Transcript （2）战争的微分方程模型

实际问题当中的微分方程模型
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之
间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随
时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）
微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题
可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物
理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、
军事、人口、资源等等（有传统领域，有新的非传统
领域）。本专题首先归纳出微分方程模型所涉及的领
域以及常见模型类型，然后列举几个领域的典型例子。
一、不同领域中的微分方程模型
1 社会及市场经济中的微分方程模型
（1）综合国力的微分方程模型
（2）诱发投资与加速发展的微分方程模型
（3）经济调整的微分方程模型
（4）广告的微分方程模型
（5）价格的微分方程模型
2 战争中的微分方程模型
（1）军备竞赛的微分方程模型
（2）战争的微分方程模型
（3）战斗中生存可能性的微分方程模型
（4）战争的预测与评估模型
3 人口与动物世界的微分方程模型
（1）单种群模型及进行开发的单种群模型
（2）弱肉强食模型
（3）两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型
（4）无管理的鱼类捕捞模型
（5）人口预测与控制模型
4 疾病的传染与诊断的微分方程模型
（1）艾滋病流行的微分方程模型
（2）糖尿病诊断的微分方程模型
（3）人体内碘的微分方程模型
（4）药物在体内的分布与排除模型
5 自然科学中的微分方程模型
（1）人造卫星运动的微分方程模型
（2）航空航天器翻滚控制的微分方程模型
（3）非线性振动的微分方程模型
（4）PLC电路自激振荡的微分方程模型
（5）盯梢与追击问题的微分方程模型
二、建立微分方程模型的一般方法
1 根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理
或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2 微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，
与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其
导数应用规律。
3 模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象
的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的
，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立
能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或
分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比
，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
三、微分方程的解法
求解微分方程有三种方法：
1）求精确解；
2）求数值解（近似解）；
3）定性理论方法。
四、典型案例分析
案例一 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
问题：
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹
分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪
荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945
年5月29日以通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未
出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一
切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的
工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老
化，以免留下罪证。
为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学
家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进
的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，
终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。
这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月
30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，
Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能
使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科
学家们用微分方程模型解决了这一问题。
问题的分析：
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性
正比于现存物质的原子数。
dN
设 t 时刻的原子数为N(t)，则有 dt   N
其中  为物质的衰变常数，初始条件为 N t t  N 0
0
这是一阶常微分方程初值问题，其解为 N (t )  N0e (t t )
0
从中解得
t  t0 
半衰期公式为
1

ln
T
1

N0
N
ln 2
, 而碳-14、镭-226、铀-238、铅-210等
的半衰期T分别为5568年、1600年、45亿年、22年，N(t)可以测
定出，只要知道
间接确定
N0 就可算出断代。这正是问题的难处，下面是
N0的方法。
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有
2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。
白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取
来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，
Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210
与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭
蜕变所补足的为止。
下图是铀裂变示意图
T  45亿年
铀238
镭226
T  1600年
（无放射性）
铅206
铅210
钋210
T  138天
T  22年
）
（放射性
模型假设：
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，
时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克
白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用r表示。
（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，
对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰
变数与铅210的衰变数可视为相等。
建模：
设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0 为制造时刻
t0 每克白铅中含铅210的数量。  为铅210的衰变常数。则
油画中铅210含量为
 dy
   y  r
 dt

 y(t 0 )  y0
模型求解：
这是一个一阶线性微分方程的初值问题，由常数变易法
r
得其解为
y (t )  [1  e   ( t t0 ) ]  y0 e   ( t t0 )

变形为
 y0   y(t )e (t t )  r[e (t t ) 1]
0
0
 , y(t ), r 均可测出，可算出白铅中铅的衰变率  y0 ，再与
当时的矿物比较，以鉴别真伪。
测定分析与结论：
测定结果如图所示
画名
铅210衰变原子数
镭226衰变原子数
Emmaus的信徒们
8.5
0.82
洗足
12.6
0.26
读乐谱的妇人
10.3
0.3
弹曼陀林的妇人
8.2
0.17
做花边的人
1.5
1.4
欢笑的女孩
5.2
6.0
对第一幅画，各已知量为
t t
代入
0

 300
 y0   y(t )e
ln 2
22
 ( t t0 )
 y(t )  8.5, r  0.82
 r[e
 ( t t0 )
1] 计算得
 y0  2  8.5  0.82  (2  1)  98050个 / 每分钟每克
150
11
150
11
 30000个 / 每分钟每克
而矿石中铀的最大含量为 2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变
超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。
可见铅210每分钟每克衰变不合理，故为赝品。同理可检验
第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。
注：类似于上例，在考古、地质学等方面专家常用碳定年代
法（也是依靠放射性物质的性质）来估计文物或化石的年代。
案例二
放射性废料的处理问题
问题：
美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料时,一直采用
把它们装入密封的圆桶里扔到水深约为91米海底的方法。对此，
科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞发生破裂而
造成核污染。原子能委员会分辩说不会发生这种情况。为此，工
程师们进行了碰撞试验，发现当圆桶下沉速度超过12.2米/秒与海
底碰撞时，圆桶就可能发生破裂。这样，为避免圆桶碰裂，需要
计算一下圆桶下沉到海底时速度是多少。已知圆桶重量为
239.456千克，体积为0.208立方米，海水浮力为1025.94千克/立方
米。于是，如果圆桶下沉速度小于12.2米/秒，说明原处理放射性
废料的方法是安全可靠的，否则，应该禁用原方法处理放射性废
料。大量试验表明圆桶下沉时的阻力与圆桶的方位大致无关，而
与下沉的速度成正比，比例系数为0.12。你能判断美国原子能委
员会以往处理浓缩的放射性废料方法是否合理吗？
符号说明：w: 圆桶重量，这里为239.456千克
V: 圆桶体积，这里为0.208立方米
B:海水浮力，这里为1025.94×V=213.396千克
k: 圆桶下沉时的阻力系数，这里为0.12
v: 圆桶下沉时的速度
D: 圆桶下沉时的阻力，这里为kv
t: 圆桶离开海平面下沉的时间，单位为秒
y (t)：圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米
问题分析与求解：
因为圆桶下沉满足牛顿第二定律：运动物体受到的力等
于该物体的质量与其运动加速度的乘积，即F=ma。在本问题
中有
dy
d 2 y dv
= v, a = 2 =
dt
dt
dt
，F=W-B-D=W-B-kv，y(0)=0，v(0)=0，
于是可以得到如下微分方程：
重力
ìï d 2 y
dy
ïï m
=
W
B
k
ïï dt 2
dt
ïï
í y (0) = 0
ïï
ïï dy
= v(0) = 0
ïï
ïî dt t = 0
浮力
阻力
(1)
求解出函数y(t)后，求出圆桶下落到水深为91米海底的时间，即
求满足y(t)=91的时间t1,然后求出在时间t1的速度即可以得到问题
的解答。这里的速度关系由直接求函数y(t)对t的导数得到。
用Matlab软件求解。
①
求解问题（１），Matlab命令为
syms t;
syms y;
y=dsolve('m*D2y+k*Dy-w+b=0','y(0)=0','Dy(0)=0')
运行结果为
y =-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2
即
m(b - w) - mk t b - w
m(b - w)
y (t ) = e t+
2
k
k
k2
②
求解方程y(t)=91，先画出图形，命令为
b=1025.94*0.208;
k=0.12;
w=239.456;
m=w/9.8;
t=0 :0.1 :20 ;
% 这里重力加速度取为9.8米/秒2
y=-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91 ;
plot(t,y)
运行结果如图
150
100
50
0
-50
-100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
可见方程的根在t=13附近， 为求解方程，建立M文件：
function y=my0(t)
b=1025.94*0.208;
k=0.12;
w=239.456;
m=w/9.8;
y=-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91 ;
用如下的命令求解：
t=fsolve(‘my0, 13)
结果为t =13.204223061992241
③ 求y(x)的导数，Matlab代码为
b=1025.94*0.208;
k=0.12;
w=239.456;
m=w/9.8;
syms t;
y1=diff(-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91)
运行结果为
y1 =
-3190720108293556007631/14692224126156800000*exp(21/4276*t)+81439/375
即
21t
3190720108293556007631 - 4276
81439
y '(t ) = e
+
14692224126156800000
375
故t =13.204223061992241时的速度为v =13.636101129315506
计算结果表明圆桶下沉到水深约为91米海底时的速度约为
13.6361米/秒，这个速度大于12.2米/秒的速度，因此，计算
结果说明美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料方法
是不安全的。
案例三
弱肉强食微分方程模型
问题：
生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。
设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之
丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，
狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿
状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。
就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动
态平衡。如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况？
变量说明：
x(t)―――t时刻兔子数目
y(t)―――t时刻狐狸数目
数学模型：  x  ax  bxy

 y  cy  dxy
其中a, b, c, d 均为正常数。
（１）
模型各项意义
ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比；
-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；
-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正
比；
dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速
度。
这是意大利著名物理学著名生物数学家Volterra建立的微分方
程模型，这是达尔文主义的数学表达，称为Volterra-Lotka模型。
模型求解与分析:
设该问题的初始条件为
令
ìïï x(0) = x0
í
ïïî y (0) = y0
 x  ax  bxy  0

 y  cy  dxy  0
得系统的两个稳定点（奇点）为
①
（２）
O(0, 0)
和
c a
S( , )
d b
取x(t)=0，求解问题（１）与（２），得其解为
y(t ) = y0e- ct
取y(t)=0，求解问题（１）与（２），得其解为
x(t ) = x0eat
说明x轴和y轴都是方程组（１）的轨线，它们的实际意义是：
如果没有兔子，狐狸因为没有食物将趋于死亡；而如果没有狐
狸，兔子将无限制增长。
② 当x , y > 0 时，方程组（１）等价于
c - dx
a - by
dx =
dy
x
y
这是一个可分离变量的方程，积分得通解
- by - dx + a ln y + c ln x = ln C
两边取指数得
xc y a
× by = C
dx
e e
（３）
0
③ 证明：当初值 x0 = x(0) > 0, y0 = y(0) > 时，方程（３）确定
了xoy面上位于第一象限的一族封闭曲线。
令
xc
g ( x) = dx ,
e
y a，由于
f ( y ) = by
e
y a- 1 (a - by )
f ¢( y ) =
eby
a
易证f(y)在 y = 处取得极大值
b
1 æ
aö
ç
M y = a ×ç ÷
；
÷
÷
ç
e èb ø
c
同理g(x)在 x = 处取得极大值
d
ö
1 æ
c÷
ç
M x = c ×ç ÷
；
÷
ç
e èd ø
a
c
所以当 C > M x M y 时，方程无 x > 0 , y > 0 的解；
当 C = M x M y 时，方程有唯一解
x=
c
a
, y= ；
d
b
当 C < M x M y 时，令 F(x , y)=g(x) f (y)，则F(x , y)在第一象限
内连续，从而对第一象限内任意一条连接原点O与点S的连续曲
线L，由于
c a
F (0,0) = 0 < C, F ( , ) = M x M y > C
d b
根据连续函数的介值定理，在曲线L上必有一点 ( x* , y* ) ,使得
F ( x* , y* ) = C ，即曲线F(x , y)= C与L相交。由L的任意性知，当
C < M x M y 时，曲线（３）是封闭的。
④ 由于这些封闭曲线都不经过奇点S，可见任何从x(0)>0, y(0)
> 0出发的轨线都具有周期性，即函数x(t) , y(t)满足
x(t + T ) = x(t ), y(t + T ) = y(t ), (T > 0)
这说明若初始时既有兔子又有狐狸，则随着时间的增加，狐
兔数量呈周期性变化，无休止的形成动态的生态平衡。
此外，当 x >
c
d
dy
> 0 ，即y随着时间递增，
时，由（１）式知
dt
从而(x(t),y(t))沿曲线逆向运动。
⑤ 对于模型（１），可用定积分计算的平均值。记平均值
为 x , y ，则
T
T
x=
1
x(t )dt ,
ò
T 0
y=
1
y (t )dt
ò
T 0
x&
由于 = a - by ，故
x
1 T x&(t )
1 T
b T
dt = ò (a - by (t ))dt = a - ò y (t )dt = a - by
ò
0
T
x(t )
T 0
T 0
而
ò
0
T
x&(t )
T
dt = ln x(t ) 0 = ln x(T ) - ln x(0) = 0
x(t )
从而 a - by = 0 ，即 y = a
c
同理可得 x =
d
b
。
结果表明，当开始时，既有兔子又有狐狸，则随着时间的
推移，狐兔数目均呈现周期变化，处于动态平衡。
但人类对自然界的生物群体要进行干涉，例如人类既猎取
狐狸又滥杀兔子，于是可以建立下面的数学模型：
 x  ax  bxy   x

（４）
y


cy

dxy


y

其中  表示捕捉率。
同理分析可知，当 0 < ε < a 时修正模型（４）的解也是
周期函数，并且平均值为
c+ ε
x=
,
d
a- ε
y=
, (0 < ε < a)
b
（5）
（５）式表明：当 0    a ，即捕捉率 ε 不超过兔子的繁殖率a
时，平均而言，兔子数量有所增加，狐狸的数量减少；若降低
捕捉率 ε ，则会增加狐狸的数目而减少兔子的数目。因同时捕杀
狐狸，故仍能保持动态平衡。当   a ，即捕捉率超过兔子的繁
殖率时，不论开始时狐兔数量如何，随着时间的推移，狐兔均
因滥捕滥杀而灭绝。