Transcript (1)X(t,)

第十章 习题课
本章学习目标：
1.理解随机过程的定义;
2.会计算具体随机过程的数字特征:
均值函数
方差函数
相关函数 协方差函数
以及理解各数字特征之间的联系
3.了解泊松过程和维纳过程的定义
理解泊松过程和维纳过程的均值函数和方差函数的
推导过程及结论.
常见题型解答
1.利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程:
X(t ,  ) 

cos t ,  H
2t , T
设出现正面和出现反面的概率相同.求
(1)X(t,)的一维分布函数F1(x,1/2)和F1(x,1);
(2)二维分布函数F(x1,x2;1/2,1).
(3)求该过程的期望和相关函数.
解:(1)先写出X(1/2,)的分布律:
X(1/2,)
0
1
p
1/2
1/2
所以有:
同理
 0, x  0

F1( x; 1 / 2)  0. 5, 0  x  1
 1, x  1

 0, x  1

F1( x; 1)  0. 5, 1  x  2

1, x  2

( 2)F2( x1, x 2; 1 / 2, 1)  P{ X(1 / 2)  x1, X(1)  x 2}
而X,y的分布律为:
(x,y)
(0,-1)
p
0.5
(1,2)
0.5
所以

0, x1  0, x 2  1

F2( x1, x 2; 1 / 2, 1)  0. 5,{ 0  x1  1, x 2  1} { 0  x1, 2  x 2  1}

1,{1  x1, x 2  2}

1
1
1
( 3)uX(t )  E[ X(t ) ]  cos t   2t  cos t  t
2
2
2
1
1
RX( s , t )  E[ X( s )X(t ) ]  cos t cos  s   2t  2s
2
2
1
 cos t cos  s  2t s
2
2.给定随机过程: { X(t ) , t  T } , x
是任意实数

,t  T
定义另一个随机过程: Y(t ) 
1, X( t )  x
0, X( t )  x
试将Y(t)的均值函数和自相关函数用随机过程X(t)的
一维和二维分布函数来表示.
解: uY(t )  E[ Y(t ) ]
 1 P{ X(t )  x }  0 P{ X(t )  x }
 FX(t )
RY(t 1, t 2 )  E[ Y(t 1 )Y(t 2 ) ]
 1 P{Y(t 1 )  1, Y(t 2 )  1}  0 P{Y(t 1 )  0, Y(t 2 )  0}
 P{ X(t 1 )  x , X(t 2 )  x }
 F( x , x; t 1, t 2 )
3.设随机过程X(t)=e-At,t>0,其中A在区间(0,a)上服从均匀分布的
随机变量,试求X(t)的均值函数和相关函数.
解 : uX(t )  E[ X(t ) ] 
a
0
e
 xt
1
dx
a
1

(1  e at )
at
RX(t 1 , t 2 )  E[ X(t 1)X(t 2 ) ]  E[ e

a
0
e
 x( t 1 t 2 )
1
dx
a
1
a( t t )

[1  e 1 2 ]
a(t 1  t 2 )
 At 1  At 2
e
]]
4.设随机过程X(t)X(随机变量),E(X)=a,D(X)=2.
试求X(t)的均值函数和协方差函数.
解:uX(t)=E[X(t)]=EX=a
CX(t1,t2)=E{[X(t1)-E(X(t1)][X(t2)-E(X(t2)]}
=E[X-EX]2
= 2.
5.已知随机过程{X(t),tT}的均值函数uX(t)和协方差函数
CX(t1,t2),(t)是普通函数,试求随机过程Y(t)=X(t)+ (t)
的均值函数和协方差函数.
解:uY(t)=E[Y(t)]=E[X(t)+(t)]=uX(t)+(t).
CY(t1,t2)=E{[Y(t1)-uY(t1)] [Y(t2)-uY(t2)]}
=CX(t1,t2)
6.给定一个随机过程{X(t),tT}和常熟a,试以X(t)的
自相关函数表示出随机过程Y(t)=X(t+a)-X(t)的自相
关函数.
解:RY(t1,t2)=E[Y(t1)Y(t2)]
=E{[X(t1+a)-X(t1)][X(t2+a)-X(t2)]}
=RX(t1+a,t2+a)-RX(t1+a,t2)-RX(t1,t2+a)+RX(t1,t2)
7.设Z(t)=X+Yt,-<t<+,已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为:
 12

 1 2
1 2 

2
2


试求Z(t)的协方差函数.
解:CZ(t1,t2)=E[Z(t1)-uZ(t1)][Z(t2)-uZ(t2)]
=E[X-EX]2+(t1+t2)E[(X-EX)(Y-EY)]+t1t2E[Y-EY]2
   (t 1  t 2 )1 2  t 1t 2
2
1
2
2
8.设X(0)=0和方差函数DX(t)已知,计算独立增量过程{X(t),t≥0}的
协方差函数.
解:不妨设t>s≥0,则
CX(s,t)=E[X(s)X(t)]-EX(s)EX(t)
=E[(X(s)-X(0))((X(t)-X(s))+X(s))]-EX(s)EX(t)
=EX(s)X(t)-[EX(s)]2+E[X(s)]2-EX(s)EX(t)
=DX(s)
=DX(min(s,t)).
9.设X(t)=At+B,-<t<,A与B相互独立,且都服从N(0,2)分布的随
机变量,求X(t)的协方差函数.
解.CX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)-EX(t1)EX(t2)
=E[t1t2A2 +(t1+t2)AB+B2]
=(t1t2+1)2.
10.设{W(t),t≥0}是以2为参数的维纳过程,求下列过程的协方
差函数:
(1)W(t)+At,(A为常数);
(2)W(t)+Xt,X为与{W(t),t≥0}相互独立的标准正态变量;
(3)aW(t/a2).
解:(1)CX(t1,t2)
(X=W(t)+At)
=E[(W(t1)+At1-E(W(t1)+At1))(W(t2)+At2-E(W(t2)+At2))]
=2min(t1,t2)
(2) CY(t1,t2)
(Y=W(t)+Xt)
=E[(W(t1)+Xt1-E(W(t1)+Xt1))(W(t2)+Xt2-E(W(t2)+Xt2))]
=E[(W(t1)+Xt1)(W(t2)+Xt2))]
= 2min(t1,t2)+t1t2.
(3) CZ(t1,t2) (Z=aW(t/a2))
=a22(t1/a2,t2/a2)= 2min(t1,t2)
习题课作业
1.设随机过程X(t)=XcosAt,t是任意实数,A为一正常数,
X~N(0,1),试求X(t)的一维概率密度,并求协方差函数.
2.假定顾客到达商场的人数服从强度为的Poisson过程,
且每一位到达商场的顾客购物与不购物的概率分别为
P,q(p+q=1),若记N1(t)和N2(t)分别在商场购物与不购物
的人数,证明N1(t)和N2(t)分别服从强度为p,q的Poisson
过程,且相互独立.