Transcript Document

数学物理方法建模
物理1002班
雷青
20100922042
数学建模 1
问题：将一只四条腿一样长的椅子放在不
平的地面上，问是否总能设法使它的四条
腿同时着地。
椅子能在不平的地面上放稳吗？
在下列假设条件下，回答是肯定的。
模型假设
1 地面高度连续变化，可视为数学上的连
续曲面;
2 地面相对平坦，椅子的腿是足够长的，
椅子在任意位置至少有三只脚同时着地；
3 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四
脚连线呈正方形；
B
B
´
4 以椅子的中心为坐标
A´
原点，对角线的初始位
A

C
O
置为坐标轴，椅子绕原
x
点旋转，椅子位置用
C´
D´
D
(对角线与x轴的夹角)
表示。
模型构建
记 A,C 两脚与地面距离之和为 f ( )
记 B,D 两脚与地面距离之和为 g( )
由假设1
f ( ), g( ) 是连续函数
由假设2
对任意 ,
f ( ) g ( )  0
现不妨设 f (0)  0, g(0)  0
数学问题
已知： f ( ), g( ) 是连续函数;对任意
f ( ) g( )  0 且. f (0)  0, g (0)  0
f ( 0 )  g( 0 )  0
证明：存在 ，使
0
模型求解
将椅子旋转90度时，对角线AC和BD互换。
所以


f ( )  0, g ( )  0
2
2
令 h( )  f ( )  g( ) ,则 h( ) 为连续函数,且

h(0)  0, h( )  0
2
据连续函数的基本性质, 必存在  0 ,使 h( 0 )  0
即 f ( 0 )  g( 0 ) .
因为 f ( ) g( )  0 , 所以 f ( 0 )  g( 0 )  0
评注和思考 建模的关键是  和 f ( ), g( )的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学建模 2
问题(商人们怎
样安全过河)：
河
小船(至多2人)
三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小
船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密
约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多,
就杀人越货. 但是如何乘船渡河由商人决定，
问商人应如何安排才能安全渡河。
问题分析
这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑
推理求解。当然也可视为一个多步决策问题，
每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船
上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两
岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员
过河
由于该问题是虚拟的，已经理想化了，所
以不必再作假设。
模型构建
记 第k次渡河前此岸的商人数为 xk ，随
从数为 yk ，而 sk  ( xk , yk ) 为过程中的状态。
安全渡河条件下的状态称为允许状态，全
体允许状态构成的集合记为 S
S  {(0,0), ( 0,1), ( 0,2), ( 0,3), (1,1), ( 2,2)
( 3,0), ( 3,1), ( 3,2), ( 3,3)}
记 第k次渡船上的商人数为 uk ，随从数
为 vk ，而 d k  (uk , vk ) 为过程中的决策。
安全渡河条件下的决策称为允许决策，全
体允许决策构成的集合记为 D
D  {( 0,1), ( 0,2), (1,0), (1,1), ( 2,0)}
因为，k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为
偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态转移律为
sk 1  sk  (1) d k
k
多步决策问题模型：
求 d k  D 使 s k  S 并按转移律由 s1  ( 3, 3)
到达 sn1  (0,0)
模型求解
• 穷举法
k
s

s

(

1
)
dk 且 d k  D
s

(
3
,
3
)
从 1
通过 k 1 k
使得 s k  S 得到 sn1  (0,0)
例如 s1  ( 3, 3) 通过 s2  s1  d1 且 d1  D 得到
可能的 s2  {(3,2), ( 3,1), ( 2,2)}
如果 s2  ( 3, 2) 则 s3  ( 3, 3) 还原，故 s2  ( 3, 2)
如果 s2  ( 2, 2) 则 s3  ( 3, 2) 如果 s2  ( 3, 1) 也有
s3  ( 3,2) 故 s2  {( 2,2), ( 3,1)}且 s3  ( 3,2)
穷举法适宜编程上机运算
• 图解法
y
状态s=(x,y)为16个格点
s1
3
允许状态为10个点
d1
2
允许决策为移动1或2格;
k为奇数时,向左、下移;
k为偶数时,向右、上移.
1
d11
0
sn+1
1
2
3
d1, ，d11给出安全渡河方案
评注和思考
考虑4名商人各带一随从的情况
x
数学建模 3
例（万有引力定律的发现 ）
十五世纪中期，哥白尼提出了震惊世界的
日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二
十多年时间,观察纪录下了当 时已发现的五大
行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对
这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著
名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和
牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第
三定律即 万有引力定律
开普勒三大定律
1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的
一个焦点上。
2.行星在单位时间内扫过的面积不变。
3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的
三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常
数）
行
星
r

这其中必定是某一力学
规律的反映，哼哼，我
要找出它。。。。
太
阳
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
p
r
1  e cos
矢径所扫过的面积A 的微分为:
由开普勒第二定律:
1 2
dA  r d
2
dA 1 2
 r w
dt 2
常数


d 2
2
0

(
r
w
)

2
r
r
w

r
w
立即得出:
dt
即:


2r w  r w  0
dA
1 2
椭圆面积 ab  0
dt  r wT
dt
2
T
2ab
 常数
由此得出 r w 
T
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两
种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为
坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为i,沿短
轴方向的单位向量记为j，于是：
2
r  r cos i  r sin j
进而有加速度

d2
d2
a  r  2 ( r cos  ) i  2 ( r sin ) j
dt
dt



 ( r  rw )(cos  i  sin j) ( 2 r w  r w )(  sin i  cos  j)·
2
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个
正交的单位向量分别是
e r  cos  i  sin
因此得出
j , eθ   sin i  cos 
j

a  ( r  rw 2 )e r
再将椭圆方程 p  r (1  e cos )

1 2 2
2 p
两边微分两次，得 ( r  rw )  3 ( r w)  0
r r
将前面得到的结果
2 3

4

a
2
r  rw  
T
2
2ab
r w 
T
2
1
 2 和焦参数
r
也就是说行星的加速度为
a3
由开普勒第三定律知
T2
b2
p 
a
4 2a 3 1
a
 2 er
2
T
r
为常数。若记
4 a
G
2
MT
Mm
F  am  G 2 e r
r
2
于是引力
代入，得
3
这就是著名的万有引力定律
谢
谢