设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布
为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则：
E[ g( X , Y )]
g( x , y
i 1 j 1
i
j
) pij .
设二维连续型随机向量(X,Y)的
密度函数为 f (x, y), 则:
E[ g( X , Y )]
g( x, y ) f ( x, y ) dxdy.
第4章 数字特征
例9设随机变量X和Y相互独立，概率密度分
别为
4e 4 x , x 0,
2e 2 y , y 0,
f X ( x)
fY ( y )
其他；
其他.
0,
0,
求 E(XY).
解
因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立.
第4章 数字特征
所以，
E[ g( X , Y )]
0
0
xyf X ( x ) fY ( y)dxdy
xy 4e
4 xe
4 x
0
2e
2 y
dx 2 ye
1 1 1
.
4 2 8
第4章 数字特征
4 x
0
dxdy
2 y
dy
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种
加权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取
可能值的真正的平均值.
2. 数学期望的性质
1o E (C ) C ;
2 E (CX ) CE ( X );
o
3o E ( X Y ) E ( X ) E (Y );
4
o
X ,Y 独立 E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
第4章 数字特征
五、思考与练习
写出下列随机试验的样本空间.
1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.
2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品
的总件数.
答案
1. 1 {3, 4, 5,
, 18}.
2. 2 {10, 11, 12,
第4章 数字特征
}.