Transcript 数列的极限
Slide 1
第1章
§ 1.2
数列的极限
燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
Slide 2
数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代
数及初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多
世纪的顽强探索的结果．
拉夫纶捷夫
一. 极限思想
二. 数列极限
三. 收敛数列的性质
Slide 3
一.极限思想
1、割圆术
“割之弥细，所失
弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆
周合体而无所失矣”
东汉 公元250年左右
——刘徽
《九章算术注》
和《海岛算经》
Slide 4
设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
An 逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
An n 2
1
r sin
2
nr sin
2
n
cos
r cos
n
n
n
( n 3, 4 , 5, )
当 n 无限增大时, An 无限逼近 S .
n
r
Slide 5
2. 截杖问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
《庄子·天下篇》
设杖长为1个单位.
第一天截下的杖长为x1=1/2；
第二天截下的杖长总和为x2=1/2＋1/22；
…
第n天截下的杖长总和为
xn=1/2＋1/22 + … ＋ 1/2n =1－1/2n
当 n 无限增大时, xn 无限逼近 1 .
Slide 6
二.数列极限
1.数列的定义
定义1
以自然数n为自变量的函数xn=f(n) ,
当n依次取1，2，…， n，…时所得到的一列数
x1 ， x2 ，… ， xn ， …
称为无穷数列，简称数列． 可简记为 {xn},数列
中的每个数称为数列的项, xn称为数列的通项.
例如 (1)
1
1 1
1
xn ：，
1
， ， ，，
n
2 3
n
(2) 几何数列或等比数列
2
3
a, aq, aq , aq ,
xn aq
，
aq
其中 a≠0，q≠0,1,q称为公比
n 1
n 1
,
:
Slide 7
2. 有界数列
设有数列{xn}，若 M 0, 使得对 n N ,
都有
xn M
，则称数列{xn}是 有界数列．
否则称为无界数列．
例如 xn
xn
( 1)
2
n
n
有界
无界
2
3
数列 a, aq, aq , aq , ，aq
当满足条件
n 1
,
q 1 时，是有界数列．
Slide 8
3. 数列的单调性
设有数列{xn}
(1)若对自然数n， 总有 x n x n 1 ，则称
数列{xn}是 单调增数列．
(2)若对自然数n， 总有 xn xn 1 ，则称
数列{xn}是 单调减数列．
例如 xn 2n 是单调增数列．
xn
1
n
是单调减数列．
Slide 9
4. 数列的极限
n 1 1
1 (1)
n
观察数列
当n→∞时的变化趋势
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
o
2
4
6
8
10
12
n
Slide 10
问题1: 当n无限增大时， xn是否无限接近于
某一确定的数值？如果是，如何确定？
通过上面演示实验的观察:
当n无限增大时， xn无限接近于1．
问题2: “无限接近”意味着什么？如何用数学
语言刻划它.
xn 1 ( 1)
∴给定 0,
n 1
1
n
1
n
1
只要 n > N(=[ ]), 有 xn 1 成立.
ε
Slide 11
定义2 设{xn}为一数列，如果存在常数a，对
于任意给定的正数 （不论它多么小），总能找到
一个正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式
xn a
都成立，则称 数列{xn}以a为极限或说 数列{xn}收
敛于a, a称为它的极限, 并记作
lim xn a
n
或
xn→a
(n→∞) ．
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
不等式 xn
注意: 1．
a 刻画了xn与a接近的程度;
2．N与任意给定的正数 有关.
Slide 12
利用定义2可以证明下列几个重要的数列极限：
1
(1)
lim
(3)
lim n n 1
n
n
0,进而 lim
n
an
n
0 ,(an是有界量．)
n
(4) lim a
n
n
0
,其中 ∣a∣<1.
Slide 13
三. 收敛数列的性质
b a
2
b a
2
(1) 唯一性
a
a b
2
b
定理1 若数列{xn}收敛，则它的极限是唯一的．
证: 用反证法. 假设 lim xn a , 及 lim xn b ,
n
且 a b. 取
ba
2
n
, 则 存在 N1和N2 ,
使当 n > N1 时, xn a
ba
2
,
从而 xn
使当 n > N2 时, xn b
ba
2
,
从而 xn
a b
2
,
a b
2
.
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不
aa
bb
a ab
等式矛盾.
因此收敛数列的极限必唯一.
3
ba x故假设不真!
b
x x 3b
a bbaa
2
n
22
22
nn
22
Slide 14
(2) 有界性
定理2 若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界．即存在
正数M，对任意自然数n，有 xn M ．
证: 设
有
则有
n
xn a 1, 从而有
xn
取
lim xn a , 取 1 , 则 N , 当 n N 时,
( xn a) a xn a a 1 a
M max x1 , x2 ,
, xN , 1 a
xn M ( n 1 , 2 ,
).
注 有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.
例如,数列(1) n 1 有界，但它是发散的.如果数列有
界且单调,则数列必收敛,即单调有界数列必有极限.
Slide 15
(3) 夹逼准则
定理3
若数列{xn},{yn}和{zn}满足条件
ⅰ) yn xn zn ( n 1, 2,
ⅱ) lim yn lim zn a
n
n
证:由条件ⅱ) ,
0 , N1 ,
)
lim x a .
,则有 n n
N
2
,
时, yn a
当 n N 2 时, zn a
当
令
N max N1 , N2 ,
则当 n N 时, 有
a yn a , a z n a ,
由条件 ⅰ)
即
n N1
a y n xn z n a
xn a , 故
lim xn a .
n
Slide 16
例1. 证明 lim
sin n
n
证
0.
n
利用夹逼准则 .
因为 1 sin n 1,
显然
lim
n
1
0
,
n
lim
n
从而
1
0
.
n
1
n
sin n
n
所以
1
n
lim
sin n
n
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ;
有界性;
,
夹逼准则
n
0.
Slide 17
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.下列数列极限是否存在？如果存在，写出其极
限值．
(1)
(3)
xn 1 1
xn
1
n
n
(2)
xn sin
n
(4)
xn
n
2
n 1
n 1
解 (1),(2)极限不存在; (3),(4)极限存在, 分别
为0, 1.
Slide 18
3.文学意境有着和数学概念相通的地方，唐诗“孤
帆远影碧空尽”正是极限 概念的意境。
4. 已知 x1 1 , xn1 1 2 xn (n 1, 2 ,), 求 lim xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
n
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn , 即该数列是无界的.
n
Slide 19
5．已知{xn}和{yn}的极限都不存在, 能否断定
{xn+yn}的极限一定不存在?
不能断定{xn+yn}的极限一定不存在!
例如, xn=(-1)n, yn=(-1)n+1, 则xn+yn=0(n=1,2, …)
极限存在.
又如, xn=(-1)n, yn=(-1)nn,
极限不存在.
则xn+yn=(-1)n(n+1),
第1章
§ 1.2
数列的极限
燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
Slide 2
数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代
数及初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多
世纪的顽强探索的结果．
拉夫纶捷夫
一. 极限思想
二. 数列极限
三. 收敛数列的性质
Slide 3
一.极限思想
1、割圆术
“割之弥细，所失
弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆
周合体而无所失矣”
东汉 公元250年左右
——刘徽
《九章算术注》
和《海岛算经》
Slide 4
设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
An 逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
An n 2
1
r sin
2
nr sin
2
n
cos
r cos
n
n
n
( n 3, 4 , 5, )
当 n 无限增大时, An 无限逼近 S .
n
r
Slide 5
2. 截杖问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
《庄子·天下篇》
设杖长为1个单位.
第一天截下的杖长为x1=1/2；
第二天截下的杖长总和为x2=1/2＋1/22；
…
第n天截下的杖长总和为
xn=1/2＋1/22 + … ＋ 1/2n =1－1/2n
当 n 无限增大时, xn 无限逼近 1 .
Slide 6
二.数列极限
1.数列的定义
定义1
以自然数n为自变量的函数xn=f(n) ,
当n依次取1，2，…， n，…时所得到的一列数
x1 ， x2 ，… ， xn ， …
称为无穷数列，简称数列． 可简记为 {xn},数列
中的每个数称为数列的项, xn称为数列的通项.
例如 (1)
1
1 1
1
xn ：，
1
， ， ，，
n
2 3
n
(2) 几何数列或等比数列
2
3
a, aq, aq , aq ,
xn aq
，
aq
其中 a≠0，q≠0,1,q称为公比
n 1
n 1
,
:
Slide 7
2. 有界数列
设有数列{xn}，若 M 0, 使得对 n N ,
都有
xn M
，则称数列{xn}是 有界数列．
否则称为无界数列．
例如 xn
xn
( 1)
2
n
n
有界
无界
2
3
数列 a, aq, aq , aq , ，aq
当满足条件
n 1
,
q 1 时，是有界数列．
Slide 8
3. 数列的单调性
设有数列{xn}
(1)若对自然数n， 总有 x n x n 1 ，则称
数列{xn}是 单调增数列．
(2)若对自然数n， 总有 xn xn 1 ，则称
数列{xn}是 单调减数列．
例如 xn 2n 是单调增数列．
xn
1
n
是单调减数列．
Slide 9
4. 数列的极限
n 1 1
1 (1)
n
观察数列
当n→∞时的变化趋势
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
o
2
4
6
8
10
12
n
Slide 10
问题1: 当n无限增大时， xn是否无限接近于
某一确定的数值？如果是，如何确定？
通过上面演示实验的观察:
当n无限增大时， xn无限接近于1．
问题2: “无限接近”意味着什么？如何用数学
语言刻划它.
xn 1 ( 1)
∴给定 0,
n 1
1
n
1
n
1
只要 n > N(=[ ]), 有 xn 1 成立.
ε
Slide 11
定义2 设{xn}为一数列，如果存在常数a，对
于任意给定的正数 （不论它多么小），总能找到
一个正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式
xn a
都成立，则称 数列{xn}以a为极限或说 数列{xn}收
敛于a, a称为它的极限, 并记作
lim xn a
n
或
xn→a
(n→∞) ．
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
不等式 xn
注意: 1．
a 刻画了xn与a接近的程度;
2．N与任意给定的正数 有关.
Slide 12
利用定义2可以证明下列几个重要的数列极限：
1
(1)
lim
(3)
lim n n 1
n
n
0,进而 lim
n
an
n
0 ,(an是有界量．)
n
(4) lim a
n
n
0
,其中 ∣a∣<1.
Slide 13
三. 收敛数列的性质
b a
2
b a
2
(1) 唯一性
a
a b
2
b
定理1 若数列{xn}收敛，则它的极限是唯一的．
证: 用反证法. 假设 lim xn a , 及 lim xn b ,
n
且 a b. 取
ba
2
n
, 则 存在 N1和N2 ,
使当 n > N1 时, xn a
ba
2
,
从而 xn
使当 n > N2 时, xn b
ba
2
,
从而 xn
a b
2
,
a b
2
.
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不
aa
bb
a ab
等式矛盾.
因此收敛数列的极限必唯一.
3
ba x故假设不真!
b
x x 3b
a bbaa
2
n
22
22
nn
22
Slide 14
(2) 有界性
定理2 若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界．即存在
正数M，对任意自然数n，有 xn M ．
证: 设
有
则有
n
xn a 1, 从而有
xn
取
lim xn a , 取 1 , 则 N , 当 n N 时,
( xn a) a xn a a 1 a
M max x1 , x2 ,
, xN , 1 a
xn M ( n 1 , 2 ,
).
注 有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.
例如,数列(1) n 1 有界，但它是发散的.如果数列有
界且单调,则数列必收敛,即单调有界数列必有极限.
Slide 15
(3) 夹逼准则
定理3
若数列{xn},{yn}和{zn}满足条件
ⅰ) yn xn zn ( n 1, 2,
ⅱ) lim yn lim zn a
n
n
证:由条件ⅱ) ,
0 , N1 ,
)
lim x a .
,则有 n n
N
2
,
时, yn a
当 n N 2 时, zn a
当
令
N max N1 , N2 ,
则当 n N 时, 有
a yn a , a z n a ,
由条件 ⅰ)
即
n N1
a y n xn z n a
xn a , 故
lim xn a .
n
Slide 16
例1. 证明 lim
sin n
n
证
0.
n
利用夹逼准则 .
因为 1 sin n 1,
显然
lim
n
1
0
,
n
lim
n
从而
1
0
.
n
1
n
sin n
n
所以
1
n
lim
sin n
n
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ;
有界性;
,
夹逼准则
n
0.
Slide 17
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.下列数列极限是否存在？如果存在，写出其极
限值．
(1)
(3)
xn 1 1
xn
1
n
n
(2)
xn sin
n
(4)
xn
n
2
n 1
n 1
解 (1),(2)极限不存在; (3),(4)极限存在, 分别
为0, 1.
Slide 18
3.文学意境有着和数学概念相通的地方，唐诗“孤
帆远影碧空尽”正是极限 概念的意境。
4. 已知 x1 1 , xn1 1 2 xn (n 1, 2 ,), 求 lim xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
n
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn , 即该数列是无界的.
n
Slide 19
5．已知{xn}和{yn}的极限都不存在, 能否断定
{xn+yn}的极限一定不存在?
不能断定{xn+yn}的极限一定不存在!
例如, xn=(-1)n, yn=(-1)n+1, 则xn+yn=0(n=1,2, …)
极限存在.
又如, xn=(-1)n, yn=(-1)nn,
极限不存在.
则xn+yn=(-1)n(n+1),