Transcript 闭区间套定理
第四章 实数的连续性
§ 4.1实数的连续性定理
§4.2 闭区间连续函数性质的证明
§4.1 实数连续性定理
一、闭区间套定理
定理 1. (闭区间套定理) 设有闭区间列 {[an , bn ]}.
若:
(1) [a1 , b1 ] [a 2 , b 2 ] [ a n , b n ]
(2)
lim(bn an ) 0.
n
则存在唯一数 l属于所有的闭区间(即 [a n , bn ] l ),
n 1
且:
lim an lim bn l.
n
n
从图上看,有一列闭线段(两个端点也属
于此线段),后者被包含在前者之中,并且这
些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一
闭线段存在唯一一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间
套定理不一定成立.
二 、确界定理
非空数集E有上界,则它有无限多个上界,
在这无限多个上界之中,有一个上界 与数集
E有一种特殊关系.
定义:设E是非空数集.若 R 使
(1) x E.有x
(2) 0, x0 E, 有 - x0 .
则称是 数集E的上确界.表为 sup E.
类似地,可以定义下确界.表为 inf E.
定理2（确界定理）若非空数集E有上界
(下界)，则数集E存在唯一的上确界(下确界).
例2： sup{1,2,3,4}=4 ; inf{1,2,3,4}=1
n
例1: (Ⅰ) sup{n 1 n N } 1 ;
(Ⅱ)
n
1
inf{
n N}
n 1
2
.
三 、有限覆盖定理
设 I 是一个区间（或开或闭）、并有开
区间集
S （
S 的元素都是开区间、开区间的个
数可有限也可无限）.
定义：若 x I， S .有 x . 则称
开区间集 S 覆盖区间 I .
定理3(有限覆盖定理）若开区间集 S 覆盖闭
区间 a, b ，则 S 中存在有限个开区间也覆
盖了闭区间 a, b .
注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海
涅-波莱尔定理.
2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区
间 a, b 改为开区间 a，b 定理不一定成立.
四、聚点定理
定义：设 E是数轴上的无限点集. 是数轴
上的一个定点（可以属于E ，也不可以属
于 E ）.
定理4（聚点定理）数轴上有界无限点集 E
至少有一个聚点.
五、致密性定理
定理5(致密性定理) 有界数列{an }必有收
敛的子数列{a nk } .
六、柯西收敛准则
定理6(柯西收敛准则) 数列 {an } 收敛
有
0, N N , n, m N ,
an am
证明: 必要性( )已证,见§2.2定理8.
充分性()首先证明数列 {an }有界.
根据致密性定理(定理5),数列 {an } 存在一个
ank a .
收敛的子数列{a nk },设 lim
k
an a
其次证明 lim
.
n
已知 0, N N ,n, m N ,有 an am
又已知 lim ank a ,即
n
对上述同样 0, k N , nk k ,
有 ank a .取 L max{N , k} .从而,
n L, nk L ,同时有 an a
与 ank a .
于是,
an a an ank ank a 2
an a .或数列 {an } 收敛.
即 lim
n
§4.2
闭区间连续函数性质的证明
性质的证明
定理1.(有界性) 若函数 f (x)在闭区间[ a, b]
连续,则函数 f (x) 在闭区间 [ a, b]有界,即
0, x [a, b], 有 f ( x) M
证法 由已知条件得到函数 f (x) 在[ a, b]的
每一点的某个邻域有界.要将函数 f (x) 在每一
点的领域有界扩充到在闭区间 [ a, b]有界,可
M 0 .
应用有限覆盖定理,从而能找到
定理2(最值性) 若函数 f (x) 在闭区间[ a, b]
连续,则函数 f (x) 在[ a, b] 取到最小值 m 与最大
值 M ,即在 [ a, b]上存在 x1 与 x2 ,使
f ( x1 ) m 与 f ( x2 ) M
且 x a, b ,有 m f ( x) M
证法 只给出取到最大值的证明.根据定理
f (x) 在
[a, b] 有界.
1,函数
设 sup f ( x) x a, b M.只须证明,x2 a, b,
使 f ( x2 ) M ,即函数 f (x) 在 x2 取到最大值.用反
证法.假设x a, b,有 f ( x) M.显然,函数 M f ( x)
在 a, b 连续,且 M f ( x) 0.于是,函数
1
g ( x)
M f ( x)
在 a, b 也连续.根据定理1.存在 C 0, x a, b
1
1
有 g ( x)
C 或 f ( x) M
C
M f ( x)
则 M不是数集 f ( x) x a, b 的上确界,矛盾.
定理3(零点定理) 若函数 f (x) 在闭区间[ a, b]
连续,且 f (a) f (b) 0 (即 f (a)与 f (b)异号),则在区
间 [ a, b]内至少存在一点 c ,使 f (c) 0
证明 不妨设 f (a) 0 , f (b) 0 .用反证法和
闭区间套定理.假设 x a, b ,有 f ( x) 0 .
二、 一致连续性
定义:设函数 f (x) 在区间 I 上有定义,若
0, 0, x1 , x2 I , x1 x2
有 f x1 f ( x2 ) 称函数 f (x) 在 I 一致连续（或
均匀连续）
定理4(一致连续性) 若函数f (x)在闭区间[ a, b]
连续，则函数 f (x) 在闭区间 [ a, b]一致连续
分析：应用反证法与致密性定理
根据一致连续定义，若函数 f (x) 在 I 一致连
续，则函数 f (x) 在 I 必连续
一致连续与非一致连续对比
一致连续: 0, 0,x1, x2 I , x1 x2 有 f x1 f (x2 )
非一致连续: 0 0, 0, x1, x2 I , x1 x2 有 f x1 f (x2 )
例子
1
例1 证明：函数 f x 在 ,10 1 一致
x
连续，在 0,1 非一致连续
例2 证明：函数 f ( x) sin x在R一致连续