Transcript Ch5.5
Tan
微積分
5
積分
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5.5
微積分基本定理
微分和積分的關係
於5.4 節中,用黎曼和的極限定義定積分。
但是發現使用此定義求定積分的過程相當繁瑣,
即便簡單的函數也是如此。
這使我們聯想到使用函數之差商的極限求函數導
數的過程。
幸運地,存在更好且更簡單的方法求定積分。
Tan/微積分-Ch5.5-p279
2
微分和積分的關係
本節將專注在微積分裡最重要的定理。因為它建
立微分和積分之間的關係,稱為微積分基本定理
(Fundamental Theorem of Calculus)。
它分別由英國的Isaac Newton(1643-1727)和德
國的GottfriedWilhelm Leibniz(1646-1716)各自
獨立地發現。
看此定理之前,需要下面定理的結果。
Tan/微積分-Ch5.5-p279~280
3
定積分的均值定理
若磁浮列車在一平直的軌道上行駛,其速度為v (t)
呎/秒,且t 在t = a 和t = b 之間並以秒計。試問
磁浮列車在時間區間[a, b] 的平均速度為何?
為了回答此問題,先假設在[a, b] 連續並用等距離
的點
ba
t
n
將區間[a, b] 分割成n 個等長度的子區間,其長度
為
a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b
Tan/微積分-Ch5.5-p280
4
定積分的均值定理
接著分別在子區間[t0, t1], [t1, t2], … , [tn–1, tn]內選取
要被計算的點分別為c1, c2, ... , cn ,並計算磁浮列
車在這些點的速度:
v(c1), v(c2), … , v(cn)
這些數的平均為
v(c1 ) v(c2 )
n
v(cn )
1 n
v(ck )
n k 1
即磁浮列車在[a, b] 的平均速度。
Tan/微積分-Ch5.5-p280
5
定積分的均值定理
因為
ba
n
t
所以表示式改寫為
1 n
1
v(ck )
ba
n k 1
t
Tan/微積分-Ch5.5-p280
n
1 n
v(ck )
v(ck )t
b a k 1
k 1
6
定積分的均值定理
當n越來越大,即表示使用越來越小的時間區間內
的點所求的速度估算磁浮列車的平均速度。
直覺上,隨著n遞增,近似值會更好。這建議我們
定義磁浮列車在區間[a, b] 的平均速度為
1 n
lim
v(ck )t
n b a
k 1
Tan/微積分-Ch5.5-p280
7
定積分的均值定理
然而根據定積分的定義,
n
1 n
1
lim
v(ck )t
lim v(ck )t
n b a
b a n k 1
k 1
1 b
v(t )dt
ba a
因此,定義磁浮列車在時間區間[a, b] 的平均速度
(average velocity)為
1 b
v(t )dt
ba a
Tan/微積分-Ch5.5-p280~281
8
定積分的均值定理
更廣義地,我們有下面函數f 在[a, b] 區間的平均
值定義。
定義 函數的平均值
若f 在[a, b] 可積分,則f 在[a, b] 的平均值(average value
of f)為數
1 b
f av
f ( x)dx
a
ba
(1)
若f 非負,則有下列f 在[a, b] 的平均值之幾何意義。
Tan/微積分-Ch5.5-p281
9
定積分的均值定理
參照圖5.38,發現fav 為底在[a, b] 區間上的長方形
的高,且此長方形的面積和圖形f 下方在[a, b] 的
區域面積相同。
b
圖5.38 長方形的面積為 (b a) fav f ( x)dx 圖形f 下方區域的面積
a
Tan/微積分-Ch5.5-p281
10
定積分的均值定理
回到磁浮列車移動的例題,若在[a, b],b v(t) 0 ,
則磁浮列車在[a, b] 期間行駛的距離為 a v(t )dt,即
圖形下方在[a, b] 的區域面積。
但是這個面積等於(b – a)vav,此處vav為速度函數
的平均值。
因此,磁浮列車從t = a 到t = b,以v(t)呎/秒的速
率行駛的距離可以表示成在相同期間以常數
(constant)速率(稱為平均速率vav 呎/秒)行駛
的距離。
Tan/微積分-Ch5.5-p281
11
例題 1
求f (x) = 4 – x2在[–1, 3] 區間的平均值。
解:
將a = –1, b = 3和f (x) = 4 – x2代入式(1),可得
1 b
f av
f ( x)dx
a
ba
3
1
2
(4
x
)dx
3 (1) 1
1 20
4 3
5
3
Tan/微積分-Ch5.5-p281
使用5.4 節例題 2的結果
12
定積分的均值定理
若再看一次圖5.38,會發現在[a, b] 內有一數c,滿
足f(c) = fav(圖5.39)。
圖5.38
b
長方形的面積為 (b a) fav a f ( x)dx 圖
形f 下方區域的面積
Tan/微積分-Ch5.5-p281
圖5.39 f av
1 b
f ( x)dx
b a a
13
定積分的均值定理
下面的定理保證,若f 在[a, b] 連續,則在此區間
內至少有一數,它所對應的值為fav。
定理1 積分的均值定理
若f 在[a, b] 連續,則在[a, b] 內存在數c,使得
f ( x) f
Tan/微積分-Ch5.5-p281~282
1
b
a f (c )dx
ba
14
微積分基本定理的第一部分
若f 為定義在[a, b] 連續且非負的函數且x 為[a, b]
內任意點。
令
x
A( x) f (t )dt
a
(因為用x 表示積分的上限,所以使用掛名的變
數t。)
Tan/微積分-Ch5.5-p283
15
微積分基本定理的第一部分
則因為f 非負,所以A(x) 可解釋為圖形f 下方在[a,
x] 區間的區域面積,如圖5.41 所示。
圖5.41 A( x)
Tan/微積分-Ch5.5-p283
x
a
f (t )dt 為圖形f 下方在[a, x] 的區域面積
16
微積分基本定理的第一部分
對於在[a, b] 內的每個點x,數A(x) 是唯一的,所
以A為定義在[a, b] 的x 函數。
接著看一個特例。假設在[0, 1] 區間f (x) = x。若用
5.4 節例題3 的結果,將a = 0 和b = x 代入式子,
則
1 2
A( x) tdt x
0
2
x
Tan/微積分-Ch5.5-p283
0 x 1
17
微積分基本定理的第一部分
x
若參考圖5.42 並將積分 0 tdt 解釋為三角形陰影的
面積,則此結果也是明顯的。
圖5.42
三角形的面積為
Tan/微積分-Ch5.5-p283
1
2
( x)( x) 12 x2
18
微積分基本定理的第一部分
觀察
d x
d 1 2
A '( x) tdt x x f ( x)
dx 0
dx 2
所以A(x)為f (x) = x 的反導函數。
對於所有連續函數f,若
d x
f (t )dt f ( x )
dx 0
成立,則這是很令人驚訝的。因為它提供微分的
過程和積分的過程之間的聯繫。
Tan/微積分-Ch5.5-p283
19
微積分基本定理的第一部分
大致上,此式子陳述微分不能做積分所做的:這
兩個運算子是互逆的。
因此微分(求曲線上的切線斜率)和積分(求曲
線所包圍的區域的面積)表面上似乎是不相干的
問題,事實上卻是有親密的關係。
Tan/微積分-Ch5.5-p283
20
微積分基本定理的第一部分
由於它的重要性被稱為微積分基本定理,所以結
論是正確的。
定理2 微積分基本定理的第一部分
若f 在[a, b] 連續,則函數F 被定義為
x
F ( x) f (t )dt
a
a xb
在(a, b) 可微分且
d x
F '( x)
f (t )dt f ( x)
a
dx
Tan/微積分-Ch5.5-p283~284
(2)
21
例題 3
求函數的導數:
3
1
2
a. F ( x)
dt b. G ( x) 1 t dt
2
1 1 t
x
x
解:
a. 被積分函數
1
f (t )
2
1 t
處處連續。
Tan/微積分-Ch5.5-p284
22
例題 3-解
使用微積分基本定理的第一部分,可得
d x 1
F '( x)
dt
2
dx 1 1 t
f ( x)
1
1 x2
Tan/微積分-Ch5.5-p284
23
例題 3-解
b. 被積分函數
1 t
2處處連續。所以,
d 3
2
G '( x)
1 t dt
dx x
dt x
2
1 t dt
dx 3
d x
1 t 2 dt
dx 3
b
a
a f ( x )dx b f ( x ) dx
1 t 2
Tan/微積分-Ch5.5-p284
24
微積分基本定理的第二部分
下面的定理,是微積分基本定理的第一部分的結
果,表示如何透過找被積分函數的反導函數來計
算定積分,而不是仰賴計算黎曼合的極限。因此,
這工作變得簡單多了。
定理3 微積分基本定理的第二部分
若f 在[a, b] 連續,則
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
(3)
此處F 為f 的任意反導函數,亦即,F' = f。
Tan/微積分-Ch5.5-p285
25
微積分基本定理的第二部分
當使用微積分基本定理時,使用下面的記號比較
方便。
F ( x)a F (b) F (a)
b
「F ( x ) 在b的值減掉F ( x ) 在a的值」
譬如:使用此記號,式(3) 可寫成
b
a
Tan/微積分-Ch5.5-p286
f ( x)dx F ( x)a F (b) F (a)
b
26
微積分基本定理的第二部分
同時根據微積分基本定理,若F(x) + C為f 的任意
反導函數,則
b
a
f ( x)dx F ( x) C a
b
[ F (b) C ] [ F (b) C ]
F (b) F (a ) F ( x)a
b
此結果顯示,當使用微積分基本定理時,可以把
積分的常數拿掉。
Tan/微積分-Ch5.5-p286
27
例題 5
計算
2
4
/2
0
0
a. ( x 2 x 1)dx b. 2 xdx c.
3
2
1
解:
a.
2
1
cos xdx
2
1 4 2 3
( x 2 x 1)dx x x x
3
4
1
3
2
16
1 2
4 2 1
3
4 3
1
12
Tan/微積分-Ch5.5-p286
28
例題 5-解
4
4
0
0
b. 2 xdx 2 x dx
1/ 2
4
4 3/ 2
x
3
0
4 3/ 2 4
(4) (0)
3
3
32
3
Tan/微積分-Ch5.5-p286
29
例題 5-解
c.
/2
0
cos xdx sin x0
/2
1 0
1
Tan/微積分-Ch5.5-p286
30
使用代換法計算定積分:例題7
計算
2
0
x x 4。
dx
2
解:
方法I:考慮相對應的不定積分
I x x 4dx x( x 4) dx
2
2
1/ 2
令u = x2 + 4 ,則du = 2x dx 即 xdx 12 du 。
Tan/微積分-Ch5.5-p287
31
例題7-解
將這些等式代入積分後,可得
1 1/ 2
I u du
2
1 3/ 2
u C
3
1 2
3/ 2
( x 4) C
3
Tan/微積分-Ch5.5-p287
32
例題7-解
由函數 f ( x) x x2 4 的反導函數知識,計算給
予的積分如下:
2
0
Tan/微積分-Ch5.5-p287
2
1 2
3/ 2
x x 4dx ( x 4)
3
0
1 3/ 2 1 3/ 2
(8) (4)
3
3
8
(2 2 1)
3
2
33
例題7-解
方法II:改變積分的極限如之前所做的代換。
1
令u = x2 + 4 ,則du =2x dx 即 xdx 2 du。
接著直接觀察:給予的積分之上下限分別為0 和2,
因此所給予的積分範圍(range of integration)為
[0, 2]區間。
Tan/微積分-Ch5.5-p287
34
例題7-解
要進行的代換u = x2 + 4是將原來的積分轉換為另
一個以新的變數u 為變數的積分。
為了得到積分新的極限,注意到當x = 0,u = 0 + 4
= 4,得到對u 積分時積分的下限。
同理,當x = 2,u = 4 + 4 = 8,得到積分的上限。
因此,當此積分是對u積分時,積分範圍變為[4,
8]。
Tan/微積分-Ch5.5-p287~288
35
例題7-解
由於此,積分式可寫成
2
0
1 1/ 2
x( x 4) dx u du
4 2
8
1 3/ 2
u
3
4
2
1/ 2
8
1 3/ 2 1 3/ 2 8
(8) (4) (2 2 1)
3
3
3
如之前所得。
Tan/微積分-Ch5.5-p288
36
奇函數和偶函數的定積分
下面的定理使用被積分函數的對稱性來幫助計算
定積分。
定理4 奇函數和偶函數的積分
假設f 在[ a, a]連續。
a. 若f 是偶的,則
a
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx。
0
a
b. 若f 是奇的,則 a f ( x)dx 0。
Tan/微積分-Ch5.5-p288
37
奇函數和偶函數的定積分
圖5.44 是定理4 的幾何說明。圖5.44a 中,此非負
函數f 圖形下方從–a 到0 的區域面積和圖形f 下方
從0 到a 的區域面積相同,所以圖形f 下方從– a 到
a 的區域面積等於從0 到a 的兩倍。
a
a
a
0
(a) f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
(b) f ( x)dx 0
a
圖5.44 (a) 偶函數和(b) 奇函數的積分
Tan/微積分-Ch5.5-p289
38
奇函數和偶函數的定積分
但是每一個這些面積都有一個適合的積分,所以
得到此定理的第一個結果。
圖5.44b 中,圖形f 上方和x 軸下方從– a 到0 的區
域面積等於圖形f 下方從0 到a 的區域面積;前面
的是負(negative)的積分從0 積到a。
Tan/微積分-Ch5.5-p289
39
例題 9
計算
1
2
sin x
2
1 x
a. ( x 2)dx b.
2
1
2
dx
解:
a. 此處f (–x) = (–x)2 + 2 = x2 + 2 = f (x),所以
根據定理4,
1
1
Tan/微積分-Ch5.5-p289
1
( x 2)dx 2 ( x 2)dx
2
2
0
40
例題 9-解
1
1 3
2 x 2x
3
0
1
14
2 2
3
3
b. 此處
f ( x)
Tan/微積分-Ch5.5-p289~290
sin( x)
1 ( x)
2
41
例題 9-解
sin x
1 x
2
f ( x)
所以f 是奇的。
根據定理4,
2
sin x
2
1 x2
Tan/微積分-Ch5.5-p290
dx 0
42
定積分作為淨變動量
於真實世界的應用中,經常出現某時期的淨變動
量。
譬如:假設P 為人口函數,P(t) 表示某城市於時間
t 的人口。
則人口在t = a到t = b 期間的淨變動為
P(b) – P(a) t = b 時的人口減t = a 時的人口
Tan/微積分-Ch5.5-p290
43
定積分作為淨變動量
若P 的導函數P'在[a, b] 連續,則可以使用微積分
基本定理的第二部分,寫
b
P(b) P(a) P '(t )dt P為P ' 的反導函數
a
因此,若知道人口在時間t 的變化率(rate of
change),則可以透過計算適當的定積分來計算
人口在t = a 到t = b 期間的淨變動。
Tan/微積分-Ch5.5-p290
44
例題 10 Clark 郡的人口成長
Nevada 州的Clark 郡(首府Las Vegas 市)為美國
最快速成長的都會區之一,其人口自1970 年至
2000 年的成長速率為
R(t) = 133,680t2 – 178,788t + 234,633 0 t 4
R(t)的單位為(人口數/ 10 年),t = 0 表示1970
年初。該郡自1980年初至1990 年初人口數的淨改
變量是多少?
(資料來源: U.S. Census Bureau.)
Tan/微積分-Ch5.5-p290
45
例題 10 Clark 郡的人口成長-解
該郡自1980 年初(t = 1)至1990 年初(t = 2)人
口數的淨改變量為P(2) – P(1),其中P 表示該郡在
時間t 的人口數。
由於P' = R,
2
P(2) P(1) P '(t )dt
1
2
R(t )dt
1
2
(133,680t 178.788t 234,633)dt
2
1
Tan/微積分-Ch5.5-p290
46
例題 10 Clark 郡的人口成長-解
44,560t 89,394t 234,633t
3
2
2
1
[44,560(2 ) 89,394(2 ) 234,633(2)]
[44,560 89,394 234,633]
3
2
273,371
故該時間間隔內人口數的淨改變量為278,371 人。
Tan/微積分-Ch5.5-p291
47
定積分作為淨變動量
更廣義地,我們有下面的結果。
假設f 有一個連續的導函數,即使只要f '是可積分
就夠了。
淨變動公式
若f '在[a, b] 連續,則函數f 在[a, b] 的淨變動為
b
f (b) f (a) f '( x)dx
(6)
a
Tan/微積分-Ch5.5-p291
48
定積分作為淨變動量
另一個函數f 的淨變動例題,我們考慮物體在直線
上的運動。假設此物體的位置函數和速度函數分
別為s 和v。
因為s(t) = v(t),所以式(6) 為
b
b
a
a
s(b) s(a) s '(t )dt v(t )dt
它表示此物體在[a, b] 期間位置的淨變動。此位置
的淨變動是物體在t = a 到t = b 期間的位移
(displacement。
Tan/微積分-Ch5.5-p
49
定積分作為淨變動量
為了計算物體在t = a 到t = b 期間移動的距離,觀
察得知,若在[c, d] 區間, v(t) 0 ,則物體在t = c
d
到t = d 期間移動的距離為它的位移 v(t )dt。
c
換言之,若在[c, d] 區間,v(t) 0 ,則物體在t = c
到t = d 期間移動的距離為負的位移,亦
d
即 v(t )dt 。
c
d
d
c
c
但是 v(t )dt v(t )dt 。
Tan/微積分-Ch5.5-p291
50
定積分作為淨變動量
因為
v(t ) v(t ) 0
v(t )
v(t ) v(t ) 0
我們知道不論哪一種情況,物體移動的距離是對
物體的速率作積分的。
因此,物體在t = a 和t = b 之間移動的距離為
b
a
Tan/微積分-Ch5.5-p291
v(t ) dt
(7)
51
定積分作為淨變動量
圖5.45 為物體位移的幾何說明和物體移動的距離。
圖5.45
b
b
位移是 v(t )dt S1 的面積-S2的面積+S3的面積,且距離為 v(t ) dt S1
a
a
的面積+S2的面積+S3 的面積
Tan/微積分-Ch5.5-p292
52