Transcript 点击下载电路课件第六章

第六章 非正弦周期信号电路
概
述
第一节
非正弦周期信号及波形
第二节
非正弦周期信号的分解
第三节
函数对称性与傅里叶级数的关系
第四节
非正弦周期信号的有效值、平均值和
平均功率
第五节
本章小结
非正弦周期电流信号电路的计算
概 述
本章主要介绍非正弦周期信号作用于线性电路的分析方，
其思路是把直流电路及正弦交流电路的分析方法应用到非正弦
周期交流电路中。
分析这些电路的方法是：利用傅里叶级数将非正弦周期量
分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后按照直流电路和正
弦电路的计算方法，分别计算在直流和单个正弦信号作用下的
电路响应，再根据线性电路叠加原理将所得结果相加。这种方
法称为谐波分析法。
主要内容
非正弦周期信号及分解
非正弦周期信号的有效值，平均值和平均功率
非正弦周期电路的计算.
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
0
u
0
u
方波
共同特点：
0
t
其一它们都是周期波，
其二它们的变化规律都是
锯齿波
非正弦的u
t
0
三角波
t
脉冲波
t
直
流
电
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生
非正弦的周期信号
u
1
+
+
-
u =U 0
1
u
1
u
u
0
u =U m1Sinwt
0
2
(a)
正弦
交流电
0
wt
(b)
两信号
叠加后的
波形
电路中存在
非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元
件二极管
电源电压
波形
i
+
整流后电
流波形
u
i
+
R
u
u
R
(a)
0
T
T
2
(b)
t
t
0
(c)
首页
§6-2 非正弦周期信号的分解
不同频率正弦波的合成
例：已知两个正弦电压u1  U m sin t 和 u3  U m3 sin 3t
试作出 u  u1  u3 的波形。
u
u
u
1
u
3
0
wt
非正弦周期波的分解
综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周
期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同
频率的正弦波之和
由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄
里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级
数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条
件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。
f (t )  A0   A1 cos wt  B1 sin wt    A2 cos2wt  B2 sin 2wt   
  Ak coskwt  Bk sin kwt   

即： f (t )  A0    Ak coskwt  Bk sin kwt 
k 1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的
A0、AK及BK称为傅里叶系数
傅里叶系数的确定：
1
A0 
T
T
2
T
T
2
Bk 
T
T
Ak 

0

0
1
f (t )dt 
2
2
 f (wt )d (wt )
0
f ( t ) cos kwtdt 
1

1
2
 f ( wt ) coskwtd( wt )
0
2
 f (t ) sinkwtdt    f ( wt ) sinkwtd( wt )
0
0
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合
并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：


f (t ) C 0  C k sin kwt  Ck0是非正弦周期函
k 1


C 0  A0
2
2 
式中：C k  Ak  Bk 
Ak 
 k  arcty

Bk 
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基
波分量或一次谐波，其周期
和频率与原函数f(t)相同。
数在一周期内的平
均值，是一个常数，
称为周期函数f(t)的
恒定分量（或直流
分量），也称为零
次谐波。
其余各项的频率是
周期函数频率的整
数倍，称为高次谐
波
周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u
Um
0
Um
T
2
T
t
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为：
T
0t
u(t )  U m
2
u(t )  U m
T
t T
2
1
A0 
T

T
0
1
u( t )dt 
T
T
2
0

1
U m dt 
T

T
T
2
(U m )dt  0
直流分量为
0
2 T
2 T2
2 T
Ak   u( t ) cos ktdt   U m cos ktdt  T ( U m ) cos ktdt  0
T 0
T 0
T 2
2U m
2 T
2 T2
2 T
Bk   u( t ) sinktdt   U m sinktdt  T ( U m ) sinktdt 
(1  cos k )
0
0
T
T
T 2
k
K为奇数时
4U m
cos k  1, Bk 
k
K为偶数时
cosk  1, Bk  0
所以：u( t ) 
4U m
1
1
1
(sint  sin3t  sin5t    sinkt  )

3
5
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i
10
0
0.2
0.4
t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
T  0.2ms  0.0002 s
2 2  3.14


rad s  31400 rad s
T
0.0002
I m  10A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i  5  3.18 sin 31400 t  1.59 sin 62800 t  1.06 sin 94200 t   A
首页
§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一
定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项，
有的只包含有余弦项。这是因为周期函数
具有对称性。电工技术中遇到的周期函数
的波形往往具有某种对称性，利用函数的
对称性，不仅可使系数的计算过程得以简
化，更重要的是可以根据波形的对称性来
判断非正弦周期波的谐波成分。
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
f t    f  t 
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
在一个
周期内的积分
为零
i(t)
I
m
T
T 2
0
2
t
当 f t 是奇函数时，f t cos kt 也是一个奇函数，因而有：
1
A0 
T

T
0
f ( t )dt  0
2 T
AK   f ( t ) cos ktdt  0
T 0
T
4 2
BK   f (t ) sinktdt
T 0

f ( t )   Bk sinkt
k 1
奇函数的傅里叶
级数中将不含直
流分量和余弦项，
只含正弦项
偶函数（纵轴对称 ）
奇函数（纵轴对称 ）
f t   f  t 
奇函数的波形的特点：对称于坐标纵轴
u(t)
u
m
T
0
2
T
t
在一个
周期内的积分
为2倍半周期
的积分
当 f t  是偶函数时，f t   sin kt 也是一个奇函数，因而有：
1 T2
A0   T f(t)dt
T 2
4 T2
AK   f(t)coskω tdt
T 0
2 T
BK   f(t)sinkωtdt  0
T 0

f(t) A0   A kcoskω t
k 1
偶函数的傅里叶
级数中将包含直
流分量且只有余
弦项，不含正弦
项
奇谐波函数（镜对称）



f t  f t  T/2
奇谐波函数（镜对称）
奇函数的波形的特点：在任一周期内把第二个
半波的波形向前移动半个周期。就会与第一个
在一个
半波对称于横轴，二者互为镜像
周期内波形前移半
f(t)
周期波形相对于t轴
镜相对称
T
0
2
T
t
当 f t 是奇函数时，f t cos kt 也是一个奇函数，因而有：
1 T
A0   f(t)dt 0
T 0
2 T
AK   f(t)coskωtdt
T 0
2 T
BK   f(t)sinkωtdt
T 0

不含直流分量和
偶次谐波， 只含
奇次谐波
f（t） (Akcoskω t B Ksinkω t）
k 1
（K为奇数）
例6-4 已知周期函数f(t)如下图所示，试判断其中所含的谐
波成份，并求其傅里叶级数
f (t )
0
Im
T
2
t
T
 Im
分析：图中方波以纵轴为对称，因而是偶函数。因此，它的
傅里叶级数中没有正弦项，而只有余弦项。即：

f(t) A0   A kcoskω t
k 1
T
2
T

2
T
2
1
A0   f(t)dt 0
T
4
AK   f(t)coskω tdt
T 0
此外，如将f(t)的波形沿时间轴移动半周，如图中虚线所示，
两个波形互呈镜像对称；这就是说，它又是奇谐波函数，因
而只含奇次谐波。即：
f（t） A1cosωt A 3cos3ωt A 5cos5ωt
 A 7cos7ωt 
综上所述，f(t)的傅里叶级数中只有奇次余弦项，计算得：
4Im
f（t）
π
1
1
1


cosωt

cos3ω
t

cos5ω
t

cos7ω
t




3
5
7
例6-5 图6-11所示的是一个周期电压三角波，试分析其中的
谐波成份
u
Um

T
2
0
 Um
T
2
T
t
分析：图中三角波电压对原点对称，因而是奇函数，只有正
弦项；
如将前半周波形后移半个周期，它将与下半周波形对称于横
轴，如图中虚线所示，这说明该波形也是奇半波对称，因而
只有奇次谐波 ；
总之，这个三角波电压中只含有奇次正弦项
8U m
u(t) 2
π
1
1


sinω t 32 sin3ω t 52 sin5ω t 
例题分析
函数分解为傅里叶级数后，理论上，必须用无穷
多项来代表原函数。在实际运算中，只能取有限项。
如果级数收敛很快，只取前几项就足够了，如果级
数收敛，则视精确度要求而定。
一个函数是奇函数或偶函数，这与计时起点的选
择有关。
首页
§6.4 概非正弦周期信号
的有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流的有效值:
1
I
T

T
0
2
i dt
一个非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数:

i  I 0   I mk sinkt   k 
k 1
则：
1
I
T
1
T

1
T

T
0

T
0
2


 I 0   I mk sinkt   k  dt
k 1



I 02dt  I 02
2
T
0
I
2
mk
 I mk 
2
sin kt   k dt  

I

k
 2
2
1 T
2 I 0 I mk sinkt   k dt  0

T 0
1 T
2I mk sinkt   k I mq sin qt   q dt  0

0
T

（k≠q）

非正弦周期电流i的有效值：
I  I  I  I I 
2
0
2
1
2
2
2
m
非正弦周期电压的有效值为：
U  U  U  U   U  
2
0
2
1
2
2
2
k
I1、I2、I3等分
别为基波、二次
谐波、三次谐波
等的有效值
U1、U2、U3等
分别为基波、二
次谐波、三次谐
波等的有效值
各次谐波有效值与最大值之间的关系为:
I mk
Ik 
2
U mk
Uk 
2
非正弦周期电流的平均值:
I av
1

T

T
0
i dt
非正弦周期电流在
一周期内绝对值的
平均值称为该电流
的平均值
磁电式仪表
（直流仪表）可以测量
直流分量
用全波整流
磁电式仪表测量所得
结果是电流的
平均值
用电磁式或
电动式仪表测量
所得结果是
有效值
平均功率：

i

u

u  U 0   U mk sinkt   uk 
无源
二端
网络
k 1

i  I 0   I mk sinkt   ik 
k 1
p  ui
1
P
T

T
0
1
pdt 
T

T
0
uidt




1 T
P   U 0   U mk sinkt   uk   I 0   I mk sinkt   ik dt
T 0
k 1
k 1


积分号内两个积数的乘积展开，分别计算各乘积项在一个
周期内的平均值，可得出五种类型项：
1
T

1
T

T
U 0 I 0 dt  U 0 I 0
0
T
0
U 0 I mk si nkt   ik dt  0
1 T
I 0U mk sinkt   uk dt  0

T 0
1 T
1
U mk sinkt   uk I mk sinkt   ik   U mk I mk cos uk   ik 

T 0
2
 U k I k cos k  Pk
1
T



U mk si nkwt   uk I mq si n qwt   iq dt  0 （k≠q）
二端网络吸收的平均功率不按下式计算：
Pk  U k I k cos k
非正弦周期电路
的平均功率，等
是K次谐波的平均功率
于直流分量功率
和各次谐波分量
功率之和


P  U 0 I 0   U k I k cos k  P0   Pk  P0  P1  P2    Pk  
k 1
k 1
只有同频率的
谐波电压和电流才能构成平均功率，
不同频率的谐波电压和电流
不能构成平均功率
首页
§6-5非正弦周期电流信号电路的计算
非正弦周期电流信号电路的计算方法：
利用直流电路，交流电路的分析与计算方法以及叠
加原理来计算
非正弦周期电流信号电路的计算步骤：
把给定的非正弦周期信号分解成直流分量和各次谐波分
量，并根据精度的具体要求取前几项。
分别计算电源的直流分量和各次谐波单独作用时在电路
中产生的电压和电流。
应用线性电路的叠加原理，将所得属于同一支路或元件
的电压、电流的瞬时值进行叠加。
计算中还应注意以下几点：
在直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于
短路。在标明参考方向以后，可以用直流电路的方法求解各
电压与电流。
在基波作用下的正弦交流电路中，X L1  L 、X C1 
1
C
，在标明参考方向后，用相量法求解。
在K次谐波作用下的正弦交流电路中，X Lk  kL  kXL1
X Ck
X C1
1
，仍可用相量法求解。


kC
k
由于各次谐波的频率不同，在用叠加原理计算最终结果
时，不能把相量相加，只能将它们的瞬时值相加。
例： 有一RL串联电路，如下图所示，
已知R=100Ω，L=1H，输入电压u=50+63.7sin（314t）V，
试求电流i和输出电压
。R
u
i
u
解
L
R
uR
电流ｉ由直流分量 I 0 和基波i 组成
1
计算u的直流分量 U 0  50V 单独作用时产生的电流I0
直流电路中，电感相当于短路，因此
U0
50
I0 

A  0.5 A
R
100
计算u的交流分量u1=63.7sin(314t)V单独作用时产生的电流i1
Z1  R  jX L  100 j 314  33072.8 
.
Im 1


U m1
63.70



A  0.193  72.3 A

Z1
33.72.3


i1  0.193si n 314t  72.3 A
将电流的直流分量和交流分量瞬时值叠加，得：
i  I0  i1
 0.5  0.193sin314t  72.3 A
由欧姆定律得：




uR  Ri  50  19.3 sin 314t  72.3 V
首页
小 结
本章主要介绍非正弦周期信号电路的分析方法，主要结论有：
非正弦周期信号 可用傅里叶级数分解成一系列正弦谐波信
号的和。傅里叶级数一般包含有直流分量，基波分量和高次
谐波分量。它有两种表示式：

f t   A0    Ak cos kt  Bk sin k 
k 1

f t   C 0   C k sin kt   k 
k 1
两种形式的系数之间的对应关系为：


C 0  A0
2
2 
C k  Ak  Bk 
Ak 
 k  arcty

Bk 
根据波形的对称
性，可以确定它
的傅里叶级数展
开式中不会有哪
些谐波分量。
非正弦周期电流、电压的有效值为：
I  I 02  I 12  I 22   I m2  
U  U 02  U 12  U 22    U k2  
非正弦周期电流、电压的平均值为：
1 T
I av   i dt
T 0
1 T
U av   u dt
T 0
非正弦周期信号电路的平均功率为：

P  P0   Pk  P0  P1  P2    Pk  
k 1
非正弦周期信号电路的分析计算——谐波分析法。其分析计
算的步骤如下：
将非正弦信号分解成傅里叶级数。
计算直流分量和各次谐波分量单独作用于电路时的电
流和电压响应。（但要注意感抗和容抗在不同谐波时的
值不同）。
将各次谐波的电流和电压应用瞬时值表示后量加。
首页