Transcript 函数的单调性与曲线的凹凸性
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第3章
§3.4 函数的单调性与曲线的
凹凸性
燕列雅
权豫西
王兰芳
李琪
Slide 2
三、函数的单调性与凹凸性
1. 函数单调性的判定法
定理 1 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f ( x) 0
( f ( x) 0) , 则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
证 无妨设 f ( x) 0 , x I , 任取x1 , x2 I ( x1 x2 )
由拉格朗日中值定理得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0
( x1 , x2 ) I
故 f ( x1 ) f ( x2 ) . 这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
证毕
Slide 3
说明:
1) 驻点是函数单调区间可能的分界点.
y
例如, y x , x ( , )
y x
2
2
y 2x ,
o
y x 0 0
y
x=0是函数单调区间的分界点.
而
yx
3
y x , x ( , )
y 3x
o
y x 0 0
2
x
3
x
x=0不是函数单调区间的分界点.
2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点.
例如, y
x , x ( , )
2
y x 0
y 3
3 x
3
2
y
o
y3 x
2
x
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3
2
例1 确定函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x 3 的单调区间.
解
f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
2
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x
( , 1)
1
(1 , 2)
2
f (x)
0
0
f (x)
2
( 2 , )
1
y
故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1], [2, );
2
1
f (x)的单调减区间为 [1 , 2].
o
1
2
x
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2. 函数极值的判定法
由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数
不存在的点.
3) 函数的最值是函数的全局性质.
y
x 1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (取得极值的充分条件)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域
内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f (x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x 2 , x ( , ) 的极小
值点.
而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
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2
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2
2
3
解 1) 求导数 f ( x) x ( x 1) x
3
2) 求极值可疑点
令 f ( x) 0 , 得 x1
3) 列表判别
x
( , 0)
f (x)
;
5
1
3
0
2
5
0
0.33
5
5
x
3
5
3
x
令 f ( x) , 得 x2 0
(0 , 2 )
0
f (x)
2
2
( 2 , )
5
x 0 是极大值点， 极大值为 f (0) 0
2
x 2 是极小值点， 极小值为 f ( 5 ) 0.33
5
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3. 曲线的凹凸与拐点
定义 称曲线弧
y
Q
PQ 是凹（或凸）
的,若其上每一点都有切线，且切点
（或下
附近曲线总在切线的上方
方）．
这时也称曲线弧 PQ 为凹弧（或凸弧）,
P
O
x
相应的函数 称为凹（或凸）函数. 连续曲线上凹弧与
凸弧的分界点称为拐点．
定理2 (凹凸判定法)
设函数 f (x) 在区间I 上有
二阶导数, 则
(1) 在 I 内 f ( x) 0 , 则 f (x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f ( x) 0 , 则 f (x)在 I 内图形是凸的 .
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4
例4 判断曲线 y x 的凹凸性.
解 y 4 x , y 12x
当x 0时，y 0 ; x 0时, y 0,
故曲线 y x 4在 ( , ) 上是凹的.
3
y
2
o
x
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变
号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法
如下:
若曲线 y f (x) 在点 x0 连续, f ( x0 ) 0 或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
y f (x) 的一个拐点.
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3
y
x 的拐点.
例5 求曲线
解
y 13 x
x
y
y
2
3
, y 92 x
( , 0)
0
5
3
(0 , )
不存在
凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 y 3 x 的拐点 .
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例6 求曲线 y 3x 4 4 x 3 1的凹凸区间及拐点.
解 1) 求 y
3
2
2
2
36
x
(
x
)
y 12 x 12 x , y 36 x 24 x
3
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 23 , 对应 y1 1 , y2 11
27
3) 列表判别
2
3
( 23 , )
x
( , 0)
0
(0 , 23 )
y
0
0
y
凹
1
凸
11
27
凹
故该曲线在 ( , 0] 及 [ 23 , )上是凹的, 在[0 , 23 ] 上
2 11
(
, ) 均为拐点.
点
(
0
,
1
)
及
是凸的 ,
3 27
Slide 12
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I
f ( x) 0 , x I
f (x) 在 I 上单调递增
f (x) 在 I 上单调递减
2. 连续函数的极值 导数为0 或不存在的点是可能的极值点
取得极值的充分条件
f ( x0 ) 为极大值
f (x) 过 x0 由正变负
f ( x0 ) 为极小值
f (x) 过 x0 由负变正
3. 曲线凹凸与拐点的判别
f ( x) 0 , x I
f ( x) 0 , x I
曲线 y f ( x)
在 I 上向上凹
曲线 y f ( x)
在 I 上向上凸
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
+
–
Slide 13
思考与练习
设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或
f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A)
f (1) f (0) f (1) f (0)
( B)
f (1) f (1) f (0) f (0)
(C )
f (1) f (0) f (1) f (0)
( D)
f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
第3章
§3.4 函数的单调性与曲线的
凹凸性
燕列雅
权豫西
王兰芳
李琪
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三、函数的单调性与凹凸性
1. 函数单调性的判定法
定理 1 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f ( x) 0
( f ( x) 0) , 则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
证 无妨设 f ( x) 0 , x I , 任取x1 , x2 I ( x1 x2 )
由拉格朗日中值定理得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0
( x1 , x2 ) I
故 f ( x1 ) f ( x2 ) . 这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
证毕
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说明:
1) 驻点是函数单调区间可能的分界点.
y
例如, y x , x ( , )
y x
2
2
y 2x ,
o
y x 0 0
y
x=0是函数单调区间的分界点.
而
yx
3
y x , x ( , )
y 3x
o
y x 0 0
2
x
3
x
x=0不是函数单调区间的分界点.
2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点.
例如, y
x , x ( , )
2
y x 0
y 3
3 x
3
2
y
o
y3 x
2
x
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例1 确定函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x 3 的单调区间.
解
f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
2
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x
( , 1)
1
(1 , 2)
2
f (x)
0
0
f (x)
2
( 2 , )
1
y
故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1], [2, );
2
1
f (x)的单调减区间为 [1 , 2].
o
1
2
x
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2. 函数极值的判定法
由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数
不存在的点.
3) 函数的最值是函数的全局性质.
y
x 1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (取得极值的充分条件)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域
内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f (x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x 2 , x ( , ) 的极小
值点.
而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
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例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
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解 1) 求导数 f ( x) x ( x 1) x
3
2) 求极值可疑点
令 f ( x) 0 , 得 x1
3) 列表判别
x
( , 0)
f (x)
;
5
1
3
0
2
5
0
0.33
5
5
x
3
5
3
x
令 f ( x) , 得 x2 0
(0 , 2 )
0
f (x)
2
2
( 2 , )
5
x 0 是极大值点， 极大值为 f (0) 0
2
x 2 是极小值点， 极小值为 f ( 5 ) 0.33
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3. 曲线的凹凸与拐点
定义 称曲线弧
y
Q
PQ 是凹（或凸）
的,若其上每一点都有切线，且切点
（或下
附近曲线总在切线的上方
方）．
这时也称曲线弧 PQ 为凹弧（或凸弧）,
P
O
x
相应的函数 称为凹（或凸）函数. 连续曲线上凹弧与
凸弧的分界点称为拐点．
定理2 (凹凸判定法)
设函数 f (x) 在区间I 上有
二阶导数, 则
(1) 在 I 内 f ( x) 0 , 则 f (x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f ( x) 0 , 则 f (x)在 I 内图形是凸的 .
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例4 判断曲线 y x 的凹凸性.
解 y 4 x , y 12x
当x 0时，y 0 ; x 0时, y 0,
故曲线 y x 4在 ( , ) 上是凹的.
3
y
2
o
x
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变
号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法
如下:
若曲线 y f (x) 在点 x0 连续, f ( x0 ) 0 或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
y f (x) 的一个拐点.
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3
y
x 的拐点.
例5 求曲线
解
y 13 x
x
y
y
2
3
, y 92 x
( , 0)
0
5
3
(0 , )
不存在
凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 y 3 x 的拐点 .
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例6 求曲线 y 3x 4 4 x 3 1的凹凸区间及拐点.
解 1) 求 y
3
2
2
2
36
x
(
x
)
y 12 x 12 x , y 36 x 24 x
3
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 23 , 对应 y1 1 , y2 11
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3) 列表判别
2
3
( 23 , )
x
( , 0)
0
(0 , 23 )
y
0
0
y
凹
1
凸
11
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凹
故该曲线在 ( , 0] 及 [ 23 , )上是凹的, 在[0 , 23 ] 上
2 11
(
, ) 均为拐点.
点
(
0
,
1
)
及
是凸的 ,
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内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I
f ( x) 0 , x I
f (x) 在 I 上单调递增
f (x) 在 I 上单调递减
2. 连续函数的极值 导数为0 或不存在的点是可能的极值点
取得极值的充分条件
f ( x0 ) 为极大值
f (x) 过 x0 由正变负
f ( x0 ) 为极小值
f (x) 过 x0 由负变正
3. 曲线凹凸与拐点的判别
f ( x) 0 , x I
f ( x) 0 , x I
曲线 y f ( x)
在 I 上向上凹
曲线 y f ( x)
在 I 上向上凸
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
+
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思考与练习
设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或
f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A)
f (1) f (0) f (1) f (0)
( B)
f (1) f (1) f (0) f (0)
(C )
f (1) f (0) f (1) f (0)
( D)
f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)