Transcript 第1章 §1.3 函数的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 一、函数极限的定义 对于 y  f (x ) , 自变量的变化过程有六种形式: (1) x   ( 2) x   (3) x.

第1章
§1.3
函数的极限
燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
一、函数极限的定义
对于 y  f (x ) , 自变量的变化过程有六种形式:
(1) x  
( 2) x  
(3) x  
( 4) x  x0
(5) x  x0

( 6) x  x0 
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
定义1 设函数 f ( x)当 x 大于某一正数时有定义,
当 x  X 时, 有 f ( x)  A   ,
若   0 ,  X  0 ,
则称常数 A 为函数 f ( x)当x   时的极限, 记作
lim f ( x)  A 或 f ( x)  A (当x   )
x 
x   X 或 x  X A    f ( x)  A  
几何解释:
y
A
y  f (x)
A
X
A
o
X
x
当x<－X或x>X时，函数y=f (x)的图形完全落在以
直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内．
1
y
例1. 证明
1
lim  0.
y
x  x
x
1
1
证:
0 
o
x
x
x
1
故    0 , 欲使  0   , 只要 x  1 即可.
x

1
1
取 X  , 当 x  X 时, 就有
 0.
 0   , 因此 lim
x  x

x
1
两种特殊情况 :
lim f ( x)  A
   0 ,  X  0 , 当 x  X 时, 有
f ( x)  A  
lim f ( x)  A
   0 ,  X  0 , 当 x   X 时, 有
f ( x)  A  
x  
x  
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
(1) x  x0 时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 x0 ; 面积为A )
直接观测值
确定直接观测值精度  :
边长 x
x  x0  
A x0
间接观测值
2
任给精度  , 要求 x  A  
面积 x 2
我们称集合  ( a ,  )   x a    x  a  
x
点a的  邻域.
(
xa 
)
a  a a 


称集合 U( a ,  )   x 0  x  a  
 为点a的
去心  邻域. 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 .
左  邻域 : (a   , a) ,
右  邻域 : (a , a   ) .
定义2 设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 ,
若   0 ,   0 , 当 0  x  x0   时, 有 f ( x)  A  
则称常数 A 为函数 f (x)当 x  x0 时的极限, 记作
lim f ( x)  A 或 f ( x)  A (当x  x0 )
x  x0
即 lim f ( x)  A
x  x0

  0 ,   0 , 当 x   ( x0 ,  )
时, 有 f ( x)  A  
几何解释:
y
A
A
A
当 0  x  x0   时,
y  f (x)
x0 x0   x
函数y=f (x)的图形完全落
在以直线y=A为中心线,宽
为2ε的带形区域内．
这表明:
极限存在
函数在局部有界
注意:
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义无关
2.δ与任意给定的ε有关
x2 1
2
例2. 证明 lim
x 1 x  1
f ( x)  A
证
x2 1

2
x 1
 x  1 2  x  1
故    0 , 取    , 当 0  x  1   时 , 必有
x2 1
2 
x 1
因此
x2 1
lim
2
x 1 x  1
由极限的定义容易证明
lim c  c (c为常数),
x  x0
lim x  x0 ,
x  x0
limsin x  0 , lim cos x  1
x 0
x 0
(2) 左极限与右极限
左极限 : f ( x0  0)  lim  f ( x)  A
x x0
   0 ,   0 , 当 x  ( x0   , x0 )
时, 有 f ( x)  A   .
右极限 : f ( x0  0)  lim f ( x)  A

x x0
   0 ,   0 , 当 x  ( x0 , x0   )
时, 有 f ( x)  A   .
由定义2以及左右极限的定义容易得到
lim f ( x)  A
x x0
lim  f ( x)  lim  f ( x)  A
x x0
x x0
y
例3. 设函数
 x  1, x  0
1

f ( x)   0 , x  0
o 1
 x  1 , x  0
y  x 1
讨论 x  0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解
y  x 1
因为
lim  f ( x)  lim  ( x  1)  1
x 0
x0
lim  f ( x)  lim  ( x  1)  1
x 0
x 0
显然 f (0  0)  f (0  0) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x 0
x
关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论.
定理1（唯一性）在自变量的某个变化过程中，
若函数的极限存在，则这极限是唯一的.
定理2（有界性） 在一点收敛的函数必在该点附
近有界．
定理3 （夹逼准则）
设在区间I上 a( x)  f ( x)  b( x) , x  I
且
则
lim a( x)  lim b( x)  A
lim f ( x)  A
lim f ( x) 表示x的某个变化过程中函数的极限．
内容小结
1. 函数极限的"  X " 或 "   "定义
2. 函数极限的性质: 唯一性、有界性、夹逼准则
与左右极限等价定理
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有lim f ( x)  f ( x0 )？
x x0
不一定!
2. 设函数 f (x) 
a
3
.
x  x0
a x,
x 1
且 lim f ( x) 存在, 则
x1
2 x  1, x  1