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第二章 一元函数微分学
一、极限概念
1、数列及数列的极限
数列是按一定规律排列的一串数
x1,x2……,xn，……
简记作 xn  ，数列也可看作是定义在正整数集合上的函
数
Xn=f(n),(n=1,2,……)
Xn称为数列的通项或一般项。
问题：给定一个数列 xn  ，当项数n无限增大时，通
项Xn的变化趋势是什么？,,
引例：
1 1 1
1
1, , , , n , 
例1 数列
2 4 8
2
例2 数列 1,1,1,1(摆动数列)
例3 数列 1, 2 , 3, 4 ,  n , 
定义1，给定一个数列 Xn ，若当n无限增大时，Xn无
限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数
列 Xn
以A为极限，记作

lim Xn  A 或Xn→A(n→∞)
n 
此时,也称数列 Xn收敛于A,否则,若当n无限增大时,Xn
不能趋近某个固定的常数A,则称当n→∞时,数列 Xn
发散。
1
lim n  0
是收敛的，且 n  2
n 1
lim
1
数列 
 是收敛的，且 n
n
 n  n1
1
如：数列  2 n 
 n  1
而数列 (1)   n  都是发散的。
1 n
lim
(
1

例4 求 n n )
n
 1
分析：由列表观察，当n→∞时, 0  1    3
 n
单调有界数列必有极限。
1 n
(1  )  e
记 lim
（重要极限）
n 
n
2、函数的极限
(1)x→∞
①x→+∞
1
y

引例:考察
,当x>0且趋于正无穷时的变化趋势。
x
定义2 设函数y=f(x)，若当x无限增大时，函数f(x)`无限
趋近于某个固定的常数A，则称当x趋于正无穷时，
f(x)以A为极限，记作
lim f ( x)  A或f ( x)  A( x  )
x  
如
1
1
lim  0或  0( x  )
x   x
x
1
lim x  0
x   2
②x →- ∞
定义2, 若当x<0,而|x|无限增大时,函数f(x)无限地趋近于某
个固定常数A,则称当x趋于负无穷时,f(x)以A为极限。
记作 lim f ( x)  A或f ( x)  A( x  )
x  
如:
1
lim  0
x   x
lim 2 x  0
x
(2)x→x0
引例:①讨论当x→2时,函数y=x2的变化趋势。
2
x
 1 的变化趋势。
②讨论当x→1时,函数 y 
x 1
一般地，若自变量无限接近于某一x0时，函数f(x)有接近
于某一固定常数的变化趋势，就称函数f(x)在点x0处
有极限。
定义3 设函数f(x)在点x0的邻域内（点x0可以除外）有定
义，若当x无限趋于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限地趋
近于某个固定常数Ａ，则称当x趋于x0时，f(x)以Ａ为
极限，记作
lim f ( x)  A或f ( x)  A( x  x0 )
x  x0
若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，
则称函数f(x)在点x0处没有极限。
2
x
1
如：lim x 2  4
lim
2
x 1 x  1
x 2
1
1
lim
而 x  0 不存在，lim sin 不存在
x 0
x
x
注：极限的实质是描述在自变量的某个变化过程中函数
是否有确定的变化趋势。函数有确定的变化趋势，就
可能有极限；否则函数就一定无极限。
3、左极限和右极限
引入：书 P76,讨论左、右极限的必要性。
定义4 设函数f(x)在点x0的邻域内(x0点可以除外)有定义，
若当x<x0且x无限趋于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为
x→x0-)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当
x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作

lim  f ( x)  L或f ( x0 )  L
x  x0
若当x>x0且x无限趋于x0(即x以x0的右侧趋于x0，记为
x→x0+)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数R，则称当
x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作

lim  f ( x)  R或f ( x0 )  R
x  x0
举例：
设函数f(x),求f(x)=
x
x<0
求 lim f ( x)和 lim f ( x)


x 0
x 0
1 x≥0
定理1 当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是当
x→x0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即
lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim  f ( x)  A
x  x0
x  x0 
x  x0
4、无穷小量
定义5 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个
变化过程中的无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母
α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的
充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即
lim y  A  y  A   (lim   0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx  0(其中k为常数)
x 0
1
lim x sin  0
x 0
x
在某个变化过程中，绝对值无限增大且可大于任意给定
的正实数的变量称为无穷大量。
注：无穷大量与无穷小量的关系：
无穷大量的倒数是无穷小量，而非零的无穷小量的倒数
是无穷大量。
二、极限的运算
1、极限的四则运算法则
定理3 在某个变化过程中，若变量u与变量v分别以A，B
为极限，则有以下结论：
(1)变量u±v以A±B为极限，即
Lim(u+v)=A±B
(2)变量uv以AB为极限，即
Lim(uv)=AB
A
u A
u
(3)当B≠0时，变量
以 B为极限，即 lim 
v
v B
注：定理3 的结论(1),(2)可以推广到有限个变量的情形，
即若 lim ui  Ai (i=1,2,……,n)
则 lim(u1+u2+……+un)=limu1+limu2+……+limun
=A1+A2+……+An
lim(u1,u2……un)=limu1·limu2·……limun=A1A2……An
推论1 若在某个变化过程中，变量u以A为极限，k为常
数，则lim(ku)=klimu=kA
推论2 若limu=A,则limun=An(n为正整数)
推论3 若limu=A,对正整数n, n A存在，则
lim n u  n lim u  n A
推论4 若α，β为无穷小量,则α±βαβ均为无穷小量。
如何求limf(x)的极限？
(1)当x→x0时且f(x)为整式，则点x0处的极限值等于该点
f ( x)  f ( x0 )
的函数值，即 xlim
x
A
f
(
x
)

(2)当x→x0时，f(x)为有理分式函数，即
B
lim
f
(
x
)

f
(
x
)
B0 则
0
①当x→x0时，若 xlim
x  x0
 x0
f ( x)  
B  0 则 xlim
A  0 xlim
②当x→x0时，若 xlim
x
 x0
 x0
0
A  0, lim B  0 即 " "型。
③当x→x0时，若 xlim
x
xx
0
则采取约去0因子法(因式分解、分母或分子有理化)

(3)当x→x0时，"  " 型
①当分子与分母的最高次幂相等时，其极限值等于分子，
分母的最高次幂系数之比。如
0
0
0
0
2
2x  x 1

lim
3
x  5 x
 2x  3
5
3
2
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
sin x
(1)
lim
x 0
x
1
0
"
注：①该极限呈 "型
0
sin  ( x)
②一般形式为： lim
1
 ( x ) 0  ( x )
举例：书P83
1
x
1 x
lim (1  )  e 或 lim (1  x)  e
x 
x
x 0
一般地， lim (1  1 ) ( x )  e
 ( x ) 
 ( x)
(2)
或
lim (1   ( x))
 ( x ) 0
1
 ( x)
e
注：①该极限呈“1∞”型
②括号内是两项的和,其中一项为1,另一项与
幂指数互例。
例如：书p85练习：16, 19, 20
3
tan
x
3
sin
x
16 lim ( x sin 
)  lim x sin  lim
x 0
x 0
x
2x
x x0 2 x  cos x
1
sin x
1
1
1
 0  lim
 lim
  1 1 
x 0 cos x
2 x 0 x
2
2
3
x
x
19
x3 x
3 3 3 
3 3
lim (
)  lim (1  )  lim (1  )   e 3
x 
x 
x 
x
x
x 

x
lim
(
1

)
20 x0
2
1
11
x
x 

 lim 1  ( )
x 0
2 

1
x
x
x 11
 lim (1  )  lim (1  )
x 0
x 0
2
21
2
1
 (  )
x
2

x 

11

 1  lim 1  ( )
 x 0 
2 

2

x





2
e

1
2
书P84例15，设函数
x sin
f(x)=
1
b
x
x0
1
x
x
(1  )
x0
2
试求当b等于何值时，f(x)在x=0处的极限存在。
[分析]该函数是分段函数,x=0是它的分段点，在x=0的左
右两侧函数的表达式不同，因此需要考虑在此点处的
左、右极限。
解
1
1

f (0 )  lim ( x sin  b)  lim ( x sin )  lim b  b
x 0
x 0
x
x 1 x 0
2 2
1


x
x x

f (0 )  lim (1  )   lim (1  )   e 2  e
x 0
x 0
2
2 

1
x
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim f ( x)  f ( x0 )  lim y  0
x  x0
x 0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数
改变量)
则称函数f(x)在点x0在处连续，点x0称为f(x)的连
续点。
注: (1)在几何图形上，函数f(x)的图形在其连续点
x0处是不能断开的；
(2)若 lim  f ( x)  f ( x0 ) ，则称f(x)在点x0处左
x  x0
连续；
f ( x)  f ( x0 )，则称f(x)在点x 处右连
(3)若 xlim
0
x
续；
(4)f(x)在点x0处连续的充分必要条件是，在点
x0处左连续又右连续即

0

0

0
lim f ( x)  f ( x0 ) f ( x )  f ( x )  f ( x0 )
x  x0
举例：证明函数
f(x)=
1
x sin
x
x0
x0
0
在x=0处是连续的。
证明：∵f(0)=0
1
f (0 )  lim f ( x)  lim x sin  0
x 0
x 0
x


f (0 )  lim f ( x)  lim 0  0
x0
x0
 lim f ( x)  f (0)即f ( x)在x  0处连续
x 0
(5)若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在
区间(a,b)内连续，这时 (a,b)称为f(x)的连续区间。若
函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，
在右端点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]连续。
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。
f ( x)  f ( x0 )  f ( lim x)
即 xlim
 x0
x x0
2、函数的间断点
若函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处发生间断，
使f(x)发生间断的点x0称为f(x)的间断点。
若函数f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则f(x)在点x0处
间断：
(1)在点x0处没有定义；
(2)在点x0处极限不存在；
(3)在点x0处有定义，且极限 lim f ( x) 存在，但
lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
x  x0
举例：书P88～89
3、连续函数的运算
(1)连续函数的运算法则
定理4 设函数f(x)，g(x)是连续函数，则下列函数
f ( x )  g ( x) f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
在其有定义的区间内也连续。
f ( g ( x))
(2)连续函数的有关结论
①多项式函数：
y  an x  an 1 x
n
在(-∞,+∞)内连续;
②有理函数
n 1
   a1 x  a0
n 1
an x  an 1 x    a1 x  a0
y
m
m 1
bm x  bm1 x    b1 x  b0
n
在分母不为0的点都是连续的。
③初等函数在其定义区间内都是连续的。
四、导数与微分的概念
1、引入导数概念的实例
(1)某时刻t0的瞬时速度(书P91)
s (t0  t )  s (t0 )
s
v |t t0  lim
 lim
t 0 t
t 0
t
(2)切线问题（书P91～92）
设曲线y=f(x)，点M(x0,y0)为曲线上一个定义点，过该点
的切线倾角为α,则
f ( x0  x)  f ( x0 )

tan   lim
(  )
x 0
x
2
lim
2、导数概念
定义7 设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在
x0处取得改变量△x(≠0)时，函数y取得相应的改应量
y  f ( x0  x)  f ( x0 )
若△x→0时，两个改变量之比
y
的极限
x
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
lim
 lim
x 0 x
x 0
x
存在，则称函数函数y=f(x)在点x0处可导。并称此极限值
为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为
df
f ( x0 )或y x  x0 ,
dx
'
'
dy
, | x  x0
x  x0 dx
即
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x 0
x
'
若式
中极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导。
注: (1)左导数：
f ( x  x)  f ( x )
y
f  ( x0 )  lim 
'
 lim 
0
0
x x0
x
(2)右导数：
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
'
f  ( x0 )  lim 
 lim 
x 0 x
x 0
x
y
y
(3)比值
与导数 lim
的区别
x
x  0 x
y
x 称为函数y=f(x)从x0到x0+△x这段区间上的平均
x 0
变化率；
y
lim
 f ' ( x0 ) 为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率
x 0 x
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数
y=f(x)在区间(a,b)内可导，此时，对于区间(a,b)内每一
个x都有一个导数值f/(x)与之相对应，则f /(x) 也是x的一
个函数，称其为函数y=f(x)在区间(a,b)内的导函数，简
称导数，记为
'
'
dy df ( x)
f ( x), y , ,
dx dx
将式
中的x0换成x，则
y
f ( x  x)  f ( x)
f ( x)  lim
 lim
x 0 x
x 0
x
'
(5)f/(x0)与f /(x)的关系：f /(x0)表示导数f/(x)在点x0处的函
数值，即f /(x0)=f /(x)|x=x0
(6)函数y=f(x)在闭区间[a,b]上可导是指①f(x)在(a,b)内处
处可导；②在左端点a存在右导数f+/(a); ③在右端点b
存在左导数f-/(b)
(7)求导数的三步骤：
①算差：△y=f(x+△x)-f(x)
②作比：
y f ( x  x)  f ( x)

x
x
③求极限：
y
f ( x)  lim
x  0 x
'
举例：书P94～95
例3 设y=lnx,求y/
 x  x 
 x 
解： ∵① y  ln( x  x)  ln x  ln 
  ln 1 

②
 x 

y 1
x
1 x  x 

ln( 1  )  
ln 1 

x x
x
x x 
x 
x
x
x 
1  x 
 ln 1  
x 
x 
x
③ f ' ( x)  lim y  lim 1 ln( 1  x ) x
x 0 x
x 0 x
x
x

1
x x  1
1
 ln lim( 1  )   ln e 
x 
x
x
 x
∴
1
(ln x) 
x
'
例4 设y=sinx，求y`
解：∵①
y  sin( x  x)  sin x
②
2 x  x
x
 2 cos
 sin
2
2
x
x
 2 cos( x  )  sin
2
2
x
sin
y
x
2
 2 cos( x  ) 
x
2
x
x
sin
x
2
 cos( x  ) 
x
2
2
x
sin
y
x
③ '
2
f ( x)  lim
 lim cos( x  ) 
x 0 x
x 0
x
x 2
sin
2
x
2
 lim cos( x  )  lim
 cos x 1  cos x
x 0

x

0

x
2
'
2
(sin
x
)

cos
x
∴
注：常见函数的导数公式：
(1)常数函数y=c, (c)`=0
 '
(x ) 
(2)幂函数 y  x
x '
x
(3)指数函数
(a ) 
ya
特别地，
x
x '
 1
x
ye
x
a ln a
(e )  e
x
(4)对数函数
1
1
e
(log )   log a 
x
x ln a
x '
a
y  log
1
'
特别地，y=lnx (ln x ) 
x
(5)三角函数：
(sinx)`=cosx
(cosx)`=-sinx
x
a
1
2
(tan x) 
 sec x
2
cos x
1
'
(cot x)   2   csc 2 x
sin x
'
3、导数的几何意义；
函数y=f(x)在点x0处的导数f `(x0)就是曲线y=f(x)在点
(x0,f(x0))处的切线的斜率
即 f ' ( x )  lim y  tan   k (   )
0
x 0
x
2
因此，y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为：
由点斜式知：
y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
'
举例：书P101练习5，6
5、求曲线y=lnx在(1,0)点处的切线的方程
解∵
1
y  (ln x) 
x
'
'
1
k  y | x 1   1
1
'
∴由点斜式知曲线y=lnx在(1,0)点处的切线方
程为
y-0=1·(x-1)即y=x-1
6、在抛物线y=x2上求一点，使得该点处的切线平
行于直线y=4x-1
[分析]当两直线的斜率相等时，两直线平行
解：设(x0,y0)为抛物线y=x2上一点，则该点处切
线的斜率为
k  y |x x0  ( x ) |x x0  2 x |x x0  2 x0
'
2 '
而直线y=4x-1的斜率为4
由题意：2x0=4得x0=2
把x=2代入y=x2得y0=22=4
所求点为(2,4)
4、可导与连续的关系
定理5 若函数y=f(x)在点x处可导，则它在x处一定连续。
即可导  连续 ，但连续不一定 可导 。
如：
x,
x≥0
y=|x|=
-x
x<0
在x=0处连续
而
y
| x |
 x
f ' (0)  lim 
x 0
x
 lim 
x 0
x
 lim 
x 0
x
 1
y
| x |
x
f (0)  lim 
 lim 
 lim 
1
x 0 x
x 0
x x0 x
'
'
f  (0)  f  (0)
'

所以，在x=0处不存在导数，即y=|x|在x=0处连续但不可
导。
5、函数的相对变化率——函数的弹性
书P97～98 y=f(x)在x=x0处的弹性
x0
E | x0  f ( x0 ) 
f ( x0 )
'
对任意点x,若y=f(x)可导，则有
x
E |x  y 
y
'
6、微分的定义
引入微分概念的原因书P98～99
定义9 设函数y=f(x)在点x0处可导，△x是自变量x的改变
量，称f``(x0) △x为函数y=f(x)处的微分。
'
'
记作 dy | x  x0  f ( x0 )  x  f ( x0 )dx
并称f(x)在点x0处可微。
注: (1)对于函数在任一可导点x处的微分，有
dy=f``(x)dx
(2)dy与△y的关系。
(3)可导与可微的关系：
可微
可导
由
dy
f ( x) 
dx
'
知：dy=f `(x)dx
所以导数也称微商。
(4)常见微分公式：
y=c
dy=(c)`dx=0

yx
ya
ye
x
x
y  log
x
a
 '
 1
dy  ( x ) dx  x dx
x '
x
dy  (a ) dx  a ln adx
x '
x
dy  (e ) dx  e dx
1
dy  (log ) dx 
dx
x ln a
x '
a
y  ln x
y  sin x
y  cos x
y  tan x
1
dy  (ln x) dx  dx
x
'
dy  (sin x) dx  cos xdx
'
dy  (cos x) dx   sin xdx
'
1
2
dy  (tan x) dx 
dx  sec xdx
2
cos x
'
1
y  cot x dy  (cot x) dx   2 dx   csc 2 xdx
sin x
'
举例：书P100 .4 . (4)
已知f(x)=lgx,求f `(x)及df(x)
1
解： f ( x)  (lg x) 
x ln 10
1
'
df ( x)  f ( x)dx 
dx
x ln 10
'
'
五、导数的计算
1、导数(微分)的四则运算法则
①代数和的导数(微分)法则：
u( x)  v( x)'  u ' ( x)  v ' ( x)
d u( x)  v( x)  du( x)  du( x)
②乘积的导数(微分)法则：
u ( x)v( x)  u ( x)v( x)  u ( x)v ( x)
'
'
'
d u( x)v( x)  v( x)du( x)  u( x)dv( x)
③商的导数(微分)法则：
'
 u ( x )  u ' ( x )v ( x )  u ( x )v ' ( x )
 v( x)  
2
v
( x)


 u ( x)  v( x)du ( x)  u ( x)dv( x)
d


2
v
(
x
)
v
( x)


举例：书P102～104
x
例2 求函数 y  2  ln x的微分
解 ∵ y '  (2 x  ln x) '
 (2 x )'  (ln x)'
1
x
 2 ln 2 
x
∴
1
dy  y dx  (2 ln 2  )dx
x
'
x
x
2
y

(
e

x
)(2 x  cos x) ，求y`
例4 设函数
解： y '
 [(e  x )(2 x  cos x)]
x
2
'
 (e x  x 2 )' (2 x  cos x)  (e x  x 2 )(2 x  cos x)'
 (e x  2 x)(2 x  cos x)  (e x  x 2 )(2  sin x)
例6 求y=tanx的导数
sin
解 ∵ y  tan x 
x
cossinx x
∴
y '  (tan x) '  (
cos x
)'
(sin x) ' cos x  sin x(cos x) '

cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x
1
2



sec
x
2
2
cos x
cos x
2、复合函数求导法则
引入：书P104
定理9 设y=f(u),u=ф(x)且u=ф(x)在点x处可
导,y=f(u)在点u=ф(x)处可导,则复合函
数,y=f(ф(x))在点x处可导,且
'
'
'
'
'
y  f (u ) ( x) 或 y  y
x
x
复合函数的微分公式为:
'
'
u
dy  y dx  y  u dx
举例:书P105～107
'
x
u
u
'
x
1 x2
例12 求函数 y  ln 1  x 2
的微分。
[分析]若所给的表达式能简化尽量简化，再运用微分法则
及公式求解。
1
2
2 2
2




1

x
1

x
1
1

x
解 ∵ y  ln
  ln 

 ln 
1 x2

∴
 1 x2 


1
 ln( 1  x 2 )  ln( 1  x 2 )
2


2  1  x 2 

1
2
2 '
y  ln( 1  x )  ln( 1  x )
2
'
1 1
1
2 '
2 '
 

(
1

x
)


(
1

x
)
2
2
2 1  x
1 x

1  2x
1
2x

 

 (2 x) 
2
2
4
2 1  x 1  x
1

x

'
2x
dy  y dx 
dx
4
1 x
'
3、隐函数求导举例
设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的隐函数，将
y=y(x)代入方程中，得到恒等式
F(x,y(x))=0
利用复合函数的求导法则，恒等式两边对自变量
x求导数，把 y 作中间变量，就可以求得 y 对x
dy
的导数 dx
隐函数微分法实质上是复合函数求导法则的
应用。
举例
例15. 求方程
x y a
2
2
2
所确定的隐函数 y=y(x) 对x 的导数。
分析：因方程中y是x的函数，方程两边对x求导，由导
数的四则运算法则和复合函数求导法则即可求出。
解：
( x  y )x  (a )x
2
2
2
2 x  2 y  y  0
y  
x
y
例16 设函数y=y(x)由方程
x
ye  ln y  1
确定，求dy.
解：方程两边对x求导数，有

(yeye ) ln yln y 1 0
x
x

x
x

x
x
1
ye  ye   y  0
y
2 x
2 x
y e
ye
y  x
dx   x
dy

y
dx
ye  1
ye  1
x
x
x  xy  y  4确定的曲线
2
2
例17 求由方程
y=y(x)在(2,-2)点处的切线方程
分析：由导数的几何意义，y=y(x)在(2,-2)点处的切线斜
率为y,(2)
x
2
 xy  y
2

  4
x

x
2 x  y  xy  2 y  y  0
2x  y
y(2)  
1
x  2 y x 2, y 2
所以，所求的切线方程为
y  (2)  1 ( x  2)
y  x4
4
基本公式与法则
导数基本公式
微分基本公式
(c)  0
dc  0
( x 2 )  2 x 21
x 
a  a x ln a
x 
e  ex
x 

  1
log
a

x ln a
dx  2 x dx
 
 
2 1
2
da  a ln adx
x
x
de x  e x dx
1
d log 
dx
x ln a
x
a
举例：
设函数y=ln(sin(1+3x2)),求y,
解： '
1
y 

 sin( 1  3x )
2

'
sin( 1  3x )
1
2
2 '

cos(1  3x )  (1  3x )
2
sin( 1  3x )
2
 6 x cot(1  3x )
2
设函数
y  3  x  3  ln( 1  2 x), 求dy
解：∵
y  (3 )  ( x )  (3 )  [ln( 1  2 x)]
x
'
3
x '
3
3 '
3 '
1
 3 ln 3  3x 
 (1  2 x) '
1 2x
2
x
2
 3 ln 3  3x 
1 2x
2
'
x
2
∴ dy  y dx  (3 ln 3  3 x 
)dx
1 2x
x
2
'
求由方程ysinx-cos(xy)=0所确定的隐函数y=y(x)的导数
解：方程两边对x求导数
dy
dx
( y sin x)  [cos( xy)]  0
'
'
y sin x  y cos x  sin( xy)( y  xy )  0
'
'
y sin( xy)  y cos x
y 
sin x  x sin( xy)
'
六、高阶导数
连续两次或两次以上对某个函数求导数，所得结果称为
这个函数的高阶导数。
若f(x)的导函数可以继续对x求导数，称一阶导数的导数
为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数。
二阶导数记为
即
y  (y )
''
' '
2
2
d
y
d
f ( x)
''
y , f ( x), 2 或
dx
dx 2
类似的，函数的三阶导数记为：
3
d y d f x 
y, f x , 3 ,
3
dx
dx
3
函数的四阶导数记为：
4
4
d
y
d
f x 
4 
4 
y , f x , 4 ,
n
dx
dx
函数的n阶导数记为：
即
n
n x
d
y
d
f
n 
n 
y , f x , n ,
dx
dx n
n 
 n 1 
y  y
（n ≥4)


若函数 y=f(x) 在点x处具有n阶导 数，则称y=f(x)在点x处 n
阶可导
把二阶及二阶以上的各阶导数统称为高级导数，
且四阶以及四阶以上的导数记作
y(k) (k≥4)
函数 y=f(x) 在 点 x0处的各阶导数值就是其各阶导函数在点x0
处的函数值，即
f xo , f x0 , f xo , , f
n 
xo 
注：函数的高阶导数的求法：利用导数的基本公式和运算
法则对函数一次次地求导。
举例：
求函数y=2x2+x+5的二，三阶导数
解：
y  4 x  1
y  4
y  o
注：（1）求几阶导数，就需求导 几次，又低到高。
（2）n次多项式的n+1阶导数必为0。
求
y  x ln x
解：
y 
1
2
的二阶导数。
ln
x

x

x
1
2
1
2
1
x
 x ln x  x  x
1
2



y   y   x
 x
1
2
3
2
3
2

1
2
1
2

1
2
12 ln x  1
ln x  1

ln x  1  x 
  x ln x
1
4
1
2
1
2
1
2x
y  e 的二阶、三阶及 阶n导数

ax
ax
解：
y  e  ax   ae
2 ax
y  a e
3 ax
y  a e
ax
求

y
n 
a e
作业：P114习题
n ax