Transcript 第三章 导数及其应用 庄浪电大工作站 李红彦 y  f (x) y Q Q T Q P o x y  f (x) y 相交 o P x 直线PQ的斜率为 yQ  yP ( y0  y)  y0 y k PQ    xQ  xP.

第三章 导数及其应用
庄浪电大工作站
李红彦
y  f (x)
y
Q
Q
T
Q
P
o
x
y  f (x)
y
相交
o
P
x
直线PQ的斜率为
yQ  yP
( y0  y)  y0 y
k PQ 


xQ  xP ( x0  x)  x0 x
PQ无限靠近切线PT
y
k PT  lim k PQ  lim
x 0
x 0 x
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．
相应的 ,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
y  y 0  f  x0  x  x0 
例1、如图，它表示跳水运动中高度随时
间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。
根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2
附近的变化情况。 h
l0
l1
t
o
t4 t3 t0
t1
t2
l2
解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，
刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的
变化情况。
(1)
当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行
于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有下降.
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率
h′(t1)<0.
所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率
h′(t2)<0.
所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
例2、如图，它表示人体血管中药物浓度
c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)
变化的函数图象。根据图象，估计t=
0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率
(精确到0.1)
c(mg/mL)
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0.1 0.2
t(min)
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化
率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。
作t=0.5处的切线,它的斜率约为0
f (0.5)  0
所
作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5
以,
f (0.8)  1.5
所
以,
因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时
变化率分别为0和-1.5.
求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y  f x0  x  f x0 
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数
y f x0  x   f x0 

x
x
y
f  x 0   lim
x  0 x
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2
（位移单位：m，时间单位：s）
求它在 t＝2s 时的速度.
解: 因为
s  5(2  t )
所以
从
而
2
 5  22  20t  5t 2
s
 20  5t
t
s
s(2)  lim
 lim (20  5t )  20
t 0 t
t 0
1 3
例4、已知曲线 y  x 上一点
3
8

P  2, 
3

求：点P处的切线的斜率；
点P处的的切线方程．
解:
1 3
点P处的切线的斜率即 y  3 x
在x=2处的导数.
1
1 3
3
因为 f  (2  x)   2
3
3
1
 4x  2x   x 3
3
2
f
1
2

4

2

x



x
从而
x
3
f
1
f (2)  lim  lim (4  2x   x 2 )  4
x 0 x
x 0
3
所
以
点P处的切线的斜率是4.
点P处的的切线方程
8
y   4  ( x  2)
3
即直线
16
y  4x 
3
9
练习1、求曲线 y  在点M(3,3)处的
x
切线的斜率及倾斜角．
斜率为-1,倾斜角为135°
1 2
1
练习2、判断曲线 y  2 x 在（1，-）处
2
是否有切线，如果有，
求出切线的方程.
有,切线的方程为
注: 学了导数的运算后,
此类题有更简单的解法.
1
y  x
2
f ( x0 )是求函数y  f ( x)在x  x0处的导数
如果将x0改为x,则求得的是 y  f (x)
y  f (x) 被称为函数y=f(x)的导函数.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处
都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都
/
f
对应着一个确定的导数 ( x)，从而构成
/
/
了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 f ( x)
为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简
/
y
称导数，也可记作 ，即
/
/
f ( x) ＝ y
y
f ( x  x )  f ( x )
 lim
＝ lim
x  0 x
x  0
x
小 结:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．
相应的 ,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
y  y 0  f  x0  x  x0 