Transcript 第六章数理统计的基本概念

第六章
数理统计的基本概念
第一节
随机样本
第二节
抽样分布
第一节
随机样本
总体与个体
在一个统计问题中，将研究对象的全体称为总体。
构成总体的每个元素称为个体。
由于总体就是一个随机变量X（或向量X ）或一个概
率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某
些特征量。
样本
从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽
样。所抽得的个体称为样本。
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设X是具有分布函数F的随机变量，若X1，
X2，…，Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随
机变量，则称X1，X2，…，Xn为来自总体X(或总体F)
的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，
x2，…，xn称为样本值。
对于简单随机样本X1，X2，…，Xn ，其联合概率分
布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函
数为F(x)，则样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为
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又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率
密度为
n
f ( x1 , x2 ,, xn )   f ( xi )

若X的分布律为
i 1
则X1，X2，…，Xn的联合分布律为
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例1 设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自总体
X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（称为
样本分布）。
解: X的分布律为
所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为
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定义1 设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,…,Xn)
是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称
g(X1,X2,…,Xn)为统计量.
设x1, x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则
称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值.
样本平均
样本方差
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样本标准差
样本k阶(原点)矩
样本k阶中心矩
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它们的观察值分别为
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例2 设总体X的期望、方差分别为
X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和
样本方差分别记为
。求
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由于
所以
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1、
第二节
抽样分布
分布
设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0，1)的样本，则统
计量
服从自由度为n的
分布，记为
分布的概率分布密度为
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分布具有以下性质:
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标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的
上 分位点记为
,它满足
其中Z～N(0,1)。
对不同的
表格，可以查用。
分布的上
分位点的值已制成
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2、t 分布
设X~N(0,1),Y~
,且X与Y相互独立，
则随机变量
服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。
t(n)分布的概率密度函数为
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t(n)分布的概率密度函数
关于t=0单峰对称
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当n很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用Γ函数
的性质可以证明
当n较小时，t(n)分布与N(0,1)分布之间有较大差异。
t(n)分布的上
即
满足
分位数记为
，
t分布的上 分位数可由附表查得。
当n>45时，有
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3、F分布
设
且U与V相互独立，
则随机变量
服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)
F(n1,n2)分布的概率密度函数为
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若F～F(n1,n2)，则
的上
分位点记为
，即它满足
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F分布的上
分位点有如下的性质：
若F~F(n1,n2),则
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4、正态总体的样本均值与样本方差的分布
定理1
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定理2
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