Transcript 9-1 定积分概念.ppt

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数学科学系
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学
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析
电
子
讲
义
黄
淮
学
院
数
学
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学
系
选用教材
《数学分析》
（第三版）
华东师范大学
数学系 编
高等教育出版社
2001年
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黄
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第九章 定积分
§9.1 定积分概念
主讲教师
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周厚勇
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黄
淮
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教学要求:
通过学习，使学生了解定积分的实际
背景，理解定积分的概念 ，并会用定义计
算定积分。
教学重点、难点：
重点：定积分的定义 。
难点：用定义计算定积分。
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电
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讲
义
授课内容
一、问题的提出
1、曲边梯形的面积
黄
淮
学
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系
2、变力沿直线作功
二、定积分的定义
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讲
义
一、问题的提出
y  f (x)
1. 曲边梯形的面积
设 y = f (x)为闭区间[a, b]
上的连续函数，且f (x)≥ 0，
黄
淮
学
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系
y
O a
由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b
y = 0 所围成的图形称为曲边梯形（如图）。
下面讨论曲边梯形的面积
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b x
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电
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讲
义
对于多边形的面积，
我们在中学就已经会计
算了，例如：矩形
显然，曲边梯形的面积
黄
淮
学
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面积 = 底×高
y
y  f (x)
不能用这个公式来计算。
关键是出现了曲边
下面是一个实际例子
O a
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b x
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电
子
讲
义
砖是（直边
的）长方体
烟囱的截面是
（弯曲的）圆
“直的砖”砌
黄
淮
学
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成了“弯的圆”
局部“以直代曲”
我国魏晋时期数学家刘徽由“割圆术”的思
数
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系
（烟囱）
想，并计算3072边形面积得出  3.1416
南北朝时期祖冲之发展了此法，求出圆内接正
12288边形的面积，算出π等于3.1415926
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义
黄
淮
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系
为此，考虑曲边梯形的
f ( i )
y
（如图）
局部---小曲边梯形：
y  f (x)
小曲边梯形的底：
[ xi 1 , xi ]
高： f ( i )
则，小曲边梯形的面积： O a
xi 1 xi
i
b
可近似用小矩形面积代替，即：
Si  f (i )( xi  xi 1 )
利用直与曲的矛盾
曲边梯形的面积计算步骤如下：
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x
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讲
义
黄
淮
学
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⑴ 分割 （化整为零）
用任意的一组分点：
a  x0  x1    xn1  xn  b
y
把 [ a, b ] 分成 n 个小区
间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n
S i
相应地把曲边梯形分为 n
个小曲边梯形，其面积分
别记为ΔSi i=1, 2, …, n
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O a x1
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xi 1 xi b
x
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电
子
讲
义
⑵ 近似代替 （曲转化为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上
y
任取一点ξi ，（如图）
f ( i )
得，底为 [ xi 1 , xi ]
黄
淮
学
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系
高为 f (i ) 的小矩形。
S i
于是小曲边梯形的面积
i
为：S  f ( )x
i
i
i
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O a x1
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xi 1 xi b
x
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讲
义
⑶ 求和 （积零为整）
大曲边梯形的面积
y
f ( i )
n
S   f ( i )xi
黄
淮
学
院
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科
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系
i 1
注意：和式与区间
的分割、小区间上
点的选取有关。
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i
O a x1
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xi 1 xi b
x
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析
电
子
讲
义
y
（直转化为曲）
⑷ 取极限
f ( i )
让每个小区间的长度趋于零
令 || T || max {xi }  0
1i  n
若极限
黄
淮
学
院
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系
n
lim
i
 f ( )x
i
i
xi 1 xi b
x
O
a
1
i 1
存在，且与区间分点和小区间上点的选取无关。
||T ||0
则定义此极限值为曲边梯形的面积，即
S  lim
||T ||  0
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n
 f ( )x
i 1
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i
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i
x
求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的
数
学
分 辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。
析
电 也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小
子
讲 曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的
义
和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的
曲转化为局部的直，即“以直代曲”。然后，再把分割无
黄 限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来
淮
学 大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的
院
曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此反映出来的
数
学 化整为零、积零为整的思想，是微积分的一个重要方法。
科
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系
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数
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电
子
讲
义
2. 变力所作的功
设某质点受力F的作用，沿直线由a移动到b. 已知F是
依赖于质点所在位置的坐标x的连续函数. 计算由a移动到b
力F对质点所作的功W.（如图）
F=F(x)
黄
淮
学
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科
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系
a
b
x
若为F 常力： W＝F（b－a）
利用 不变与变的矛盾
变力沿直线对质点所作功的计算步骤如下：
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数
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析
电
子
讲
义
⑴ 分割
用任意的一组分点：a  x0  x1 
 xn1  xn  b
把 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n
⑵ 近似代替
黄
淮
学
院
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科
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系
在 [ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 于是在该小区间上变力
F对质点所作的功可近似表示为
Wi  F (i )xi
i
a x1
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xi  xi  xi 1
xi 1 xi
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b
t
数
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析
电
子
讲
义
⑶ 求和
在[a, b]上力F
所作的功为：
n
W   F (i ) xi
i 1
⑷ 取极限
黄
淮
学
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系
令 || T || max{x }  0
i
1i  n
若极限
n
lim
||T || 0
 F ( )x
i 1
i
i
存在，
则定义此极限值为变力沿直线所作的功
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数
学
分
析
电
子
讲
义
前面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的
几何问题，另一个是求变力沿直线对质点所作功
的力学问题，它们最终都归结为一个特定形式的
和式的极限，这就是产生定积分概念的背景。在
黄
淮
学
院
科学技术中还有许多这样类型的数学问题，解决
数
学
科
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系
“分割、近似代替、求和、取极限”.
这类问题的思想方法概括起来就是－－积分思想
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数
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电
子
讲
义
二、定积分的定义
定义1: 在 [a, b] 内任取一组分点
a  x0  x1  x2    xn1  xn  b
将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n
这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为
黄
淮
学
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数
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科
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系
T = { x0, x1, …, xn }或{ Δ1, Δ2, … , Δn }
记
a x1
xi 1 xi
i  xi  xi 1
为小区间的长度，并称
b
x
|| T || max {xi } 为分割 T 的模（细度）
1i  n
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数
学
分
析
电
子
讲
义
注意： || T || 反映分割的细密程度，T 一旦给定，
|| T || 随之确定， 但，同一细度的分割可有无限多。
定义2: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的
一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点
i  Δi , i=1, 2, … , n ，作和
黄
淮
学
院
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科
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系
n
 f ( )x
i 1
i
i
或
 (T ,  )
称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为
黎曼（Riemann）和.
（注：因为黎曼和与分割及选点有关,同一||T||下也有不
同的和.）
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数
学 定义3: 设 f (x)是定义在 [a, b] 上的一个函数，J是确定一个
分
析 的实数。若任给ε > 0 ，总存在 δ(ε) > 0 ，使得 对[a, b]的任何
电
子 分割T ,以及在其上任意选取的点集{i } ,只要 ||T|| < δ，就有
讲
义
n
ε 仅于δ有关,对
|  f ( i )xi  J | 
给定的ε,存在 的
i 1
黄 则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积或黎曼可积；数 δ,对一切分法及
淮
学 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分或黎曼积分. 记作 任意取法都一致
院
可用.
b
数
学
科
学
系
J   f ( x)dx
a
其中：f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a, b]称为
积分区间， a, b 称为积分的下限、上限。
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数
学
分
析
电
子
讲
义
定积分定义的陈述与函数极限定义的ε- δ说法相似，所
以，定义3中定积分可以看作黎曼和的极限， 这也说明可由
J  lim
||T || 0
n
 f ( )x  
i 1
i
i
b
a
f ( x)dx
lim f ( x)
定积分求和式极限(见§2例2)
x 0
黄 注 1： 黎曼和的极限与函数的极限有很大的区别，函数极限
淮
学 中对每一个极限变量x(→0)，f(x)的值唯一确定(因f(x) 是x的
院
函数）；黎曼和的极限中对每一个||T||，黎曼和的值并不唯一
数
学 （因黎曼和不是||T||的函数）. 因此严格意义下不应该用黎曼和
科
定义定积分，而应该用ε- δ语言来定义(定义3)。
学
系
在《高等数学》中可以用极限形式来定义定积分。
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数
黎曼和的极限与区间的分法及点集的选取无关(黎曼
学
分 和与它们有关).
下面讨论两个问题.
析
电 问题1. 如果对区间的任意分法，总选取某一种点集，使得
子
n
讲
J  lim
f (i ) xi
能否断定函数可积？
义
||T || 0

i 1
答：不能，如D(x)在[0,1]上不可积，
n
lim
||T || 0
黄 但若取点均为有理数，就有
淮
学 问题2. 如果对区间任意分成n份，则
院
数
学
科
学
系
|| T || 0 一定有
n 
n 
 D( )x
i
i 1
i
1
y
y  f (x)
但仅有
能否保证 || T || 0 ？
答：不能，如图所示．x1  13
O a
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x1
xn 1 b
x
数
学
分
析
电
子
讲
义
注2：用定积分表示前面两个实例（背景）
(1) 曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形面积 S 为
b
S   f ( x )dx
a
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
(2) 变力F 沿直线由 a 到 b 对质点所作的功 W 为
b
W   F ( x)dx
a
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数
学
分
析
电
子
讲
义
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
注3：定积分的几何意义.
（1）当 f (x) ≥ 0 时
定积分

b
a
y=f (x)
f ( x)dx
y
A
S
的几何意义就是曲线 y = f (x)
o
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
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a
b
x
数
学
分
析
电
子
讲
义
（2）当 f (x)  0 时
定积分

b
a
y
数
学
科
学
系
b
x
o
f ( x)dx
的几何意义就是位于 x 轴下方
的曲边梯形面积的相反数（也
黄
淮
学
院
a
S
y=f (x)
称为负面积）. 即

b
a
f ( x)dx   S
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或
b
  [ f ( x)]dx  S
a
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数
学
分
析
电
子
讲
义
（3）当 f (x) 既取得正值, 又取得负值时（非定号）

定积分
b
a
f ( x)dx
的值是 x 轴上方的曲边梯形的正面积
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
与 x 轴下方的曲边梯形的负面积 的代数和
y

b
a
f ( x)dx
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S2
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x
S3
S1
 S1  S3  S 2  S 4
y  f ( x)
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S4
数
学
分
析
电
子
讲
义
注4：定积分数值只与被积函数 f(x)及积分区间
[a, b] 有关, 与积分变量记号无关，即

b
a
b
b
a
a
f ( x)dx   f (t )dt   f (u )du 
注5：按定义，记号

b
f ( x)dx 只有当a<b时才有意义，
a
黄
淮 而当 a=b 或 a>b 时本来没有意义，为了运用上方便，规定
学
a
院
（1）当 a= b 时,
数
学
科
学
系
（2）当 a > b 时,
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

a
b
a
f ( x)dx  0
a
f ( x)dx    f ( x )dx
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b
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数
学 注6: 在用定积分定义求函数的积分时，一般取特殊分割
分
析 和特殊点集，但一定要在黎曼可积的前题下才能实行。
电
子
2
例
1：
求在区间
[
0,
1
]
y

x
讲

义

y
上，以抛物线 y = x2为曲边

的曲边三角形的面积．
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系


解 由定积分的几何意义，
因y=x2在[0,1]上连续,故
1
S   x dx  lim
2
||T || 0
0
上一页
下一页

O

n

i 1
主 页
2
i
 

  








  
S
xi
 

 



  




 
  

 

x
1
数
学
分
析
电
子
讲
义
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
对区间 [ 0, 1 ] 等份分割， 分点为
1 2
n 1
0   
1
n n
n
y
y  x2
1
xi 
n
每个小区间的长度
1
且 || T ||   0, ( n  )
n
i
i 1 i
x
取
i   [
, ]
O 1 2
n 1 1
n
n n
n n
n
(i  1,2, , n)
注：只有黎曼可积（连续→可积，在§3中证明）时,才可以特殊分割,
且
|| T ||  0 等价于
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n
数
学
分
析
电
子
讲
义
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
1
则 S  x 2 dx  lim

0
等价
替换
||T || 0
n
2

 i xi
i 1
n
i 2 1
 lim  ( ) 
n 
n
i 1 n
1 n 2
 lim 3  i
n  n
i 1
1 1
 lim 3  n  (n  1)(2n  1)
n  n
6
1
n  (n  1)(2n  1) 1
 lim

3
6 n 
3
n
上一页
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数
学
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析
电
子
讲
义
黄
淮
学
院
数
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科
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系
结束语：
• 以上通过两个例子引出了定积分的概念，
并由注1到注6揭示了定积分定义的本质。
• 关于定积分的计算方法下次课再讨论。
作业：
P204
1.
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2. (1)-(4)
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学
分
析
电
子
讲
义
参考书：
《数学分析》(第二版)陈纪修 高等教育出版社 2004年
《数学分析讲义》 刘玉琏 高等教育出版社
2003年
《数学分析》(第二版) 陈传璋 高等教育出版社 1990年
黄
淮
学
院
数
学
科
学
系
《数学分析专题研究》王昆扬 高等教育出版社 2001年
《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文 高等教育出版社 1990年
《数学分析习题集》吉米多维奇 安徽人民出版社 2005年
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