Transcript 第二章：随机信号分析

第二章 随机信号分析
2.1 信号的傅立叶展开
 设有周期信号：f ( t )  f ( t  nT0 )
形式一：
f (t ) 

a0

2
an 
bn 
a0
2
是
2
T
2
T
 [a
n
cos(
n 1


T /2
T / 2
f ( t ) cos(
T0
2 n
t )  b n sin(
2 n
t )]
T0
t ) dt , n  0,1, 2, ...
T0
T /2
T / 2
2 n
f ( t ) sin(
2 n
t ) dt , n  0,1, 2, ...
T0
f ( t 的平均值（直流分量）。
)
1
形式二：
f (t ) 
a0

 [d

2
dn 
cos(
n
2 n
T0
n 1
a n  bn
2
 n   arctan(
t   n )]
2
bn
), n  0,1, 2, ...
an
形式三：在形式一上应用欧拉公式：
cos x 
1
(e
jx
e
 jx
), sin x 
2
f (t ) 

(e
jx
e
 jx
)
2j
j 2 n

得：
1
cn e
t
T0
n  
cn 
1
T0

T0 / 2
 T0 / 2

f ( t )e
j 2 n
T0
t
dt , n  0,  1,  2, ...
2
 对非周期信号，令周期T ，定义
F ( f )  lim
T 

f (t ) e
 j 2  ft
T
dt 



f (t ) e
 j 2  ft
dt
称为傅立叶正变换。
 可以证明：
f (t ) 



F ( f )e
j 2  ft
df
称为傅立叶逆变换。
3
2.2 确知信号的频域性质
 信号在数学上可以使用一个时间函数表示。确知信号的取
值在任何时间都是确定的和可预知的。
 按有无周期重复性，确知信号可以分为周期信号和非周期
信号。若周期信号的周期为T0，称 f0=1/T0为信号的基频。
按照能量是否有限，信号（包括确知和非确知信号）可以
分为能量信号和功率信号。
 信号功率 通常将信号电流在单位电阻上消耗的功率（即
归一化功率）定义为信号的功率，用电流或电压的平方表
示。用函数s(t) 描述信号电流或电压的时间波形时，信号的
能量是信号瞬时功率的积分：
E 



2
s ( t )d t
4
 能量信号 当信号的能量 E 是一个正的有穷值 (即0<E<)
时，称信号是一个能量信号。
 信号的平均功率 定义信号的平均功率为
P  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
2
s ( t )dt
 从上式可见，能量信号的平均功率为0。
 功率信号 实际通信系统的信号具备有限的功率和有限的
持续时间，因而具有有限的能量。当信号持续的时间足够
长时（如广播信号），可以近似认为信号具有无限长的持
续时间。此时，上述定义的平均功率 P 是一个正的有穷值
(即 0<P<) ，其能量被近似为无穷大。称信号是一个功率
信号。
5
 确知信号的频率特性由其各个频率分量的分布描述，是信
号最为重要的性质之一，它和信号占用带宽以及抗噪能力
密切相关。
 确知信号频率特性包括功率信号的频谱、能量信号的频谱
密度、能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度。
6
1. 功率信号的频谱
 设s(t)是一个周期为T0的周期性功率信号，定义其频谱函数
为：
C n  C ( nf 0 ) 
1

T0
T0 / 2
 T0 / 2
s (t ) e
 j 2  nf 0 t
dt
 式中，f0=1/T0，n为正数， <n <+，C(nf0)表示C 是 n f0
的函数，简记为Cn。
 由傅里叶级数展开式可知，
j 2 n

s (t ) 

cn e
t
T0
n  
 n =0 时获得s(t)的直流分量
C0 
1
T0

T0 / 2
 T0 / 2
s ( t ) dt
7
 数学上Cn是一个复数，称为在频率f0上信号分量的复振幅。
可写作：
C n | C n | e
j n
式中，|Cn|为信号分量的振幅， n 为信号分量的相位。Cn
和Cn是一对共轭复数，即nf0上和 nf0的模（振幅）相等，
相位相反。因此频谱函数的振幅谱是偶对称的，相位谱是
奇对称的。
振幅谱
相位谱
8
 对周期功率信号，其频谱函数Cn是离散的，只在f0的整数倍
上取值。 n 取负数时，看作Cn 在负频率上有值，因此Cn 称
为双边频谱。双边谱中的负频率只在数学上有意义。
 物理上的实信号的频谱（或称单边频谱）和数学上的双边
频谱函数存在联系。由傅立叶展开形式二：

s (t )  C 0 
[
a n  b n cos(
2
2
2 n
T0
n 1
知道实信号的n 次谐波的振幅为
a n  bn
2
t   n )]
2
可以证明，数学上复数形式频谱函数n 次谐波的振幅为
| C n | | C  n |
1
2
a n  bn
2
2
9
 按照欧拉公式展开Cn ：
C n  C ( nf 0 ) 

1
T0

1
T0


T0 / 2
 T0 / 2
T0 / 2
 T0 / 2
1
T0

Cn 
T0

 T0 / 2
s (t ) e
 j 2  nf 0 t
dt
s ( t )[cos(2  nf 0 t )  j sin(2  nf 0 t )]dt
s ( t ) cos(2  nf 0 t )dt  j
S(t) 是偶信号时， 
1
T0 / 2
T0 / 2
 T0 / 2
T0 / 2
 T0 / 2
1
T0

T0 / 2
 T0 / 2
s ( t ) sin(2  nf 0 t )dt
s ( t ) sin(2  nf 0 t )dt  0 ，此时有：
s ( t ) cos(2  nf 0 t )dt
为实函数。
否则Cn为复函数。
10
 例 ：求图示周期性方波的频谱。
s (t )
V
T


0

2
Cn 


1
T
 /2

V e
 /2
j  n f 0
Ve
 j 2 nf0t
j 2 n f 0
V
 n
T
dt 
 j  n f 0
T
Sa (
2
1
T
e

t
T
[
V
 n f 0T
V
j 2 n f 0
e
 j 2 nf0t
] / 2/ 2
sin  n f 0
)
T
11
 其频谱是一个实函数。
12
2. 能量信号的频谱密度
 设s(t)是一个能量信号，定义其频谱密度函数为其傅立叶变
换：

S( f ) 


s (t ) e
 j 2  ft
dt
 在S(f) 上施加傅立叶逆变换得到原信号：
s (t ) 



S ( f )e
j 2  ft
df
 Cn 和S(f) 的比较： Cn是离散谱，单位V； 而S(f)而是连续谱，
单位V/Hz。功率信号的功率有限，但能量无限，在无限多
的离散频率点上有确定的非0振幅；能量信号的能量有限，
并分布在连续的频率轴上，在每个频率点上信号的幅度无
穷小，只有在间隔f上才有非0振幅。
13
 例 ：求单位门信号的频谱密度。
g a (t )
1


0
2
Ga ( f ) 

 /2

 /2
sin  f 
 f
e
 j 2  nft

t
2
dt 
1
j 2 f
(e
j f 
e
 j f 
)
  Sa ( f  )
频谱密度曲线的零点间隔为 1/，即矩形脉冲的主功率带宽
等于其脉冲持续时间的倒数。
14
3. 能量信号的能量谱密度
 设s(t)是一个能量信号，其能量E 可作如下计算：
E 



2
s ( t ) dt
 设其傅立叶变换为 S(f) ，由Parsevel定理得：
E 



s ( t ) dt 
2




| S ( f ) | df  2  | S ( f ) | df
2
2
0
 记 G(f) = |S(f)|2 ，称为信号的能量谱密度，它表示在频率 f
处宽度为f 的频带内的信号能量，或单位频带内的信号能
量，单位 J/Hz。
15
4. 功率信号的功率谱密度
 功率信号具有无穷大的能量，不能计算其能量谱密度，但
可以计算其功率谱密度。对信号s(t)，其截短函数
sT ( t ), 
T
t
2
T
2
是一个能量信号。其能量：
E 

T /2
T / 2
s (t ) d t  
2
T


2
| ST ( f ) | df
定义信号的功率谱密度为：
P ( f )  lim
T 
1
T
| ST ( f ) |
单位：W/Hz
2
故信号的功率：
P  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
| S T ( f ) | df 
2



P ( f )df
16
 当功率信号具有周期性时，T 选作信号周期T0，信号功率
P  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
s ( t )dt 
2
1
T0

T0 / 2
 T0 / 2
2
s ( t )dt
由Parsevel定理得：
P 
1
T0

T0 / 2
 T0 / 2

s ( t )dt 
2
 | Cn |
2

 |Cn|2 描述的是信号在第n次谐波上的功率分量，称为周期信
号的离散功率谱，单位 W。
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 定义：
 C n , f  nf 0
C( f )  
 0, 其 它
 引进单位冲激函数，上述信号功率表示为：
P 



| C ( f ) |  ( f  nf 0 )df
2
上式的被积因子就是信号的功率谱密度：
P ( f )  | C ( f ) |  ( f  nf 0 )
2
在频率间隔 df 内信号的功率：

P ( f ) df 

| C ( f ) |  ( f  nf 0 ) df
2
n  
18
2.3 确知信号的时域性质
 确知信号在时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。
1. 能量信号的自相关函数
 能量信号的自相关函数定义为：
R ( ) 



s ( t ) s ( t   )dt ,
   
 自相关函数描述了一个信号与延迟 后的同一信号的相关
程度。函数R()只和时间差 有关，而与t 无关。当 =0时，
能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量：
R (0 ) 



s ( t ) s ( t  0 )d t 



s ( t )d t  E
2
19
 能量信号的自相关函数是一个偶函数，而且和其能量谱密
度之间有直接的关系。可以证明， R() 和 |S(f)|2 构成一对
傅立叶变换： |S(f)|2 是R() 的傅立叶变换的结果，而对
|S(f)|2作傅立叶逆变换可以得到R() 。
R ( ) 



2
| S( f )| e
j 2 f 
df
20
2. 功率信号的自相关函数
 功率信号的自相关函数定义为：
1
R ( )  lim
t 

T
T /2
T / 2
s ( t ) s ( t   )dt ,
   
 当 =0时，功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
1
R (0)  lim
t
T

T /2
T / 2
s ( t )dt  P
2
 功率信号的自相关函数也是一个偶函数，周期性功率信号
的自相关函数和其功率谱密度之间有直接的关系。可以证
明， R() 和 P(f) 构成一对傅立叶变换： P(f) 是R() 的傅立
叶变换的结果，而对P(f) 作傅立叶逆变换可以得到R() 。
R ( ) 



P ( f )e
j 2 f 
df
21
 功率信号的自相关函数也是一个偶函数，周期性功率信号
的自相关函数和其功率谱密度之间有直接的关系。可以证
明， R() 和 P(f) 构成一对傅立叶变换： P(f) 是R() 的傅立
叶变换的结果，而对P(f) 作傅立叶逆变换可以得到R() 。
R ( ) 



P ( f )e
j 2 f 
df
22
3. 能量信号的互相关函数
 两个能量信号s1(t) 和s2(t) 的互相关函数定义为：
R12 ( ) 



s1 ( t ) s 2 ( t   )dt ,
   
 互相关函数描述了一个信号与延迟 后的另一信号之间的
相关程度。函数R12()只和时间差有关，而与t 无关。而且
有
R 21 ( )  R12 (  )
4. 功率信号的互相关函数
 两个功率信号s1(t) 和s2(t) 的互相关函数定义为：
R12 ( )  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
s1 ( t ) s 2 ( t   )dt ,
   
而且有 R 21 ( )  R12 (  )
23
2.4 随机信号和随机过程
 载有信息的信号是不可预测的，或者说带有某种随机性。
干扰信息信号的噪声更是不可预测的。这些不可预测的信
号和噪声都是随机过程。但随机信号和噪声的不可预测性
的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的
能力，而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号
受到污染。在通信系统中，随机过程是重要的数学工具。
它在信息源的统计建模、信源输出的数字化、信道特性的
描述以及评估通信系统的性能等方面十分重要。
 例：设有n 台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境
和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果
表明，n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，
接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而
它是一个随机过程。
24
1. 概率与随机变量
 概率：设试验次数为n，事件ai 发生次数为m，则事件ai 的
发生概率为
P ( a i )  lim
n 
m
n
当n 足够大时，简化为
P ( ai ) 
m
n
 加法定理：对互斥事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)；对
任意事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+ P(B)P(AB)。
 乘法定理：独立事件A、B 同时发生 P(AB)=P(A)P(B)；任
意事件A、B 同时发生 P(AB)= P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)。
25
 全概率公式：若事件B 能且只能和不相容事件A1An之一同
时发生，则
n
P(B) 
 P( A )P(B / A )
i
i
i 1
 贝叶斯公式：
P ( Ai / B ) 
P ( Ai ) P ( B / Ai )
n
 P(A
j
)P(B / Aj )
j 1
26
 随机变量：随机变量X是从样本空间 到实数集R 的映射
(或称：随机变量给一个随机试验结果赋予一个实数值) 。
值域是连续的随机变量称为连续随机变量；值域是可数的
随机变量称为离散随机变量。非连续也非离散的随机变量
称为混合随机变量。

1
2
3
4
X :  R
X ( 2 )
X ( 1 )
X ( 3 )
X ( 4 )
R
27
 随机变量X的累积分布函数 (Cumulative Distribution
Function, CDF) 定义为
F X ( x )  P{   : X ( )  x}, x  R .
描述了随机变量的值  实数x 的概率。简写为
F X ( x )  P ( X  x ), x  R .
28
 CDF的性质
① 0  FX(x)  1；
② 若x1  x2，则FX(x1)  FX(x2)；
③ lim F X ( x )  0, lim F X ( x )  1
x  
x  
④ FX(x)是右连续的，即 lim F X ( x   )  F X ( x )
 0
⑤ P ( a  X  b )  FX (b )  FX ( a )
 连续随机变量的CDF是连续函数，离散随机变量的CDF是
阶梯函数。
29
 连续随机变量X的概率密度函数(PDF: Probability Density
Function) 定义为
f X ( x) 
d
FX ( x )
dx
 PDF的性质
① f X ( x)  0
②



f X ( x )dx  1
③ P (a  X  b) 

b
a
f X ( x ) dx
 离散随机变量的概率分布 {pi}，其中 pi =P(X=xi)。对所有i，
pi  0 且

pi  1
i
30
 随机变量的数字特征（以PDF 描述）
 数学期望（统计平均）
m X  E[ X ] 



xf X ( x ) dx
 矩 X 的n 阶矩定义为 E [ X ] 
n



n
x f X ( x ) dx
显然X 的数学期望值是其一阶矩。
 均方值 X 的均方值定义为X 的二阶矩
E[ X ] 
2



2
x f X ( x ) dx
 方差 X 的方差（或二阶中心矩）定义为
E [( X  m x ) ] 
2



( x  m x ) f X ( x ) dx
2
31
显然有：E [( X  m x ) 2 ]  E [ X 2  2 m x X  m x 2 ]
 E[ X ]  2mx E[ X ]  mx
2
 E[ X ]  2mxmx  mx
2
 E[ X ]  mx
2
2
2
2
2
X的方差也记为  X ，是X的随机性的量度。
 标准偏差
 x 称为标准偏差。
32
 重要的随机变量（通信中常用的随机变量）
 Bernoulli 随机变量：离散随机变量，只取值1或0，分
别对应概率p 和1 p，用于描述信道的传输错误。
 二项计数随机变量：离散随机变量，表示n 次独立的贝
努利试验中1出现的次数。其概率分布：
 C nk  p k  (1  p ) n  k , 0  k  n
P(X  k)  
0
其他

33
例：一个信道传输错误概率是0.001。设有10000比特数据
传输，则其中错误比特数小于3的概率是多少？
解：将“传输出错”视为“出现1”，则n=10000, p=0.001，
P(X=k) 为出现k次传输错误的概率。
P ( X  3)  P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2)
 C 10000 0.001 (1  0.001)
0
0
10000
 C 10000 0.001 (1  0.001)
2
2
 C 10000 0.001 (1  0.001)
1
1
9999
9998
 0.0028
34
 均匀随机变量
例如，噪声经过窄带滤波后，其相位在0~2之间均匀分
布。
F ( )
f ( )
1
1
0
2
2
CDF

0
2

PDF
35
 正态随机变量（高斯随机变量）
是自然界中最普遍的随机分布。
P D F: f X ( x ) 
C D F: F X ( x ) 

1
2 

x

( xmx )
e
2

1
2 
e
2
2
( zmx )
2
2
mx 数学期望
2
dz
FX ( x )
f X ( x)
1
1
2 
1/ 2
0
2 方差
mx
CDF
x
0
mx
x
PDF
36
2. 随机过程
 通信系统中的信号和噪声都具有随机性，不能用一种确定
的时间函数来描述。
 例：设有n 台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境
和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果
表明，n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，
接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而
它是一个随机过程。
 随机过程：设有无穷多台性能相同的接收机，在同等条件
下测出噪声信号波形为x1(t), x2(t), …, xN(t),…。每一个xi(t)
都是不能预先确定、只能通过测量获得的时间函数，称为
随机函数。上述随机函数的总体称为随机过程X(t)。xi(t)称
为是X(t)的一个实现或样本。
37
随机过程
38
 随机过程X(t)的基本特征体现在两个方面：其一， X(t) 是
一个时间函数；其二， X(t) 在某一观察时刻t0 上的取值并
不确定，而是按照一定的概率分布，x1(t0), x2(t0), … ,
xN(t0), … 构成X(t0) 的样本，全体样本在t0 时刻的取值X(t0)
是一个不含t 的随机变量。
 随机过程的统计特性包括其分布函数和概率密度函数。
 一维分布函数：随机过程X(t) 在时刻t1 的随机变量X(t1)x1
的概率记作 F1(x1,t1) = P[X(t1)x1]，称为X(t) 的一维分布函
数。
 一维概率密度：若上述 F1(x1,t1) 对x1 可导，称
f 1 ( x1 , t1 ) 
 F1 ( x1 , t1 )
 x1
为X(t)的一维概率密度。
39
 一维分布和一维概率密度描述了随机过程在孤立时刻t1的统
计特性，不能反映随机过程在不同时刻的内在联系。
 二维分布函数：随机过程X(t)的二维分布函数定义为
F2(x1, x2,；t1, t2) = P[X(t1)  x1；X(t2)  x2]。
 二维概率密度：随机过程X(t)的二维概率密度定义为
 F2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )
2
f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) 
 x1  x 2
 同理可以定义X(t)的N 维分布函数和概率密度。显然，N 越
大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
 随机变量的相关性：对N个随机变量X(t1), X(t2), …, X(tN)，
若有 f N ( x1 , ..., x N ; t1 , ..., t N )  f1 ( x1 , t1 )  f1 ( x 2 , t 2 )  ....  f1 ( x N , t N )
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
40
 平稳随机过程：若对任意的，X(t)的N 维概率密度
f N ( x1 , ..., x N ; t1 , ..., t N )  f N ( x1 , ..., x N ; t1   , ..., t N   )
则称X(t)为N 阶平稳随机过程。
 若X(t)为N 阶平稳随机过程，则对任何小于N的阶X(t) 都是
平稳的。若X(t) 为N阶平稳随机过程且N可任意取值时，称
X(t) 为平稳随机过程。
 平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，f1 ( x , t )  f1 ( x , t   )
可以写成 f1 ( x ) 。二维概率密度只与时间差有关，f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )
可以写成 f 2 ( x1 , x 2 ; t1  t 2 )  f 2 ( x1 , x 2 ;  ) 。
 在通信系统中的信号和噪声绝大多数是平稳随机过程。
41
 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程
的统计特性。但是，有时不易或不需求出分布函数和概率
密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统
计特性，更简单直观。
 数学期望 设随机过程X(t) 在任意时刻的数学期望，记作
a(t) ，
a ( t )  E [ X ( t )] 



xf 1 ( x , t ) dx
 a(t) 是时间t 的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线
的摆动中心。
42
 方差
D [ X ( t )]  E {[ X ( t )  a ( t )] }
2
 E {[ X ( t )]  2[ X ( t )] a ( t )  [ a ( t )] }
2
2
 E {[ X ( t )]  2 a ( t ) a ( t )  [ a ( t )] }
2
2
 E {[ X ( t )]  [ a ( t )] }
2




2
x f 1 ( x , t ) dx  [ a ( t )]
2
2
 方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在
时刻t 对于均值 a(t) 的偏离程度。 D[X(t)] 常记为2(t)。
43
 相关函数 t1、t2 是任取的两个时刻。相关函数定义为
R ( t1 , t 2 )  E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]


 



x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1 dx 2
 协方差函数 t1、t2 如上。协方差函数定义为
B ( t1 , t 2 )  E {[ X ( t1 )  a ( t1 )][ X ( t 2 )  a ( t 2 )]}





 
[ x1  a ( t1 )][ x 2  a ( t 2 )] f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1 dx 2
 两者的关系有：
B ( t1 , t 2 )  R ( t1 , t 2 )  a ( t1 ) a ( t 2 )
44
 若a(t1) =0 或 a(t2) =0，则B(t1, t2 ) = R(t1, t2 )。若t1<t2，并令
t2=t1 + ，则 R(t1, t2 )可表示为R(t1,t1+ ) 。即相关函数依赖
于起始时刻t1 及t2 与t1 之间的时间间隔 ，是t1 和 的函数。
 由于B(t1, t2 ) 和 R(t1, t2 ) 用于衡量同一过程的相关程度，故
常被分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更
多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。
 互协方差函数和互相关函数 设X1(t) 和X2(t) 分别表示两个
随机过程，t1、t2 如上。互协方差函数定义为
B X 1 X 2 ( t1 , t 2 )  E {[ X 1 ( t1 )  a X 1 ( t1 )][ X 2 ( t 2 )  a X 2 ( t 2 )]}
互相关函数定义为
R X 1 X 2 ( t1 , t 2 )  E [ X 1 ( t1 ) X 2 ( t 2 )]
45
3. 平稳随机过程
 宽平稳随机过程 一个随机过程的数学期望（均值）为常数
a，且自相关函数仅是时间差 = t2t1的函数时，称它为宽
平稳随机过程或广义平稳随机过程。一个（严）平稳随机
过程只要它的均方值E[X2(t)] 有界，则它必定是广义平稳随
机过程，但反过来一般不成立。
 通信系统中的信号和噪声大多数可以视为平稳的随机过程。
因此研究平稳随机过程具有实际意义。以后讨论的随机过
程，除非特别说明，均假定为广义平稳随机过程。
46
 随机过程的数字特征是对随机过程的所有样本函数的统计
平均，在实际中难以实现。各态历经性讨论从一个试验得
到的一个样本函数x(t) 来确定平稳随机过程X(t) 的数字特征
的条件。
 样本x(t)的时间均值和时间相关函数分别为
a ( t )  x ( t )  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
x ( t ) dt
R ( )  x ( t ) x ( t   )  lim
T 
1
T

T /2
T / 2
x ( t ) x ( t   )dt
 各态历经性 如果平稳随机过程依概率1 有：
a ( t )  a ( t ),
R ( )  R ( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
47
 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随
机过程的所有可能状态。因此，我们只需从任意一个随机
过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使
“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问
题大为简化。注意到具有各态历经性的随机过程必定是平
稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通
信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历
经条件。
48
 例：设有一个随机相位余弦波
X ( t )  A cos( 0 t   )
其中A 和0 均为常数， 是在(0, 2 )内均匀分布的随机变
量。试讨论X(t)是否具有各态历经性。
 解: (1) 先求X(t)的统计平均值。数学期望
a ( t )  E [ X ( t )] 


A
2
A
2

2
0

2
0
A cos(  0 t   )
1
2
d
(cos  0 t cos   sin  0 t sin  )d 
[cos  0 t 
2
0
cos  d   sin  0 t 
2
sin  d 
0
0
49
自相关函数
R ( t1 , t 2 )  E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]  E [ A cos(  0 t1   ) A cos(  0 t 2   )]

A
2
2

A
2
2

A

cos  0 ( t 2  t1 ) 
A
2
2

2
0
cos[  0 ( t 2  t1 )  2 ]
1
2
d
2
2
A
E {cos  0 ( t 2  t1 )  cos[  0 ( t 2  t1 )  2 ]}
cos  0 ( t 2  t1 )  0
2
2
cos  0 ( )  R ( )
由a(t) 和R() 可见X(t)是一个广义随机过程。
50
(2) 求X(t)的时间平均值。
a ( t )  lim
1
T 
R ( )  lim
1
T 
 lim
T 

A

T
A
T
T /2
T / 2
2
2T
[

T /2
T / 2
A cos( 0 t   ) dt  0
A cos( 0 t   ) A cos[  0 ( t   )   ]dt
T /2
T / 2
cos  0 dt 

T /2
T / 2
cos(2  0 t   0  2 ) dt ]
2
2
cos  0
比较X(t)的统计平均值和时间平均值，有
a ( t )  a ( t ),
R ( )  R ( )
故X(t)是各态历经的。
51
 平稳随机过程自相关函数的性质 设X(t) 为实平稳随机过程，
则它的自相关函数
R ( )  E [ X ( t1 ) X ( t 2 )]
具有下列主要性质：
(1) R(0) = E[X2(t)] =S
称为X(t) 的平均功率
(2) R(∞) = E2[X(t)]
称为X(t) 的直流功率
(3) R( ) =R(−)
R是 的偶函数
(4) |R( )|  R(0)
R(0) 是R() 的上界
(5) R(0) −R(∞) = 2
方差，称为X(t)的交流功率
52
 平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性可用其
功率谱密度描述。随机过程中的任一样本是功率信号。对
任意的功率信号 f(t)，依定义其功率谱密度为
P f ( f )  lim
| FT ( f ) |
2
T 
T
其中 FT(f) 为 f(t) 的截短函数fT(t) 所对应的频谱函数。
 将 f(t) 看成是平稳随机过程X(t) 的任一样本，过程的功率
谱看作对所有的样本的功率谱的统计平均，即
2
PX ( f )  E [ P f ( f )]  lim
T 
E [| FT ( f ) | ]
T
53
 维纳-辛钦关系 上述随机过程功率谱密度实际难以计算。
我们知道，非周期的功率信号的自相关函数与其功率谱密
度是一对傅立叶变换，这种关系对平稳随机过程同样成立。
即，平稳随机过程的功率谱密度PX() 与其自相关函数R()
是一对傅里叶变换关系：

或

PX ( ) 
R ( ) 

1

2
PX ( f ) 
R ( ) 






R ( )e


PX ( )e
R ( )e
d
j 
 j 2 f 


 j 
PX ( f )e
j 2 f 
d
d
df
上述变换简记为 R()PX()，也称为 Wiener-Khinchine关
系。
54
 讨论：
(1) 对功率密度谱积分，可以得到平稳过程的总功率：
R (0 ) 



PX ( f )d f
这是从频域的角度对过程的功率的计算。
(2) 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功
率谱密度。
由： R ( )  R ( )
两边取傅立叶变换： F [ R ( )]  F [ R ( ) ]
即： PX ( f )  P f ( f )
(3) 功率谱密度的非负性和实偶性，即
PX ( f )  0 且
PX ( f )  PX (  f )
55
 例：上例中的随机相位余弦波的功率谱密度。
解：上例中已经求得过程的相关函数为：
R ( ) 
A
2
2
cos  0
由维纳-辛钦关系， R()  PX() 是一对傅立叶变换。
由于 cos  0   [ (   0 )   (   0 )]
故
A
2
2
即
cos  0 
PX ( ) 
平均功率
A
2
A
2
2
[ (   0 )   (   0 )]
2
[ (   0 )   (   0 )]
S  R (0) 
1
2



PX ( ) d  
A
2
2
56
4. 高斯随机过程
 高斯随机过程也称正态随机过程，是通信领域中最重要的
一种随机过程。 大多数的噪声是一种高斯随机过程。
 定义 若随机过程X(t) 的任意n维分布都服从正态分布，则
称之为高斯过程或正态过程。其n 维正态概率密度函数为
f n ( x1 , x 2 , ..., x n ; t1 , t 2 , ..., t n ) 
1
(2  )
n/2
式中
 1 2 ... n | B |
1/ 2
exp[
1
n

2|B|
n
 | B | jk (
j 1 k 1
a k  E [ X ( t k )],  k  E [ X ( t k )  a k ]
2
xj  aj

j
)(
xk  ak
k
)]
2
|B|为归一化协方差矩阵的行列式
|B|jk 为|B|中元素bjk 的代数余子式
57
| B |
b jk 
1
b12
...
b1 n
b 21
1
...
b2 n
bn1
bn 2
...
1
E {[ X ( t j )  a j ][ X ( t k )  a k ]}
 j k
58
 若干重要性质
(1) 高斯过程的n维分布只依赖于各个随机变量的均值、方
差和归一化协方差，因此对于高斯过程的研究主要在于
其数字特征。
(2) 广义平稳的高斯过程，其均值与时间无关，协方差函数
只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则其n维分布
也与时间起点无关，故也是严平稳的。
(3) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有
jk，有bjk=0，此时有
n
f n ( x1 , x 2 , ..., x n ; t1 , t 2 , ..., t n ) 

k 1
1
2  k
exp[ 
( xk  ak )
2
2
k
2
]
 f ( x1 , t1 )  f ( x 2 , t 2 )  ...  f ( x n , t n )
59
(4) 高斯过程经过线性变换后得到的过程仍然是高斯过程。
即若线性系统的输入为高斯过程，则其输出也为高斯过
程。
 高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分
布的随机变量，也称为高斯随机变量。其一维概率密度函
数为：
f ( x) 
1
2 
ex p [ 
(x  a)
2
2
2
]
f (x)
式中a 和2 分别称为高斯
随机变量的均值和方差
1
2 
x
0
60
 f(x)的若干重要性质
(1) f(x) 对称于x=a，即 f(a+x)= f(ax)。
(2)



f ( x ) dx  1,

a

f ( x ) dx 


f ( x ) dx 
1
,
2
a
(3) a 表示分布中心，为标准偏差，描述集中程度，f(x)随
着 的减小而变高和变窄。当 a = 0， =1时，称为标准
化的正态分布，此时
f ( x) 
1
2
ex p ( 
x
2
)
2
61
(4) 定义f(x) 的积分为正态分布函数F(x)
F ( x)  P ( X  x) 

1
2 



x

1
x
2 

(za)
2
e
2

e
(za)
2
2
2
dz
2
dz
定义概率积分函数(x)：
 ( x) 
则
1
2
F ( x)   (


xa


x
e
z
2
2
dz
)
62
5. 平稳随机过程通过线性系统
 通信过程主要是信号通过系统传输的过程，显然我们需要
了解随机信号通过线性系统的情况，包括平稳性、统计关
系和数字特征。
 线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率响应H()
表征。若令vin(t)为输入信号，vout(t)为输出信号，则输入输
出关系可以表达成卷积
v out ( t )  v in ( t ) * h ( t ) 
或 v out ( t )  h ( t ) * v in ( t ) 






v in ( ) h ( t   ) d 
h ( ) v in ( t   ) d 
对应的傅立叶变换关系为
V out ( f )  H ( f )V in ( f )
63
 将vin(t)视为输入随机过程的 一个样本，则vout(t)为输出随机
过程的一个样本。对于输入随机过程Xin(t)的样本集合
{vin,n(t)，n=1, 2, ……}，对应的输出样本集合{vout,n(t)，n=1,
2, ……}构成输出随机过程Xout(t)，且有
X out ( t ) 



h ( ) X in ( t   ) d 
设随机过程Xin(t)是平稳的，其均值为a，自相关函数为Ri()，
功率谱密度为Pin()，计算Xout(t)的统计特性。
(1) Xout(t) 的均值
E [ X out ( t )]  E [ 






h ( ) X in ( t   ) d  ]
h ( ) ad   a 





h ( ) E [ X in ( t   )] d 
h ( ) d   aH (0)
其中H(0)是线性系统在 f=0 处的频率响应即直流增益。因
此输出过程的均值E[Xout(t)]是一个常数。
64
(2) Xout(t) 的自相关函数
R out ( t1 , t1   )]  E [ X out ( t1 ) X out ( t1   )]
 E [ 



h ( ) X in ( t1   ) d  




 


h (  ) X in ( t1     ) d 
h ( ) h (  ) E [ X in ( t1   ) X in ( t1     )] d  d 
由Xin(t) 的平稳性 E [ X in ( t1   ) X in ( t1     )]  Rin (     )
故有
R out ( t1 , t1   ) 




 
h ( ) h (  ) R in (     ) d  d 
 R out ( )
即 Rout 只与时间间隔有关。
 由Xout 的均值和自相关函数得知，此时输出过程也是平稳
的。
65
(3) Xout(t) 的功率谱密度
Pout ( f ) 







R out ( ) e
[





 j 
d
h ( ) h (  ) R in (     ) d  d  ]e
 j 
d
令         ,有
Pout ( f ) 



h ( ) e
j 
d



h (  )e
 j 
d



R in ( ) e
 j  
d 
 H ( f ) H ( f ) Pin ( f )  | H ( f ) | Pin ( f )
*
2
 可见，Xout 的功率谱密度是输入过程的功率谱密度与系统
频率响应模值的平方值的乘积。对其作傅立叶逆变换可以
比较容易地得到输出过程的自相关函数 Rout()。
66
(4) Xout(t) 的概率分布
 如前所述，在已知输入过程的概率分布情况下，Xout 的概
率分布由下式确定：
X out ( t ) 



h ( ) X in ( t   ) d 

 从积分的定义， X out ( t )  lim
 k  0
X
in
( t   k ) h ( k )   k
k 0
当输入过程是高斯过程时， X in ( t   k ) h ( k )   k 在任一时
刻上都是一个高斯变量，其和也是高斯变量。因此输出过
程为高斯过程。
 结论：高斯过程输入线性系统得到的输出也是高斯过程。
（或：高斯过程经过线性变换后的过程仍然为高斯过程）
67
6. 窄带高斯随机过程
(1) 窄带过程的波形和频率特性
 所谓窄带系统，是指其通带宽度 ∆f<<fc ，且fc 远离零频率
的系统。实际中的大多数通信系统都是窄带型的。通过窄
带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。如用示波器观察
其一个实现的波形，它是一个频率近似为 fc ，包络和相位
随机缓变的正弦波。
68
69
 中心频率为c 的窄带随机过程X(t) 可用下式表示
X ( t )  a X ( t ) cos[ c t   X ( t )],a X ( t )  0
式中 aX(t)及 X(t) 分别是X(t) 的随机包络和随机相位。
 等价式
X ( t )  X C ( t ) cos  c t  X S ( t ) sin  c t
其中 XC(t) = aX(t) cos X(t)，称为X(t) 的同相分量；
XS(t) = aX(t) sin X(t)，称为X(t) 的正交分量
 XC(t)和XS(t)也是随机过程，显然它们的变化相对于载波
cosct 的变化要缓慢得多。
70
(2) 同相和正交分量的统计特性
 设窄带过程X(t) 是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差
为X2 。 可以证明：
 数学期望
E[XC(t)] =0，E[XS(t)] =0
 自相关函数
RX()= RC()coscRCS()sinc
或
RX()= RS()cosc+RSC()sinc
可见当X(t)平稳时，XC(t)和XS(t)都是平稳的。且
RC() = RS()， RCS() =  RSC()
由互相关函数的性质： RCS() = RSC()
得：RSC() =  RSC()
为奇函数。
同理： RCS() =  RCS() 为奇函数。
71
 方差
由奇函数特性，当=0 时 RSC(0) = RCS(0) =0。因而可得到
RX(0) = RC(0) = RS(0)，即 X2 = C2 = S2，表明在均值为0
的前提下X(t)、XC(t) 和XS(t) 具有相同的平均功率或方差。
 高斯分布特征
在 X(t) =XC(t)cosct −XS(t)sinct 中，取t =t1 =0 时, X(t1)
=XC(t1) ，取t =t2 = 3/2C 时, X(t2) =XS(t2) ，故XC(t1) 和XS(t2)
都是高斯随机变量，即XC(t) 和XS(t) 都是高斯过程。而在同
一时刻（即=0 时）RSC(0) = RCS(0) =0，表明它们之间是互
不相关的或统计独立的。
72
(3) 包络aX(t) 和相位X(t)的统计特性
 可以证明包络aX(t) 和相位X(t)的联合概率密度为
f ( X ,  X )   X f ( X C , X S )


X
2 
2
2
X
X
2 
( X cos  X )  ( X sin  X )
exp[ 
2
X
2
X
2
]
2
2
X
exp[ 
2
2
X
],  X  0, 0   X  2  )
积分得aX(t) 和X(t)的一维概率密度：
f ( X ) 
f ( X ) 






f ( X ,  X ) d  X 
f ( X ,  X ) d  X 
X

2
X
1
2
X
2
exp[ 
2
2
X
],  X  0)
   X  2  )
称前者服从瑞利(Rayleigh)分布。后者是均匀分布的。
73
7. 正弦波加窄带高斯噪声
 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声
的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除
信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与
窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声
的合成波，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计
特性。
 设合成信号为
r(t) =Acos(ct+ )+n(t)
式中 n(t) =nC(t)cosct − nS(t)sinct 为窄带高斯噪声，其均
值为零，方差为n2 ； 正弦信号的A, c 均为常数， 是在
(0, 2) 上均匀分布的随机变量。
74
 对r(t) 作变形：
r(t) = [Acos + nC(t)]cosct − [Asin +nS(t)] sinct
= zC(t)cosct − zS(t)sinct
= z(t) cos[ct +(t)]
式中 zC(t) = Acos + nC(t)
zS(t) = Asin + nS(t)
 合成信号r(t) 的包络和相位
z (t ) 
z C ( t )  z S ( t ) , ( z  0)
 ( t )  tg
2
1
zS
2
, (0    2  )
zC
75
 进一步的讨论：在给定相位 的条件下，r(t) 的包络z 的概
率密度与 无关：
f (z) 
z

2
n
exp[ 
1
2
( z  A )] I 0 (
2
2
n
Az
2
2
2
n
), z  0
式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0 时，I0(x)是单调
上升函数，且有I0(0) =1。
 上述概率密度函数称为广义瑞利分布或莱斯(Rice)分布。
 当信号很小，A 0 时，信噪比
 
2
A
2
2
n
0 ，这时合成波
r(t) 中只存在窄带高斯噪声，由莱斯分布退化为瑞利分布。
 当信噪比  很大时，I 0 ( x ) 
似为高斯分布，即
f (z) 
1
2  n
e
x
2 x
exp( 
，这时在z A 附近，f(z)近
( z  A)
2
2
n
2
)
76
 结论：信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信
噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯
分布；在一般情况下才是莱斯分布。
77
 讨论：信号加噪声的合成波相位分布与信噪比有关。小信
噪比时，f() 接近于均匀分布；大信噪比时，它主要集中
在有用信号相位附近。
78
8. 高斯白噪声和带限白噪声
 分析通信系统的抗噪声性能时，常用高斯白噪声作为通信
信道的噪声模型。可以认为，通信系统中常见的热噪声近
似为白噪声，且热噪声的取值恰好服从高斯分布。白噪声
通过实际信道或滤波器后得到带限噪声，若其谱密度在通
带范围内仍具有白色特性，则称其为带限白噪声。
 白噪声 如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，
则称该噪声为白噪声。记为：
pn ( f ) 
n0
(    f    ) (W / H z )
2
或 p n ( f )  n 0 (0  f    ) (W / H z )
 作傅立叶变换得到白噪声的自相关函数为
R ( ) 
n0
2
 ( )
79
Pn ( f )
R ( )
n0
n0
2
2
0
f
功率谱密度
 ( )
0

自相关函数
 白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即
R (0) 


n0

2
df   或 R (0) 
n0
 (0)  
2
 白噪声只是构造的理想化的噪声形式或数学抽象，在实际
中，只要噪声功率谱分布远远大于通频带，即可视为白噪
声。它在任意两个不同时刻之间互不相关，且统计独立。
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