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2.2.1 导数的四则运算法则
1. 代数和的导数
设函数 u(x) 和 v(x) 在点 x 处可导，则 y = u(x)  v(x)
在点 x 处也可导，且
(u  v)  u  v，
2. 乘积的导数
设函数 u(x) 和 v(x) 在点 x 处可导，则 y = u(x)  v(x) 在
点 x 处也可导，且
(uv)  uv  uv，
特别地，当其中有一个函数为常数 c 时，则有
(cu )  cu，
对有限多个可导函数也成立，例如
(uvw)  uvw  uvw  uvw，
3. 商的导数
设函数 u(x) 和 v(x) 在点 x 处可导，且v ( x )  0 ，则
y 
u ( x)
v( x)
在点 x 处也可导，且

u v  uv
u
，
  
2
v
v
例1 设
y  5x 
2
3
x
3
 2  4 cos x， 求 y .
x
2
3
x
解 y   5( x )   3( x )   (2 )   4(cos x ) 
 5  2 x  3  (  3) x
 10 x 
9
x
4
4
 2 ln 2  4(  sin x ) 
x
 2 ln 2  4 sin x .
x
例2 设 y = ( 1 + 2x ) ( 5x2  3x + 1 )，求 y  .
解
y   (1  2 x ) (5 x  3 x  1)  (1  2 x )(5 x  3 x  1) 
2
2
= 2( 5x2  3x + 1 ) + ( 1 + 2x ) ( 10x – 3 )
= 30x2– 2x – 1.
例3 设 y = x sin x lnx，求 y  .
解 y   ( x )  sin x ln x  x (sin x )  ln x  x sin x (ln x ) 
= 1sin x ln x + xcos x ln x + xsin x
= sin x ln x + xcos x ln x + sin x.
1
x
x x2
2
例4 已知 f ( x ) 
，求 f (1) .
x3
( x  x  2 ) ( x  3 )  ( x  x  2 )( x  3 ) 
2
解
f ( x ) 
2
( x  3)
( 2 x  1)( x  3 )  ( x  x  2 )  1
2

( x  3)
x  6x  5
2

2
( x  3)
2
.
1  6 1  5
2
f  (1) 
(1  3 )
2

1
8
.
2
5x  2x  7
3
例5 设
y
，求 y  .
x
5
解
1

y  5 x 2  2 x 2  7 x 2，
先化简，得
于是
5
y  5 
3
 x2  2
2

25
3
x2  x

1
2
2

1
x

1
2
2

7

x
 1
 7     x
 2
3
2
2
1
2 x
3
1
25 x
3
 2 x  7 .

3
2
例6 求 y = tan x 的导数.
解
sin x
因为 y 
y 
，所以
cos x
(sin x )  cos x  sin x (cos x ) 
(cos x )
cos x  sin x
2

2
2
2
cos x

1
cos
即
2
 sec
2
x，
x
2
(tan x)  sec x.
用同样方法可以得到
(cot x)   csc x.
2
2.2.2 复合函数的导数
定理2.2 设函数 u   ( x ) 在点 x 处有导数
函数 y = f (u) 在点 u 处有导数
dy
du
y  f [ ( x )] 在点 x 也有导数，且
dy
 f (u )   ( x)
dx
或
y x  yu  u
dy
或
d y du


.
d x du d x
du
  ( x) ，
dx
 f (u )，则复合函数
例7 求下列函数的导数：
(1) y  sin x；
3
x
(3) y  sin
；
(2) y  cos x ；
2
(4) y  (2  5 x ) ；
4
5
(5) y 
1
1 2x
；
(7 ) y  ln cos x .
(6) y 
4  3x ；
2
解 (1) 设 u  sin x，y  u3，由定理2.2 得
2




y x  y u  u x  3 u  cos x  3 sin x cos x ；
(2) 设 u  x2，y  cos u，由定理2.2 得
y x   y u   u x    sin u  2 x   2 x sin x ；
2
(3) 设 u 
x
5
，y  sin u，由定理2.2 得
1 1
x



y x  y u  u x  cos u   cos ；
5 5
5
(4) 设 u  2 + 5x，y  u4，则
y x   y u   u x   4 u  5  20(2  5 x ) ；
3
3
(5) 设 u = 1 + 2x，y = u1，则
2
y x   y u   u x   (  1) u  2  
2
1  2 x 
2
；
1
(6) 设 u = 4 – 3x2，y = u 2 ，则
y x  y u   u x 
1

u
1
2
 (6 x) 
2
(7) 设 u = cos x，y = ln u，则
sin x



y x  yu  u x  
  tan x .
cos x
3 x
4  3x
；
2
设 y  f (u )，u   (v)，v   ( x)，则复合函数
y  f {[ ( x)]} 的导数为
dy
d y du dv



.
d x du dv d x
例8 求下列函数的导数：
(1) y  2
tan
1
x
；
(3) y  log 3 cos
解
(1) 设 y =
(2) y = sin 2(2–3x) ；
x  1.
2
2u，u
= tan v，v =
u
y x   y u   u v   v x   2 ln 2 
tan
2
1
x
ln 2
 
；
2
2 1
x cos
x
1
x
，由定理2.2 得
 1 
 2 
2
cos v  x 
1
(2)
y   2 sin(2  3 x )  cos(2  3 x )  (  3)
  3 sin 2(2  3 x )；
(3)
1
y 
cos

x  1  ln 3
 (  sin
2
x
ln 3 x  1
2
 tan
x  1) 
2
2x
2 x 1
2
x  1.
2
例9 求下列函数的导数：
n
(1) y  ( x  1) 3  4 x ；
 x 
(2) y   2
 .
 x  3
解 (1) y   ( x  1)  3  4 x  ( x  1)( 3  4 x ) 



3  4 x  ( x  1) 
3  4x  2x  2
3  4x
1 6x
3  4x
；
4
2 3  4x
 x 
(2) y   n  2

 x 3


 n 2

x

3


x
n 1
n 1
 x 
 n 2

 x 3
 
nx
n 1
( x ) ( x  3)  x ( x  3) 
2

n 1
2
( x  3)
2
x  3  2x
2

(3  x )
( x  3)
2
 x 
 2

 x 3

( x  3)
2
2
n 1
.
2
2
2
例10 求函数 y  ln
解
y 
1
2
则
ln( 1  x
y 
1
2
1 x
2
1 x
2
的导数.

)  ln( 1  x ) ，
2
2
2
{[ln(1  x )]  [ln(1  x )] }
2
1  2x
2 x 
 

2
2 
2 1 x
1 x 

2x
1 x
4
.
例11 推导 y = xα 的求导公式.
y = xα = eα ln x ，
证
令 α ln x = u，则 y = eu，
y  e 
u
1
x

 x  
1
x
x
 1
.
2.2.3 隐函数的导数
把函数 y 直接表成自变量 x 的函数 y = f (x) ，称为显
函数；函数 y 与自变量 x 的关系由方程 F (x,y) = 0 来确定，
即 y 与 x 的函数关系隐含在方程中. 我们称这种由未解出
因变量的方程 F (x,y) = 0 所确定的 y 与 x 之间的函数关系
为隐函数.
例12 求由方程 x2 + y2 = 4 所确定的隐函数 y 的导数.
解
方程两边同时对 x 求导，得
( x )   ( y )   (4) ，
2
即
2
2 x  2 y  y   0，
解出 y  ，得
y  
x
y
.
例13 求由方程 e y = xy 所确定的隐函数 y 的导数.
解
将方程两边同时对 x 求导，得
e  y   x y  xy ，
y
即
e  y   y  xy ，
y
解出 y  ，得
y 
y
e x
y
.
例14 求曲线 xy + ln y = 1 在点 M (1,1) 处的切线方程.
解
( xy )   (ln y )   (1) ，
方程两边同时对 x 求导，得
即
y  xy  
1
 y   0，
y
解出 y  ，得
 y
y

y 

.
1
xy  1
x
y
在点 M (1,1) 处，
1
y  x 1   ，
y 1
2
2
于是，在点 M (1,1) 处的切线方程为
y–1=
即

1
2
( x – 1 )，
x + 2y – 3 = 0.
2.2.4 取对数求导法
通过两边取对数，转化为隐函数，然后按隐函数求
导的方法求出导数 ，这种方法称作对数求导法.
例15
解
y
x ( 3 x  1)
3
1


x

2

. 求 ： y .
( 5 x  3 )( 2  x )  3

两边取对数，有
ln y =
1
3
[ln x + ln ( 3x – 1 ) – ln ( 5x + 3 ) – ln ( 2 – x )]，
两边同时对 x 求导，可得
11
3
5
1 
 y   


，
y
3  x 3x  1 5x  3 2  x 
1
即
y 
x (3 x  1)
1
3
3
3
5
1 
1


 
.
(5 x  3)(2  x )  x 3 x  1 5 x  3 2  x 
例16 求 y = xsin x 的导数 ( x > 0 ).
解
两边取对数，有
ln y = sin x ln x，
两边同时对 x 求导，可得
1
 y   (sin x )  ln x  sin x (ln x ) 
y
 cos x ln x 
1
sin x，
x
即
y  x
sin x
1


 cos x ln x  sin x  .
x


2.2.5 导数基本公式
基本初等函数的导数公式
( c 为常数 ) ；
(1) (c)´= 0
(2) (xα) ´=αxα–1 (α 为任意实数 ) ；
(3) (ax) ´= ax ln a
( a > 0，a≠1 ) ；
(4) (ex) ´ = ex ；
(5) (log a x )  
(6) (ln x )  
1
x
1
x
；
log a e 
1
x ln a
( a > 0，a  1 ) ；
(8) (cos x) ´ = – sin x ；
(7) (sin x) ´ = cos x ；
(9) (tan x) ´ =
sec2
x=
(10) (cot x) ´ = 
sec2
(11) (arcsin x )  
1
(12) (arccos x )   
(13 ) (arctan x )  
2
x
1

x=
sin
2
；
x
；
2
1 x
；
；
2
cos
1 x
1
1
1 x
1
；
2
(14 ) ( arccot x )   
1
1 x
2
.
导数的四则运算法则
设 u、v 是 x 的可导函数

(1) ( u  v )  u   v ；
(2) ( u  v ) = uv + uv ；

(3) (cv) = cv ；
u v  uv 
u
(4)   
( v  0) ；
2
v
v
(5) 设 y = f (u)，u =  (x)，则复合函数 y = f [  (x) ] 的
导数为
dy
 f ( u )   ( x )
dx
或
yx = yu  ux .