Transcript 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节 初等函数的运算与初等函数的连续性
一、四则运算的连续性
定理1
若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x 0 处连续 ,
则 f ( x )  g ( x ), f ( x )  g ( x ),
f (x)
g( x)
( g( x0 )  0)
在点 x 0 处也连续 .
例如, sin x , cos x 在 (  ,  )内连续 ,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续
.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如, y  sin x 在 [ 
 
,
2 2
]上单调增加且连续
,
故 y  arcsin x 在 [  1 ,1 ]上也是单调增加且连续
同理 y  arccos x 在 [  1 ,1 ]上单调减少且连续
.
;
y  arctan x , y  arc cot x 在 [  ,  ]上单调且连续
反三角函数在其定义域内皆连续.
.
定理3
若 lim  ( x )  a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
x  x0
则有 lim f [  ( x )]  f ( a )  f [ lim  ( x )].
x  x0
证
x  x0
 f ( u ) 在点 u  a 连续 ,
   0 ,    0 , 使当 u  a   时 ,
恒有 f ( u )  f ( a )   成立 .
又  lim  ( x )  a ,
x  x0
对于   0 ,    0 , 使当 0  x  x 0   时 ,
恒有  ( x )  a  u  a   成立 .
将上两步合起来:
   0 ,    0 , 使当 0  x  x 0   时 ,
f ( u )  f ( a )  f [ ( x )]  f ( a )   成立 .
 lim f [ ( x )]  f ( a )  [ lim  ( x )].
x  x0
x  x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2 .变量代换 ( u   ( x ))的理论依据 .
例1 求 lim
x 0
ln( 1  x )
x
.
1
解 原式  lim ln( 1  x ) x
x 0
1
 ln[ lim ( 1  x ) x ]  ln e  1 .
x 0
例2
解
求 lim
e
x 0
令 e
x
x
1
.
x
则 x  ln( 1  y ),
 1  y,
当 x  0时 , y  0 .
原式  lim
y 0
同理可得
y
ln( 1  y )
lim
x0
a
x
 lim
1
x
1
1
y 0
ln( 1  y )
 ln a .
y
 1.
定理4
设函数 u   ( x ) 在点 x  x 0 连续 , 且
 ( x 0 )  u 0 , 而函数 y  f ( u ) 在点 u  u 0 连续 ,
y  f [  ( x )] 在点 x  x 0 也连续 .
则复合函数
注意
定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 
1
在 (  , 0 )  ( 0 ,   )内连续 ,
x
y  sin u 在 (  ,   )内连续 ,
 y  sin
1
x
在 (  , 0 )  ( 0 ,   )内连续 .
三、初等函数的连续性
1 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
2
指数函数 y  a
x
( a  0 , a  1)
在 (  ,  )内单调且连续
3
对数函数 y  log a x
( a  0, a  1)
在 ( 0 ,  )内单调且连续
;
;
4
y x

a
 log a x
在 ( 0 ,   )内连续 ,
y  a , u   log a x .
u
讨论  不同值 ,
(均在其定义域内连续 )
定理5
基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6
续的.
一切初等函数在其定义区间内都是连
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其
定义域内不一定连续;
例如,
y
cos x  1 ,
D : x  0 , 2  , 4  , 
这些孤立点的邻域内没有定义.
y
x ( x  1) ,
2
3
D : x  0 , 及 x  1,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [1 ,  ) 上连续 .
lim f ( x )  f ( x0 )
( x0  定义区间 )
x  x0
例3
求 lim sin
x1
解
e
x
 1.
1
e  1  sin
原式  sin
1 x 1
e  1.
2
例4 求 lim
x 0
.
x
( 1  x  1 )( 1  x  1 )
2
解
原式  lim
x 0
 lim
x 0
2
x ( 1  x  1)
2
x
1 x 1
2

0
2
 0.
四、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0  I , 使得对于任一 x  I 都有
f ( x )  f ( x0 )
( f ( x )  f ( x0 ))
则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y  1  sin x , 在 [ 0 , 2  ]上 , y max  2 , y min  0;
y  sgn x , 在 (  ,  ) 上 , y max  1 ,
在 ( 0 ,  ) 上 ,
y min   1;
y max  y min  1 .
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x )  C [ a , b ],
y
则   1 ,  2  [ a , b ],
y  f ( x)
使得  x  [ a , b ],
有 f ( 1 )  f ( x ),
f ( 2 )  f ( x ).
o
a
2
1 b
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
x
y
y
y  f ( x)
y  f ( x)
1

o
x
o
2
x
1
2
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界.
证 设函数 f ( x )在 [ a , b ]上连续 ,
有 m  f (x)  M ,
则有
f (x)  K .
 x  [ a , b ],
取 K  max{ m , M },
 函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上有界 .
五、介值定理
定义: 如果 x 0 使 f ( x 0 )  0 , 则 x 0 称为函数
f ( x )的零点 .
定 理 3( 零 点 定 理 )
设函数 f ( x) 在闭区间
a , b 
上 连 续 ， 且 f ( a ) 与 f ( b ) 异 号 ( 即 f ( a )  f ( b )  0 ),
那 末 在 开 区 间 a , b  内 至 少 有 函 数 f ( x ) 的 一 个 零
点 ,即 至 少 有 一 点  (a    b ) ， 使 f ( )  0 .
即方程 f ( x )  0 在 ( a , b ) 内至少存在一个实根
.
几何解释:
连续曲线弧
y
y  f ( x)
y  f ( x )的两个
a o
端点位于 x 轴的不同侧 , 则曲
线弧与 x 轴至少有一个交点
定理 4(介值定理)
1
2
3
b
.
设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a )  A 及 f (b)  B ,
那末，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间
a, b 内至少有一点 ，使得 f ( )  C (a    b ) .
x
证 设  ( x )  f ( x )  C , 则  ( x )在 [ a , b ]上连续 ,
且  (a )  f (a )  C  A  C ,
 (b )  f (b )  C  B  C ,
  (a )   (b )  0,
由零点定理,
   ( a , b ), 使
 ( )  0 , 即  (  )  f (  )  C  0 ,
几何解释: 连续曲线弧
 f ( )  C .
y  f ( x )与水平
直线 y  C 至少有一个交点
.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M 与最小值 m 之间的任何值.
例1 证明方程 x  4 x  1  0 在区间 ( 0 ,1 ) 内
3
2
至少有一根 .
证 令 f ( x )  x 3  4 x 2  1 , 则 f ( x )在 [ 0 ,1 ]上连续 ,
又 f (0)  1  0,
f (1 )   2  0 ,
   ( a , b ), 使 f ( )  0 ,
由零点定理,
即   4  1  0 ,
3
2
 方程 x  4 x  1  0 在 ( 0 ,1 )内至少有一根
3
2
.
例2 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a )  a ,
f ( b )  b . 证明    ( a , b ), 使得 f ( )   .
证 令 F ( x )  f ( x )  x , 则 F ( x )在 [ a , b ]上连续 ,
而 F (a )  f (a )  a  0,
F (b )  f (b )  b  0,
   ( a , b ),
即 f ( )   .
由零点定理,
使 F ( )  f ( )    0 ,
六、小结
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性.
复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义.
初等函数的连续性.
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.