Transcript 第一章函数与极限
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第一章
高等数学（XJD）
函数与极限
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第一章
函数与极限
（一）基本概念
（二）函数概念
（三）极限概念
（四）连续概念
（五）典型例题
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（一）基本概念
高等数学（XJD）
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1.集合的定义
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成集合的事物称为该集合的元素.
如： N={1,2, ... }（自然数集）
2 N ， 3 N
Z={n | n=0, ±1,±2, ... }（整数集）
Q={x | x为有理数}（有理数集）
R={ 全体实数 }（实数集）
子集： N Z , Z Q , Q R .
相等：若 A B , 且 B A , 就称集合 A 与 B 相等 . ( A B )
空集：空集为任何集合的子集. A
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2.区间
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数
叫做区间的端点.
如： 闭区间：[ a , b ] { x a x b }
有限区间
o
a
b
x
开区间：( a , ) { x a x }
无限区间
o
a
半开区间：[ a , b ) { x a x b }
(a , b] { x a x b}
[ a , ) { x | a x }
( , b ] { x x b }
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x
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3.邻域
定义
设 a 与 是两个实数
, 且 0 ，则数集
{ x x a }称为点 a 的 邻域 , 点 a 叫做这邻域
的中心 , 叫做这邻域的半径
. 记作
U ( a ) { x a x a }.
a
o
a
a
点 a 的去心的 邻域 , 记作 U ( a ).
0
U ( a ) { x 0 x a }.
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x
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4.常量与变量
在某过程中，数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的
量称为变量. 通常用a, b, c 等表示常量, 用x, y, t 等表示变量.
5.绝对值
a 0
a
a
a
a 0
( a 0)
运算性质:
ab a b ;
绝对值不等式:
a
b
a
b
;
a b a b a b.
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
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（二）函数概念
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函数的内容结
构
基本初等函数
函 数
的定义
复合函数
初等函数
反函数
双曲函数与
反双曲函数
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隐函数
反函数与直接
函数之间关系
函 数
的性质
奇偶性
单调性
有界性
周期性
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1.函数定义
设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集，如果对
于每个数 x∈D，变量 y 按照一定法则总有确定的数
值 y 和它对应, 则称 y 是 x 的函数，记作 y =f (x).
2.函数分类
函
初
等
函
数
代
数
函
数
有
理
函
数
有理整式函数
有理分式函数
无理函数
超越函数
数
非初等函数
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3.函数的对应关系
y
函数的图形
我们把平面上的点集
W
{( x , y ) y f ( x ), x D}
称为 函数 y f ( x )的图形
( x , y )
y
x
o
x
D
函数的两要素： 定义域与对应法则.
D
x0
x
(
对应法则f
(
W
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y
f ( x0 )
)
自变量
)
因变量
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4.函数的特性
(1) 函数的有界性:
设 X D ，若 M 0，使对 x X ，有
则称函数
f ( x ) M 成立 ,
f ( x ) 在 X 上有界 .否则称无界 .
y
y
M
M
y=f(x)
o
x
有界 X
-M
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x0
o
-M
X
无界
x
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(2) 函数的单
调性:
设函数 f ( x ) 的定义域为
D , 区间 I D , 如果对于区间
任意两点 x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2 时 ,
恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ), 则称函数
如果对于区间
f ( x ) 在区间 I 上是单调增加的；
两点 x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2 时 ,
则称函数
y
f ( x ) 在区间
y
；
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
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I 上任意
恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),
I 上是单调减少的
y f ( x)
x
I 上
o
I
x
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(3) 函数的奇
偶性:
设 D 关于原点对称
,
如果对 x D , 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
如果对 x D , 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为奇函数 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x)
f ( x )
f (x)
-x
o
-x
o
x
偶函数
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x f ( x )
奇函数
x
x
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(4) 函数的周期
性:
设函数 f ( x )的定义域为 D , 如果存在一个不为零的 数 l ,
使得对于任一 x D , ( x±l ) D . 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立 .
则称 f ( x )为周 期函数 , l 称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
2
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l
2
l
3l
2
2
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5.基本初等函数
幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数统
称为基本初等函数.
1）幂函数
y x
( 是常数 )
2）指数函数
ya
x
( a 0 , a 1)
3）对数函数
y log a x
4）三角函数
y sin x ;
y tan x ;
( a 0 , a 1)
y cos x ;
y cot x ;
5）反三角函数 y arcsin x ; y arccos x ;
y arctan x ; y arc cot x
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6.复合函数与初等
函数
设函数 y f (u) 的定义域为 D1 , 值域为
的定义域为 D2 ,值域为
f ( D 1 ),
u j( x )
f ( D 2 ) , 若 f ( D 2 ) D 1 ，则在集合
D { x | x D 2 , j ( x ) D 1 } 上 y(x) f [j( x )] 成为 x 的函数, 称
此函数为复合函数 ,其中的 D 为定义域.
注意: 并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的
函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等
函数
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7.双曲函数与反双曲
函数
e e
x
双曲正弦
sinh x
x
y cosh x
2
D : ( , ), 奇函数.
e e
x
双曲余弦
cosh x
x
y
1
2
e
x
2
D : ( , ),
偶函数.
y sinh x
双曲正切函数
tanh x
sinh x
cosh x
e
x
e
x
e
x
e
x
D : ( , ) 有界奇函数
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y
1
2
e
x
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反双曲正弦
y ar sinh x ln( x
D : ( , )
反双曲余弦
奇函
数,
x 1)
2
在 ( , ) 内单调增加 .
y ar cosh x ln( x
x 1)
2
D : [1 , ) 在 [1 , ) 内单调增加 .
反双曲正切
y ar tanh x
1
ln
2
1 x
1 x
.
D : ( 1 ,1 ) 奇函数, 在 ( 1 ,1 ) 内单调增加 .
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ;
cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1 ;
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2
cosh 2 x cosh
2
2
x sinh
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2
x.
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（三）极限概念
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极限的内容结构
数列极限
lim x n a
n
函
数
lim f ( x ) A
x
极
限
lim f ( x ) A
x x0
无穷大
lim f ( x )
两者的
关系
无穷小
极限存在的
充要条件
左右极限
无穷小的比较
lim f ( x ) 0
判定极限
存在的准则
两个重要
极限
等价无穷小
及其性质
无穷小
的性质
唯一性
求极限的常用方法
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极限的性质
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1.数列的定
义
直觉定义：
如果 n 时 , 数列 x n 无限地接近于常数
则称 a 是数列 x n 的极限. 或说数列
lim x n a
n
或
a，
收敛于a. 记作
x n a (n )
ε-N 定义：
对 0 , N 0 , 使当 n N 时 , 有 | x n A |
则称 a 是数列 x n 的极限. 或说数列 x n 收敛于a. 记作
lim x n a
n
或
x n a (n )
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
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2.函数极限定
义
f ( x ) A：
对 0 , , 有 | f ( x ) A |
f ( x ) 0：
对 0 , , 有 | f ( x ) |
f ( x) ：
对 M 0 , , 有 | f ( x ) | M
f ( x ) ： 对 M 0 , , 有 f ( x ) M
对极
限的
刻画
f ( x ) ： 对 M 0 , , 有 f ( x ) M
lim f ( x )
x?
对过
程的
刻画
x x 0：
0 , 使当 0 | x x 0 | 时
x x 0 0： 0 , 使当 0 x x 0 时
x x 0 0： 0 , 使当 0 x 0 x 时
x ：
X 0 , 使当 | x | X 时
x ：
x ：
X 0 , 使当 x X 时
高等数学（XJD）
X 0 , 使当 x X 时
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3.无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
无穷小的运算性质
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小
在同一过程中,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
常数与无穷小的乘积是无穷小.
有限个无穷小的乘积也是无穷小.
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4. 关于极限的几个基本定
(1) 有界 理
性
定理
若 在 某 个 过 程 下 , f (x) 有 极 限 ,则 存 在
过 程 的 一 个 时 刻 ,在 此 时 刻 以 后 f ( x ) 有 界 .
推论 收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
(2) 唯一性
定理
若 lim f ( x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
推论 每个收敛的数列只有一个极限.
注意： 无界数列必定发散.
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(3) 保序性
定理
设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B .
x x0
x x0
若 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ), 则 A B .
0
推论
设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且 A B
x x0
x x0
则 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ).
0
(4) 保号
性定理
若 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ),
x x0
则 0 ,当 x U ( x 0 , )时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ).
0
推论 若 lim f ( x ) A , 且 0 ,当 x U 0 ( x 0 , )时 ,
x x0
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ), 则 A 0 ( 或 A 0 ).
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(5) 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定理 若 lim f ( x ) A , 数列 f ( x n )是 f ( x )当 x a
x a
时的一个子列
, 则有 lim f ( x n ) A .
n
(6) 极限与左右极限的
关系
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
x x0
(7) 无穷小与函数极限的关系:
定理 1
lim
f ( x ) A f ( x ) A a( x ),
x
x0
其中 a( x ) 是当 x x 0 时的无穷小 .
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5.极限的运算性质
四则运算性： 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1)
lim[ f ( x ) g ( x )] A B;
( 2)
lim[ f ( x ) g ( x )] A B;
( 3)
lim
f ( x)
g( x )
A
,
其中B 0.
B
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
等价替换性：设 a ~ a, ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
a
a
a
n
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n
Slide 29
6.判定极限存在的准则
如果当 x U ( x 0 , r ) (或 x M )时,有
0
准则Ⅰ′
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ),
( 2) lim g ( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
( x )
x x0
( x )
那末 lim f ( x ) 存在,且等于 A .
x x0
( x )
准则Ⅱ
(夹逼准则)
单调有界数列必有极限.
7.两个重要极限
(1)
lim
x 0
sin x
1
x
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(2)
1
lim (1 ) e
x
x
x
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8.无穷小的比较
设 a , 是同一过程中的两个无
( 1 ) 如果 lim
a
穷小 , 且 a 0 .
0 , 就说 是比 a 高阶的无穷小
,
记作 o ( a );
( 2 ) 如果 lim
a
C ( C 0 ), 就说 与 a 是同阶的无穷小
特殊地 如果 lim
a
1 , 则称 与 a 是等价的无穷小
记作 a ~ ;
( 3 ) 如果 lim
a
k
C ( C 0 , k 0 ), 就说 是 a 是 k 阶的
无穷小 .
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;
;
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9.求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子或无穷因子法求极限;
c.分0极限因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用两个准则求极限;
f.利用两个重要极限求极限;
g.利用等价替换求极限;
h.利用左右极限求极限.
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（四）连续概念
高等数学（XJD）
Slide 33
连续的内容结构
连
续
lim y 0
x 0
定
义
间断点定义
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
左右连续
连续的
充要条件
在区间[a,b]
上连续
连续函数的
运算性质
非初等函数
的连续性
初等函数
的连续性
高等数学（XJD）
第一类 第二类
可跳
去跃
间间
断断
点点
无振
穷荡
间间
断断
点点
连续函数
的 性 质
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1.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在点x 0 的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0
x 0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连
续点.
定义2
lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
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2.单侧连续性
若函数 f ( x ) 在 ( a , x 0 ]内有定义 , 且 f ( x 0 0 ) f ( x 0 ),
则称 f ( x ) 在点 x 0 处左连续 ;
若函数 f ( x ) 在 [ x 0 , b )内有定义 , 且 f ( x 0 0 ) f ( x 0 ),
则称 f ( x ) 在点 x 0 处右连续 .
如果函数在开区间
( a , b )内连续 , 并且在左端点
x a 处右连续 , 在右端点 x b 处左连续 , 则称
函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ]上连续 .
定理 函数f ( x )在 x 0 处连续 是函数f ( x )在 x 0 处
既左连续又右连续.
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3.间断点的分类
(1) 跳跃间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处左 , 右极限都
存在 , 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ), 则称点 x 0 为函数
f ( x )的跳跃间断点
.
(2) 可去间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的极限存在
,
但 lim f ( x ) A f ( x 0 ), 或 f ( x ) 在点 x 0 处无定
x x0
义则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点
.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
第二类间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的左 , 右极限
至少有一个不存在
类间断点 .
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, 则称点 x 0 为函数 f ( x )的第二
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4.初等函数的连续性
定理1
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.
定理2
连续函数经加、减、乘、除（在分母不为0处）
后仍为连续函数.
定理3
若 lim j ( x ) a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 , 则有
x x0
lim f [ j ( x )] f ( a ) f [ lim j ( x )].
x x0
定理4
x x0
设函数 u j ( x ) 在点 x x 0 连续 , 且 j ( x 0 )
u 0 , 而函数 y f ( u ) 在点 u u 0 连续 , 则复合函数
y f [ j ( x )] 在点 x x 0 也连续 .
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
高等数学（XJD）
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5.闭区间上连续函数
的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数
一定有最大值和最小值.
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区
间上有界.
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) A 及 f (b ) B ,
那末，对于A 与 B 之间的任意一个数C ，在开区间
(a, b )内至少有一点x，使得 f ( x) c (a x b) .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值
m之间的任何值.
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Slide 39
（五）典型
例题
例1 求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
解
16 x 0 ,
2
x 1 0,
x 1 1,
x 4
x 1
x 2
1 x 2及 2 x 4,
即 ( 1 , 2 ) ( 2 , 4 ).
高等数学（XJD）
Slide 40
例
2 设f ( x )
f(
x 1
) 2 x , 其中x 0, x 1.求f ( x ).
x
解 利用函数表示法的无关特性，令 t
x 1
, 即 x
x
代入原方程得 f (
令
1
1 x
f(
1
1 u
u 1
u
) f(
1
1 t
) f (t )
, 即 x
u 1
u
)
1
1 u
2( u 1)
u
解之，得
高等数学（XJD）
2
1 t
, 即f ( x ) f (
1
1 x
1
1 t
)
,
2
1 x
,
, 代入上式得
, 即 f(
1
1 x
) f(
x 1
)
2( x 1)
x
f ( x) x
x
1
x
1
1 x
1.
Slide 41
例
3
解
n
当 x 1时, 求 lim (1 x )(1 x )(1 x ) (1 x ).
2
4
2
n
将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim
2
4
2
n
1 x
n
n
n
(1 x )(1 x )
2
1 x
n
2
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
2
lim
4
1 x
n
lim
n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
2
1
1 x
.
2
lim
1 x
高等数学（XJD）
n
n1
1 x
n
( 当 x 1时 , lim x
2
2
n1
0 .)
Slide 42
1 tan x x
例
求 lim(
)
4 x0 1 sin x
1
3
.
解 设 lim f ( x ) 0, lim g ( x ) , 则 ( ln[1 f ( x )] ~ f ( x ))
lim[1 f ( x )]
g (x)
e
lim g ( x ) ln[1 f ( x )]
e
lim g ( x ) f ( x )
1
1
tan x sin x x
1 tan x
3
x
原式 lim[1 (
1)] lim [1
]
x 0
x 0
1 sin x
1 sin x
tan x sin x 1
lim
3
x 0
1 sin x
x
lim
x 0
sin x (1 co s x )
(1 sin x ) co s x
1
sin x 1 cos x
1
lim
2
x 0
2
x
x
(1 sin x ) cos x
1
原式 e 2 .
高等数学（XJD）
3
1
x
3
.
Slide 43
例设 p ( x )是 多 项 式 , 且
5
lim
p(x)
x 0
解
lim
p(x) x
x
x
3
2
2,
1, 求 p ( x ).
x
lim
p( x ) x
x
x
2
3
2,
可设p( x ) x 2 x ax b(其中a , b为待定系数 )
3
又 lim
x 0
p( x )
x
2
1,
p( x ) x 2 x ax b ~ x ( x 0)
3
从而得
2
b 0 , a 1 . 故 p( x ) x 2 x x
3
高等数学（XJD）
2
Slide 44
例
6
解
x 1 , x 1
讨 论 f ( x)
的 连 续 性.
x
, x 1
cos
2
显 然 f ( x ) 在 ( , 1), ( 1,1), (1, )内 连 续 .
当 x 1时 , lim f ( x ) lim (1 x ) 2 . lim f ( x )
x 1
x 1
x 1
lim cos
x 1
x
2
lim f ( x ) lim f ( x ) 故 f ( x ) 在 x 1间 断 .
x 1
当 x 1时 ,
x 1
lim f ( x ) lim cos
x 1
x 1
x
2
0.
lim f ( x ) lim ( x 1)
x 1
x 1
lim f ( x ) lim f ( x )
x 1
f ( x ) 在 ( , 1)
x 1
故 f ( x ) 在 x 1连 续 .
( 1, ) 连 续 .
高等数学（XJD）
0.
0.
Slide 45
例
7
设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f ( 0) f (1),
1
证
证明必有一点x [0,1]使得f (x ) f (x ).
2
令 F ( x) f ( x
) f ( x ),
则 F ( x ) 在 [0,
1
1
2
1
讨论:
1
1
]上 连 续 .
2
F (0) f ( ) f (0), F ( ) f (1) f ( ),
2
2
2
1
若 F (0) 0, 则 x 0, f (0 ) f (0);
2
1 1
1
1
1
f ( ) f ( );
若 F ( ) 0, 则 x ,
2 2
2
2
2
1
若 F (0) 0, F ( ) 0, 则
2
F (0 ) F (
1
2
1
) [ f ( ) f (0)] 2
0.
2
1
1
x
(0,
),
使
F
(
x
)
0.
即
f
(
x
) f (x ) 成 立 .
由零点定理知,
2
2
1
综上, 必 有 一 点 x [0, ] [0,1], 使 f (x 1 ) f (x ) 成 立 .
2
2
高等数学（XJD）
Slide 46
测 验
题
一 、选择题：
1． 函 数 y
1 x arccos
x1
的定义域是（
）
2
(A) x 1 ；
(B) 3 x 1 ；
(C) ( 3 , 1 ) ；
(D) x x 1 x 3 x 1.
x 3 , 4 x 0
2.函 数 f ( x ) 2
的定义域是（
x 1,0 x 3
(A) 4 x 0 ；
(B) 0 x 3 ;
(C) ( 4 , 3 ) ;
(D) x 4 x 0 x 0 x 3 .
高等数学（XJD）
）
Slide 47
3 、 函 数 y x cos x sin x 是 （
(A) 偶 函 数 ；
）
(B) 奇 函 数 ；
(C) 非 奇 非 偶 函 数 ； (D) 奇 偶 函 数 .
4、函数 f ( x ) 1 cos
2
(A) 2 ；
(B) ；
(C) 4 ；
(D)
5、函数 f ( x )
1
）
.
2
x
1 x
x 的最小正周期是（
2
在定义域为（ ）
f ( x ) 12 ；
x
2 .
(B)有下界无上界； (D)有界，且 2
2
1 x
(A)有上界无下界； (C)有界，且
高等数学（XJD）
1
2
Slide 48
6、 与 f ( x )
x
(A) x ；
2
等价的函数是（
(B) (
3
(C) ( 3 x ) ；
(D) x
）
2
x) ；
.
7、 当 x 0 时 ， 下 列 函 数 哪 一 个 是 其 它 三 个 的 高 阶
无穷小（
）
（ A） x ；
（ B） 1 cos x ；
（ C ） x tan x ； （ D ） ln( 1 x ) .
2
8、 设 a 0 , b 0 0 , 则 当 （
lim
a0 x
m
a1 x
m 1
n1
）时有
........ a m
a0
b0
b 0 x b1 x
......... b n
(A) m n ；
(B) m n ；
(C) m n ；
(D) m , n 任 意 取 .
x
n
高等数学（XJD）
.
Slide 49
x 1, 1 x 0
9、设 f ( x )
，则 lim f ( x ) (
x 0
x ,0 x 1
(A)-1 ；
(C)0 ；
10 、 lim
x 0
(A)1 ；
(C)0 ；
(B)1 ；
(D)不存在 .
x
（
）
x
(B)-1 ；
(D ) 不 存 在 .
二、求下列函数的定义域：
1、 y sin( 2 x 1 ) arctan x ;
高等数学（XJD）
)
Slide 50
9x x )
2
2、j ( x )
lg(
1 .
2
三 、 设 g ( x 1) 2 x 3 x 1
（ 1） 试 确 定 a, b, c 的 值 使
2
g ( x 1) a ( x 1) b( x 1) c ；
（ 2 ） 求 g ( x 1) 的 表 达 式
.
2
四 、 求 f ( x ) ( 1 x ) sgn x 的 反 函 数 f
2
1
(x) .
五、求极限：
2n n 1
2
1 、 lim
n
(1 n )
2
；
2、 lim
x 3
1 x 2
x3
2
3 、 lim ( 1 x ) x
x 0
高等数学（XJD）
；
1
；
4 、 lim x ( e
x
x
1) ；
Slide 51
5 、 当 x 0 时 ， lim cos
n
x
x
2x
2
2
cos
x
4
........ cos
x
2
n
；
1
2
x sin
6 、 lim
x
1
.
sin ax , x 1
六、设 有 函 数 f ( x)
试确定 a 的
a ( x 1) 1, x 1
值使 f (x) 在 x 1 连续 .
1
x arctan
x 1的连续性，并判
七、讨 论 函 数 f (x)
sin
x
2
断其间断点的类型 .
八、证明奇次多项式：
P(x) a0 x
2n1
a1 x
在一个实根 .
高等数学（XJD）
2n
a 2n1 (a 0 0) 至 少 存
Slide 52
测验题答案
一 、 1、 B；
2 、 D；
3、 B；
4、 C；
5、 C；
6、 D；
7 、 C；
二 、 1 、 ( , );
8、 B；
9、 D；
10 、 D ；
2 、 [4,5].
三 、 a 2 , b 1, c 0 , g ( x 1) 2 x 5 x 3 .
2
x 1, x 1
1
四 、 f ( x ) 0, x 0
.
( x 1) , x 1
2
1
e
五 、 1、 2；
2、 ； 3、 ；
4 、 1；
4
2
6、
.
2
高等数学（XJD）
5、
sin x
x
；
Slide 53
六、 a
2
2 k ( k 0 ,1 , 2 , )
七、 x 0可去间断点, x 1跳跃间断点,
x 2 n ( n 1, 2 , ) 无 穷 间 断 点 ,
x 为其它实数时 f (x) 连续.
高等数学（XJD）
第一章
高等数学（XJD）
函数与极限
返回
Slide 2
第一章
函数与极限
（一）基本概念
（二）函数概念
（三）极限概念
（四）连续概念
（五）典型例题
高等数学（XJD）
Slide 3
（一）基本概念
高等数学（XJD）
Slide 4
1.集合的定义
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成集合的事物称为该集合的元素.
如： N={1,2, ... }（自然数集）
2 N ， 3 N
Z={n | n=0, ±1,±2, ... }（整数集）
Q={x | x为有理数}（有理数集）
R={ 全体实数 }（实数集）
子集： N Z , Z Q , Q R .
相等：若 A B , 且 B A , 就称集合 A 与 B 相等 . ( A B )
空集：空集为任何集合的子集. A
高等数学（XJD）
Slide 5
2.区间
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数
叫做区间的端点.
如： 闭区间：[ a , b ] { x a x b }
有限区间
o
a
b
x
开区间：( a , ) { x a x }
无限区间
o
a
半开区间：[ a , b ) { x a x b }
(a , b] { x a x b}
[ a , ) { x | a x }
( , b ] { x x b }
高等数学（XJD）
x
Slide 6
3.邻域
定义
设 a 与 是两个实数
, 且 0 ，则数集
{ x x a }称为点 a 的 邻域 , 点 a 叫做这邻域
的中心 , 叫做这邻域的半径
. 记作
U ( a ) { x a x a }.
a
o
a
a
点 a 的去心的 邻域 , 记作 U ( a ).
0
U ( a ) { x 0 x a }.
高等数学（XJD）
x
Slide 7
4.常量与变量
在某过程中，数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的
量称为变量. 通常用a, b, c 等表示常量, 用x, y, t 等表示变量.
5.绝对值
a 0
a
a
a
a 0
( a 0)
运算性质:
ab a b ;
绝对值不等式:
a
b
a
b
;
a b a b a b.
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
高等数学（XJD）
Slide 8
（二）函数概念
高等数学（XJD）
Slide 9
函数的内容结
构
基本初等函数
函 数
的定义
复合函数
初等函数
反函数
双曲函数与
反双曲函数
高等数学（XJD）
隐函数
反函数与直接
函数之间关系
函 数
的性质
奇偶性
单调性
有界性
周期性
Slide 10
1.函数定义
设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集，如果对
于每个数 x∈D，变量 y 按照一定法则总有确定的数
值 y 和它对应, 则称 y 是 x 的函数，记作 y =f (x).
2.函数分类
函
初
等
函
数
代
数
函
数
有
理
函
数
有理整式函数
有理分式函数
无理函数
超越函数
数
非初等函数
高等数学（XJD）
Slide 11
3.函数的对应关系
y
函数的图形
我们把平面上的点集
W
{( x , y ) y f ( x ), x D}
称为 函数 y f ( x )的图形
( x , y )
y
x
o
x
D
函数的两要素： 定义域与对应法则.
D
x0
x
(
对应法则f
(
W
高等数学（XJD）
y
f ( x0 )
)
自变量
)
因变量
Slide 12
4.函数的特性
(1) 函数的有界性:
设 X D ，若 M 0，使对 x X ，有
则称函数
f ( x ) M 成立 ,
f ( x ) 在 X 上有界 .否则称无界 .
y
y
M
M
y=f(x)
o
x
有界 X
-M
高等数学（XJD）
x0
o
-M
X
无界
x
Slide 13
(2) 函数的单
调性:
设函数 f ( x ) 的定义域为
D , 区间 I D , 如果对于区间
任意两点 x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2 时 ,
恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ), 则称函数
如果对于区间
f ( x ) 在区间 I 上是单调增加的；
两点 x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2 时 ,
则称函数
y
f ( x ) 在区间
y
；
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
高等数学（XJD）
I 上任意
恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),
I 上是单调减少的
y f ( x)
x
I 上
o
I
x
Slide 14
(3) 函数的奇
偶性:
设 D 关于原点对称
,
如果对 x D , 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
如果对 x D , 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为奇函数 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x)
f ( x )
f (x)
-x
o
-x
o
x
偶函数
高等数学（XJD）
x f ( x )
奇函数
x
x
Slide 15
(4) 函数的周期
性:
设函数 f ( x )的定义域为 D , 如果存在一个不为零的 数 l ,
使得对于任一 x D , ( x±l ) D . 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立 .
则称 f ( x )为周 期函数 , l 称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
2
高等数学（XJD）
l
2
l
3l
2
2
Slide 16
5.基本初等函数
幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数统
称为基本初等函数.
1）幂函数
y x
( 是常数 )
2）指数函数
ya
x
( a 0 , a 1)
3）对数函数
y log a x
4）三角函数
y sin x ;
y tan x ;
( a 0 , a 1)
y cos x ;
y cot x ;
5）反三角函数 y arcsin x ; y arccos x ;
y arctan x ; y arc cot x
高等数学（XJD）
Slide 17
6.复合函数与初等
函数
设函数 y f (u) 的定义域为 D1 , 值域为
的定义域为 D2 ,值域为
f ( D 1 ),
u j( x )
f ( D 2 ) , 若 f ( D 2 ) D 1 ，则在集合
D { x | x D 2 , j ( x ) D 1 } 上 y(x) f [j( x )] 成为 x 的函数, 称
此函数为复合函数 ,其中的 D 为定义域.
注意: 并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的
函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等
函数
高等数学（XJD）
Slide 18
7.双曲函数与反双曲
函数
e e
x
双曲正弦
sinh x
x
y cosh x
2
D : ( , ), 奇函数.
e e
x
双曲余弦
cosh x
x
y
1
2
e
x
2
D : ( , ),
偶函数.
y sinh x
双曲正切函数
tanh x
sinh x
cosh x
e
x
e
x
e
x
e
x
D : ( , ) 有界奇函数
高等数学（XJD）
y
1
2
e
x
Slide 19
反双曲正弦
y ar sinh x ln( x
D : ( , )
反双曲余弦
奇函
数,
x 1)
2
在 ( , ) 内单调增加 .
y ar cosh x ln( x
x 1)
2
D : [1 , ) 在 [1 , ) 内单调增加 .
反双曲正切
y ar tanh x
1
ln
2
1 x
1 x
.
D : ( 1 ,1 ) 奇函数, 在 ( 1 ,1 ) 内单调增加 .
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ;
cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1 ;
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2
cosh 2 x cosh
2
2
x sinh
高等数学（XJD）
2
x.
Slide 20
（三）极限概念
高等数学（XJD）
Slide 21
极限的内容结构
数列极限
lim x n a
n
函
数
lim f ( x ) A
x
极
限
lim f ( x ) A
x x0
无穷大
lim f ( x )
两者的
关系
无穷小
极限存在的
充要条件
左右极限
无穷小的比较
lim f ( x ) 0
判定极限
存在的准则
两个重要
极限
等价无穷小
及其性质
无穷小
的性质
唯一性
求极限的常用方法
高等数学（XJD）
极限的性质
Slide 22
1.数列的定
义
直觉定义：
如果 n 时 , 数列 x n 无限地接近于常数
则称 a 是数列 x n 的极限. 或说数列
lim x n a
n
或
a，
收敛于a. 记作
x n a (n )
ε-N 定义：
对 0 , N 0 , 使当 n N 时 , 有 | x n A |
则称 a 是数列 x n 的极限. 或说数列 x n 收敛于a. 记作
lim x n a
n
或
x n a (n )
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
高等数学（XJD）
Slide 23
2.函数极限定
义
f ( x ) A：
对 0 , , 有 | f ( x ) A |
f ( x ) 0：
对 0 , , 有 | f ( x ) |
f ( x) ：
对 M 0 , , 有 | f ( x ) | M
f ( x ) ： 对 M 0 , , 有 f ( x ) M
对极
限的
刻画
f ( x ) ： 对 M 0 , , 有 f ( x ) M
lim f ( x )
x?
对过
程的
刻画
x x 0：
0 , 使当 0 | x x 0 | 时
x x 0 0： 0 , 使当 0 x x 0 时
x x 0 0： 0 , 使当 0 x 0 x 时
x ：
X 0 , 使当 | x | X 时
x ：
x ：
X 0 , 使当 x X 时
高等数学（XJD）
X 0 , 使当 x X 时
Slide 24
3.无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
无穷小的运算性质
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小
在同一过程中,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
常数与无穷小的乘积是无穷小.
有限个无穷小的乘积也是无穷小.
高等数学（XJD）
Slide 25
4. 关于极限的几个基本定
(1) 有界 理
性
定理
若 在 某 个 过 程 下 , f (x) 有 极 限 ,则 存 在
过 程 的 一 个 时 刻 ,在 此 时 刻 以 后 f ( x ) 有 界 .
推论 收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
(2) 唯一性
定理
若 lim f ( x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
推论 每个收敛的数列只有一个极限.
注意： 无界数列必定发散.
高等数学（XJD）
Slide 26
(3) 保序性
定理
设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B .
x x0
x x0
若 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ), 则 A B .
0
推论
设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 且 A B
x x0
x x0
则 0 , x U ( x 0 , ), 有 f ( x ) g ( x ).
0
(4) 保号
性定理
若 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ),
x x0
则 0 ,当 x U ( x 0 , )时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ).
0
推论 若 lim f ( x ) A , 且 0 ,当 x U 0 ( x 0 , )时 ,
x x0
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ), 则 A 0 ( 或 A 0 ).
高等数学（XJD）
Slide 27
(5) 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定理 若 lim f ( x ) A , 数列 f ( x n )是 f ( x )当 x a
x a
时的一个子列
, 则有 lim f ( x n ) A .
n
(6) 极限与左右极限的
关系
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
x x0
(7) 无穷小与函数极限的关系:
定理 1
lim
f ( x ) A f ( x ) A a( x ),
x
x0
其中 a( x ) 是当 x x 0 时的无穷小 .
高等数学（XJD）
Slide 28
5.极限的运算性质
四则运算性： 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1)
lim[ f ( x ) g ( x )] A B;
( 2)
lim[ f ( x ) g ( x )] A B;
( 3)
lim
f ( x)
g( x )
A
,
其中B 0.
B
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
等价替换性：设 a ~ a, ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
a
a
a
n
高等数学（XJD）
n
Slide 29
6.判定极限存在的准则
如果当 x U ( x 0 , r ) (或 x M )时,有
0
准则Ⅰ′
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ),
( 2) lim g ( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
( x )
x x0
( x )
那末 lim f ( x ) 存在,且等于 A .
x x0
( x )
准则Ⅱ
(夹逼准则)
单调有界数列必有极限.
7.两个重要极限
(1)
lim
x 0
sin x
1
x
高等数学（XJD）
(2)
1
lim (1 ) e
x
x
x
Slide 30
8.无穷小的比较
设 a , 是同一过程中的两个无
( 1 ) 如果 lim
a
穷小 , 且 a 0 .
0 , 就说 是比 a 高阶的无穷小
,
记作 o ( a );
( 2 ) 如果 lim
a
C ( C 0 ), 就说 与 a 是同阶的无穷小
特殊地 如果 lim
a
1 , 则称 与 a 是等价的无穷小
记作 a ~ ;
( 3 ) 如果 lim
a
k
C ( C 0 , k 0 ), 就说 是 a 是 k 阶的
无穷小 .
高等数学（XJD）
;
;
Slide 31
9.求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子或无穷因子法求极限;
c.分0极限因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用两个准则求极限;
f.利用两个重要极限求极限;
g.利用等价替换求极限;
h.利用左右极限求极限.
高等数学（XJD）
Slide 32
（四）连续概念
高等数学（XJD）
Slide 33
连续的内容结构
连
续
lim y 0
x 0
定
义
间断点定义
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
左右连续
连续的
充要条件
在区间[a,b]
上连续
连续函数的
运算性质
非初等函数
的连续性
初等函数
的连续性
高等数学（XJD）
第一类 第二类
可跳
去跃
间间
断断
点点
无振
穷荡
间间
断断
点点
连续函数
的 性 质
Slide 34
1.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在点x 0 的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0
x 0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连
续点.
定义2
lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
高等数学（XJD）
Slide 35
2.单侧连续性
若函数 f ( x ) 在 ( a , x 0 ]内有定义 , 且 f ( x 0 0 ) f ( x 0 ),
则称 f ( x ) 在点 x 0 处左连续 ;
若函数 f ( x ) 在 [ x 0 , b )内有定义 , 且 f ( x 0 0 ) f ( x 0 ),
则称 f ( x ) 在点 x 0 处右连续 .
如果函数在开区间
( a , b )内连续 , 并且在左端点
x a 处右连续 , 在右端点 x b 处左连续 , 则称
函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ]上连续 .
定理 函数f ( x )在 x 0 处连续 是函数f ( x )在 x 0 处
既左连续又右连续.
高等数学（XJD）
Slide 36
3.间断点的分类
(1) 跳跃间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处左 , 右极限都
存在 , 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ), 则称点 x 0 为函数
f ( x )的跳跃间断点
.
(2) 可去间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的极限存在
,
但 lim f ( x ) A f ( x 0 ), 或 f ( x ) 在点 x 0 处无定
x x0
义则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点
.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
第二类间断点： 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的左 , 右极限
至少有一个不存在
类间断点 .
高等数学（XJD）
, 则称点 x 0 为函数 f ( x )的第二
Slide 37
4.初等函数的连续性
定理1
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.
定理2
连续函数经加、减、乘、除（在分母不为0处）
后仍为连续函数.
定理3
若 lim j ( x ) a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 , 则有
x x0
lim f [ j ( x )] f ( a ) f [ lim j ( x )].
x x0
定理4
x x0
设函数 u j ( x ) 在点 x x 0 连续 , 且 j ( x 0 )
u 0 , 而函数 y f ( u ) 在点 u u 0 连续 , 则复合函数
y f [ j ( x )] 在点 x x 0 也连续 .
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
高等数学（XJD）
Slide 38
5.闭区间上连续函数
的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数
一定有最大值和最小值.
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区
间上有界.
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) A 及 f (b ) B ,
那末，对于A 与 B 之间的任意一个数C ，在开区间
(a, b )内至少有一点x，使得 f ( x) c (a x b) .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值
m之间的任何值.
高等数学（XJD）
Slide 39
（五）典型
例题
例1 求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
解
16 x 0 ,
2
x 1 0,
x 1 1,
x 4
x 1
x 2
1 x 2及 2 x 4,
即 ( 1 , 2 ) ( 2 , 4 ).
高等数学（XJD）
Slide 40
例
2 设f ( x )
f(
x 1
) 2 x , 其中x 0, x 1.求f ( x ).
x
解 利用函数表示法的无关特性，令 t
x 1
, 即 x
x
代入原方程得 f (
令
1
1 x
f(
1
1 u
u 1
u
) f(
1
1 t
) f (t )
, 即 x
u 1
u
)
1
1 u
2( u 1)
u
解之，得
高等数学（XJD）
2
1 t
, 即f ( x ) f (
1
1 x
1
1 t
)
,
2
1 x
,
, 代入上式得
, 即 f(
1
1 x
) f(
x 1
)
2( x 1)
x
f ( x) x
x
1
x
1
1 x
1.
Slide 41
例
3
解
n
当 x 1时, 求 lim (1 x )(1 x )(1 x ) (1 x ).
2
4
2
n
将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim
2
4
2
n
1 x
n
n
n
(1 x )(1 x )
2
1 x
n
2
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
2
lim
4
1 x
n
lim
n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
2
1
1 x
.
2
lim
1 x
高等数学（XJD）
n
n1
1 x
n
( 当 x 1时 , lim x
2
2
n1
0 .)
Slide 42
1 tan x x
例
求 lim(
)
4 x0 1 sin x
1
3
.
解 设 lim f ( x ) 0, lim g ( x ) , 则 ( ln[1 f ( x )] ~ f ( x ))
lim[1 f ( x )]
g (x)
e
lim g ( x ) ln[1 f ( x )]
e
lim g ( x ) f ( x )
1
1
tan x sin x x
1 tan x
3
x
原式 lim[1 (
1)] lim [1
]
x 0
x 0
1 sin x
1 sin x
tan x sin x 1
lim
3
x 0
1 sin x
x
lim
x 0
sin x (1 co s x )
(1 sin x ) co s x
1
sin x 1 cos x
1
lim
2
x 0
2
x
x
(1 sin x ) cos x
1
原式 e 2 .
高等数学（XJD）
3
1
x
3
.
Slide 43
例设 p ( x )是 多 项 式 , 且
5
lim
p(x)
x 0
解
lim
p(x) x
x
x
3
2
2,
1, 求 p ( x ).
x
lim
p( x ) x
x
x
2
3
2,
可设p( x ) x 2 x ax b(其中a , b为待定系数 )
3
又 lim
x 0
p( x )
x
2
1,
p( x ) x 2 x ax b ~ x ( x 0)
3
从而得
2
b 0 , a 1 . 故 p( x ) x 2 x x
3
高等数学（XJD）
2
Slide 44
例
6
解
x 1 , x 1
讨 论 f ( x)
的 连 续 性.
x
, x 1
cos
2
显 然 f ( x ) 在 ( , 1), ( 1,1), (1, )内 连 续 .
当 x 1时 , lim f ( x ) lim (1 x ) 2 . lim f ( x )
x 1
x 1
x 1
lim cos
x 1
x
2
lim f ( x ) lim f ( x ) 故 f ( x ) 在 x 1间 断 .
x 1
当 x 1时 ,
x 1
lim f ( x ) lim cos
x 1
x 1
x
2
0.
lim f ( x ) lim ( x 1)
x 1
x 1
lim f ( x ) lim f ( x )
x 1
f ( x ) 在 ( , 1)
x 1
故 f ( x ) 在 x 1连 续 .
( 1, ) 连 续 .
高等数学（XJD）
0.
0.
Slide 45
例
7
设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f ( 0) f (1),
1
证
证明必有一点x [0,1]使得f (x ) f (x ).
2
令 F ( x) f ( x
) f ( x ),
则 F ( x ) 在 [0,
1
1
2
1
讨论:
1
1
]上 连 续 .
2
F (0) f ( ) f (0), F ( ) f (1) f ( ),
2
2
2
1
若 F (0) 0, 则 x 0, f (0 ) f (0);
2
1 1
1
1
1
f ( ) f ( );
若 F ( ) 0, 则 x ,
2 2
2
2
2
1
若 F (0) 0, F ( ) 0, 则
2
F (0 ) F (
1
2
1
) [ f ( ) f (0)] 2
0.
2
1
1
x
(0,
),
使
F
(
x
)
0.
即
f
(
x
) f (x ) 成 立 .
由零点定理知,
2
2
1
综上, 必 有 一 点 x [0, ] [0,1], 使 f (x 1 ) f (x ) 成 立 .
2
2
高等数学（XJD）
Slide 46
测 验
题
一 、选择题：
1． 函 数 y
1 x arccos
x1
的定义域是（
）
2
(A) x 1 ；
(B) 3 x 1 ；
(C) ( 3 , 1 ) ；
(D) x x 1 x 3 x 1.
x 3 , 4 x 0
2.函 数 f ( x ) 2
的定义域是（
x 1,0 x 3
(A) 4 x 0 ；
(B) 0 x 3 ;
(C) ( 4 , 3 ) ;
(D) x 4 x 0 x 0 x 3 .
高等数学（XJD）
）
Slide 47
3 、 函 数 y x cos x sin x 是 （
(A) 偶 函 数 ；
）
(B) 奇 函 数 ；
(C) 非 奇 非 偶 函 数 ； (D) 奇 偶 函 数 .
4、函数 f ( x ) 1 cos
2
(A) 2 ；
(B) ；
(C) 4 ；
(D)
5、函数 f ( x )
1
）
.
2
x
1 x
x 的最小正周期是（
2
在定义域为（ ）
f ( x ) 12 ；
x
2 .
(B)有下界无上界； (D)有界，且 2
2
1 x
(A)有上界无下界； (C)有界，且
高等数学（XJD）
1
2
Slide 48
6、 与 f ( x )
x
(A) x ；
2
等价的函数是（
(B) (
3
(C) ( 3 x ) ；
(D) x
）
2
x) ；
.
7、 当 x 0 时 ， 下 列 函 数 哪 一 个 是 其 它 三 个 的 高 阶
无穷小（
）
（ A） x ；
（ B） 1 cos x ；
（ C ） x tan x ； （ D ） ln( 1 x ) .
2
8、 设 a 0 , b 0 0 , 则 当 （
lim
a0 x
m
a1 x
m 1
n1
）时有
........ a m
a0
b0
b 0 x b1 x
......... b n
(A) m n ；
(B) m n ；
(C) m n ；
(D) m , n 任 意 取 .
x
n
高等数学（XJD）
.
Slide 49
x 1, 1 x 0
9、设 f ( x )
，则 lim f ( x ) (
x 0
x ,0 x 1
(A)-1 ；
(C)0 ；
10 、 lim
x 0
(A)1 ；
(C)0 ；
(B)1 ；
(D)不存在 .
x
（
）
x
(B)-1 ；
(D ) 不 存 在 .
二、求下列函数的定义域：
1、 y sin( 2 x 1 ) arctan x ;
高等数学（XJD）
)
Slide 50
9x x )
2
2、j ( x )
lg(
1 .
2
三 、 设 g ( x 1) 2 x 3 x 1
（ 1） 试 确 定 a, b, c 的 值 使
2
g ( x 1) a ( x 1) b( x 1) c ；
（ 2 ） 求 g ( x 1) 的 表 达 式
.
2
四 、 求 f ( x ) ( 1 x ) sgn x 的 反 函 数 f
2
1
(x) .
五、求极限：
2n n 1
2
1 、 lim
n
(1 n )
2
；
2、 lim
x 3
1 x 2
x3
2
3 、 lim ( 1 x ) x
x 0
高等数学（XJD）
；
1
；
4 、 lim x ( e
x
x
1) ；
Slide 51
5 、 当 x 0 时 ， lim cos
n
x
x
2x
2
2
cos
x
4
........ cos
x
2
n
；
1
2
x sin
6 、 lim
x
1
.
sin ax , x 1
六、设 有 函 数 f ( x)
试确定 a 的
a ( x 1) 1, x 1
值使 f (x) 在 x 1 连续 .
1
x arctan
x 1的连续性，并判
七、讨 论 函 数 f (x)
sin
x
2
断其间断点的类型 .
八、证明奇次多项式：
P(x) a0 x
2n1
a1 x
在一个实根 .
高等数学（XJD）
2n
a 2n1 (a 0 0) 至 少 存
Slide 52
测验题答案
一 、 1、 B；
2 、 D；
3、 B；
4、 C；
5、 C；
6、 D；
7 、 C；
二 、 1 、 ( , );
8、 B；
9、 D；
10 、 D ；
2 、 [4,5].
三 、 a 2 , b 1, c 0 , g ( x 1) 2 x 5 x 3 .
2
x 1, x 1
1
四 、 f ( x ) 0, x 0
.
( x 1) , x 1
2
1
e
五 、 1、 2；
2、 ； 3、 ；
4 、 1；
4
2
6、
.
2
高等数学（XJD）
5、
sin x
x
；
Slide 53
六、 a
2
2 k ( k 0 ,1 , 2 , )
七、 x 0可去间断点, x 1跳跃间断点,
x 2 n ( n 1, 2 , ) 无 穷 间 断 点 ,
x 为其它实数时 f (x) 连续.
高等数学（XJD）