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第3章

§3.5

燕列雅

函数的极值与最大值
最小值

权豫西

王兰芳

李琪


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定义 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是
(a , b )内的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的
任何点x ,除了点x0外, f ( x )  f ( x0 )均成立, 就称
f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的
任何点x ,除了点x0外, f ( x )  f ( x0 )均成立, 就称
f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.


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函数极值的判定法
由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数
不存在的点.
3) 函数的最值是函数的全局性质.

y

x 1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点

x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4

x5 b

x


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定理 1 (取得极值的充分条件)

设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域
内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f (x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(证明略)

例如, 容易验证x=0是 y  x2 , x  ( ,  ) 的极小
值点.

而 x=0不是 y  x , x  ( ,  ) 的极值点.
3


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2
3

例3 求函数 f ( x)  ( x  1) x 的极值 .
2
x
2
1
2

5
解 1) 求导数 f ( x)  x 3  ( x  1)  x 3  5 
3
3 3x
2) 求极值可疑点
2

令 f ( x)  0 , 得 x1  ; 令 f ( x)   , 得 x2  0
5
3) 列表判别

x ( , 0)

f (x)
f (x)

0

0

(0 , 52 )

2
5



0
 0.33

( 52 ,  )



 x  0 是极大值点， 极大值为 f (0)  0
x  2 是极小值点， 极小值为 f ( 52 )  0.33
5


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定理2(第二充分条件) 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数,
'
''
f
(
x
)

0
f
( x0 )  0 , 那末
且
,
0
(1)当 f '' ( x0 )  0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值;
''
f
(2)当 ( x0 )  0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
f ( x 0   x )  f  ( x 0 )
证 (1)  f ( x0 )  lim
 0,
x  0
x

故f ( x0  x )  f ( x0 )与x异号，
当x  0时， 有f ( x0  x )  f ( x0 )  0,

当x  0时， 有f ( x0  x )  f ( x0 )  0,

所以,函数 f ( x )在 x0 处取得极大值


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思考与练习
设在 [0 ,1] 上 f ( x)  0 , 则 f (0) , f (1) , f (1)  f (0)
或

f (0)  f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A)

f (1)  f (0)  f (1)  f (0)

( B)

f (1)  f (1)  f (0)  f (0)

(C )

f (1)  f (0)  f (1)  f (0)

( D)

f (1)  f (0)  f (1)  f (0)

提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及

f (1)  f (0)  f ( ) (0    1)


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利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法:

(1) 求 f (x)在 (a , b) 内的极值可疑点

x1 , x2 ,  , xm
(2) 最大值

M  max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值

m  min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b) 


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特别:
• ●当 f (x) 在 [a , b] 内只有一个极值可疑点时, 若在

此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
• ●当 f (x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
•●

对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的

可疑点是否为最大 值点或最小值点 .


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最大利润问题
某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.
2
其中r是瓶子的
瓶子的制造成本是 0.8 r（分），

半径，单位是厘米. 假设每售出1立方厘米的酒，
商人可获利0.2分， 他能制作的瓶子最大半径为
6厘米，问
1) 瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？
2) 瓶子半径多大时，每瓶酒的获利最小？


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解 瓶子半径为r，每瓶酒能获利为
0.8 3
4 3
2
 r  0.8 r 2
p(r )   r  0.2  0.8 r 
3
3
 r3
2

 0.8   r 
3


0r 6

由 p(r )  0.8 (r 2  2r )  0

得r=2.

当0故r=2是的一个极小值点，所以也是最小值点；

r=6时，p(r)可达到最大值.


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但p(2)<0，说明半径小于或等于2厘米的瓶装

酒，酒所获得的利润抵不上瓶子的成本.
又由p(3)=0知，当瓶子的半径达3cm时，酒的
盈利与瓶子的成本恰好一样.

瓶子的半径越大，

制造商的盈利越多. 因而当商人要求售出同量酒
而又要获得同等的盈利时， 对半径小于3cm的瓶
装酒定价要高些. 所以，市场上小包装的货物一

般比大包装的都要贵些。