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《数学建模》
主讲 李华平
重庆城市管理职业学院
信息工程系
上一讲内容
•模型分析
•模型假设
建模方法论
• 模型建立、求解与分析（1）
• 机理分析法
• 测试分析法
◆建立模型的几个常用原理
与方法
◆建立模型的基本考虑
◆关于模型的分析问题
◆实例1（方桌问题）
建立模型的几个常用原理
与方法
◇1、利用各种定律建模
•
如物理定律，化学定律，经常学定律，
医学定律，数学本身的各种定律等
• 物理定律：
• 牛顿运动定律、万有引力定律、热传导
定律、动能、势能、弹簧质量系统及其
振动过程中的固有频率定律等等。
◇2、利用平衡原理建模
• 平衡原理是指自然界的任何物质在其变
化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
•
注意发掘实际问题中的平衡原理是从
物质运动机理的角度组建数学模型的一
个关键问题。就象中学的数学应用题中
等量关系的发现是建立方程的关键一样。
◇3、利用类比方法建模
• 把问题归结或转化为我们憝知的模型，
给予类似的解决。
◇4、利用几何图示法建模
• 有不少实际问题的解决只要从几何上给
予解释和说明就足够了，因而只需建立
其图模型即可。
◇5、建立何种模型，要结合自己
• 的数学基础、偏好和使用模型的对象等
具体情况，不能一概而论。
三、关于模型的分析问题
• 一个数学模型建立和求解后，还有一个
重要步骤需引起我们的足够重视，这就
是对模型结果的进一步分析、检验、修
改、推广、评价以及应用等问题。
• 具体说来有下面几点；
• 1、检验与修改是将数学上分析的结果返
回到实际问题中去，并用实际现象或数据
与模型计算机出的结果进行比较以检验模
型的合理性和适用性。
• 假如有较大出入，则模型需进行必要的修
改，甚至要推倒重来，这一问题的产生通
常出在模型假设上，要重新审视假设简化
的合理性。请注意，需要修改时，应尽量
在原模型基础上进行。
2、推广与评价，其一是对所建
• 模型的优、缺点进行客观评注，其二是
将条件加以增减或放宽，讨论模型能够
进行一步适应的范围。
• 3、分析变量间依赖关系或稳定性状况，
诸如增减性，最值性，渐近性及数据微
小变化对解的影响等。
4、依据结果给出预报、控制
• 或最优决定。
• 5、误差分析也是常作的一项工作，这
是国灰所搜集的信息、数据本身具有误
差，假设不合理等。
四、方桌问题
• 四条腿的方桌能在
地面上放稳吗？试
组建数学模型给予
表述。
• 图
问题分析
• 1、方桌能否在地面上放稳，是指方桌
的四个桌脚能否同时着地，四个桌脚与
地面的距离能否同时为零。
• 2、进行实际操作以集信息（演示）
• 3、方桌放稳与否与哪些因素有关？
• 地面是否平坦？
• 四条桌腿是否同长？
4、建模目标是
• 构造四个距离函数，然后证明这四个距
离函数同时为零，这相当于研究函数的
零点存在性。
模型假设
• 1、方桌的四条腿同长，
• 2、将方桌的脚与地面的接触处视为几
何点，四点连线呈正方形。
• 3、地面相对平坦，即在任何位置至少
三只脚同时着地。
• 4、地面高度连续变化，可视为数学上
的连续曲面。
依假设2，为了确定起见，以这个正方形
中心为原点建立平面直角坐标系
• 并假设旋转开始
时（角度 =0），
四个桌脚点A，B，
C，D中A，C位于
X轴上，则B，D
位于Y轴上。
• 如图
B
A
C
O
x
D
B
旋转角度后，点A，B，C，D变到点
/
/
/
A , B ,C , D
/
显然
随着的改变，方桌
• 正方形ABCD
• 绕O点旋转
的位置也跟着改
变，从而桌脚与
A´
A
C
O
地面距离也随之
改变。
B
B´
x
C´
D
D´
f  
• 由于正方形的中心对称性，
只要设两个距离函数就行
了，记A、C两脚与地面距
f ( )
，B、D两脚
离之和为
与地面距离之和为
显然
g ( )
、
f ( ) g ( )  0
，
，
• 由假设4知
f ( )
都是连续函数
g ( )
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学
问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质
考察四脚呈长方形的椅子
连续函数的介值定理
若f ( x)在闭区间[a, b]上连续，f (a) f (b)  0,
则在开区间(a, b)内至少存在一点 , 使f ( )  0.
y

a
o



b
思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？
x