Transcript 极限存在准则

Tianjin Normal University
第一章 函数与极限
计算机与信息工程学院
主讲人：张少强
第六节
极限存在准则 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系
及极限存在准则
二、 两个重要极限
1. 夹逼准则 (准则1) (P49)
(1) yn  xn  zn ( n  1, 2,
)
(2) lim yn  lim zn  a
n
n
证: 由条件 (2) ,    0,  N 1 , N 2 ,
当
时,
当
时,
令 N  max N 1 , N 2  , 则当 n  N 时, 有
由条件 (1)
a    yn  x n  z n  a  
即 xn  a   , 故 lim xn  a .
n
lim xn  a
n
例.(P56:4(2))
证明
证: 利用夹逼准则 . 由
1
 1
n 2
 2

 n   n  2
2
n
1 
 2
 2

n  n  n  
且
n2
1
1
lim 2
 lim

n n  
n 1 
n2
1
1
 1
 2
  2
 lim n  2
n
n  n
 n   n  2

1

2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x  ( x0 ,  ) 时, g ( x)  f (x)  h( x) , 且
( x  X  0)
lim g( x )  lim h( x )  A
x  x0
( x  )
x  x0
( x  )
lim f ( x )  A
x  x0
( x  )
( 利用P37定理4及数列的夹逼准则可证 )
3. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
lim xn  a (  M )
n 
a
lim xn  b (  m )
n 
b
( 证明略 )
证明数列
例6. 设
极限存在 . (P53～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
xn  (1  n1 )n
 1

n 1
1! n

n ( n1) 1
2!
n2
n ( n1)( n2) 1


3
3!
n
n ( n1) ( n n1) 1
n!
nn
 11
1
2!
(1  n1 )  3!1 (1  n1 ) (1  n2 ) 
 n1! (1 
1
n
)(1 
2
n
) (1 
n1
n
)
xn  1  1  1 (1  1 )  1 (1  1 ) (1  2 )  
3!
n
2!
n
n
 n1! (1  1n ) (1  n2 ) (1  nn 1)
xn1  1  1  21! (1  n11)  31! (1  n11)(1  n21)  
大
大
 ( n11)! (1  n11)(1  n21)(1  nn1)
正
比较可知
又
xn  xn1 ( n  1, 2,
xn  (1  n1 )n  1  1 
)
又
xn  (1  )  1  1 
1 n
n
 11
 3
1
2
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn  有极限 .
记此极限为 e , 即
lim(1  n1 )n  e
n
e 为无理数 , 其值为 e  2.718281828459045   
二、 两个重要极限
BD
1
x A
o C
证: 当 x  ( 0 , 2 ) 时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
故有
亦即
显然有
1 sin x
2

 12 tan x
sin x  x  tan x
(0  x  2 )
sin x

(0

x

cos x 
1
2)
x
注
例2. 求
tan x
sin x 1 

解: lim
 lim 

x 0
x 0
x
x
cos
x


sin x
1
1
 lim
 lim
x 0
x x 0 cos x
例3. 求
解: 令 t  arcsin x , 则 x  sin t , 因此
t
原式  lim
t  0 sin t
sin t
t
1
例4. 求
sin
1
 lim  x
2 x 0  2
2 x
2
2
2sin
解: 原式 = lim
x 0
x
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为


证:
lim An  lim  R
n
n 
说明: 计算中注意利用

n

1 2
  2 1


R
证明:

sin
2
n
2
n
An  n R sin n cos n
2
x
2
cos n
2.
证: 当 x  0 时, 设 n  x  n  1, 则
(1 
1 n 1
n
)  (1  )  (1  )
1 n
n1
1 x
x
lim(1  n11 )n  lim
n
n
(1  n11 )n1
1  n1 1
e
n
lim(1  n1 )n1  lim[(1  n1 )（
1  n1 ）
] e
n
lim (1  1x ) x  e
x 
n
时, 令 x  ( t  1), 则
当
从而有
 lim (1  t 11 ) ( t 1)
t  
 lim( t t 1 ) ( t 1)
t 
 lim(1  1t )t 1
t 
 lim[(1  1t )t (1  1t )]  e
t
故
lim(1  1x ) x  e
x 
1
z
说明: 此极限也可写为 lim(1  z )  e
z 0
例6. 求
解: 令 t   x , 则
lim(1  1t ) t
t 
 lim
1
t
说明 ：若利用 lim (1 
 ( x )
1 ( x)
( x)
原式  lim  (1 
 x 
)
 e,则
1 x
x
)

1
e
1
例7. 求
解:
原式 =
x
2 2
1
1
lim [(sin x  cos x ) ]
x 
 lim (1  sin 2x )
x 
x
2
1
sin 2x
(1  sin 2x )
e
内容小结
1.数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
2.单调有界数列必有极限。
（单调增有上界） （单调减有下界）
3. 两个重要极限
或
注:
代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x
0 ;
1. lim
 _____
x  x
1
0 ;
3. lim x sin  ____
x 0
x
1
2. lim x sin  ____
;
1
x 
x
1
1 n
e ;
4. lim (1  )  ____
n 
n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
2 (2)，(3)，(4) ;
4 (4) , (5)