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导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
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2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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（三）

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宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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（三）

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数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

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宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

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数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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（三）

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宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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（三）

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宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

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2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


Slide 15

导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚


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导数与微分
（三）

四川托普信息技术职业学院
数学教研室

宋燕 赵宝珠

隐函数求导
1.隐函数的概念

函数

y  f  x  ，即直接用
形如
显函数 ：
x 的表达式表示 y 的函数
关系式；
没用或不能用 y  f  x  表

隐函数 ：

示，而是用 F  x , y   0 方
程表示，不是由显式给出
的函数；

判断下列函数是显函数还是隐函数
⑴

y  sin x  e

2x

（显函数）

2

（隐函数）

⑵ 2x  2 y  4
2

⑶

y  ln  x  1   3 e  x （隐函数）

⑷

5 x  cos y  y  0

2

y

2

（隐函数）

2. 隐函数求导
① 可化为显函数的隐函数

例1 已知
确定了 y 是
x 的函数，求 y  .
x  y30
2

解： y   x  3
2

y  2 x

结论：先将隐函数化成显函数，再
运用显函数求导法

② 不可能化为显函数的隐函数

例2 已知方程 x  y  16 确定了 y
是 x 的函数，求 y  .
2

2

分析：对方程两边同时求导，对含有 y的
项用复合函数求导法，将 y看成中
间变量求导，其余的项可直接求导.

解： 方程两边同时求导

x

2







 
y

2



  16  

2 x  2 y  y  0

y  

x
y

结论：将方程两边同时求导，对含有 y
的项用复合函数求导法

应用 例3 由方程 e
y

x

 e  xy  0
y

是 x 的函数，求

确定了

y .

解：将方程两边同时对 x 求导有

e

x





 e

e e 
x

y

y





  xy    0

y

xy    0

e  y
x

y 

e  x
y

应用 例4 由方程

x  xy  y  4 确定
2

2

了 y 是 x 的函数，求其曲
线上点  2 ,  2 处的切线方程
解：将方程两边同时对 x 求导有

x 
2



  xy   

y 
2



 4

2 x  y  xy   2 y  0
y  

y

 2 ,2 

 

2x  y
2y  x

2 2  2
2   2   2

1

切线方程 y    2   1   x  2 即 y 

x4

取对数求导
引例 已知 y  a  a  0 , a  1  ，求 y  .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln a

x

 x ln a

方程两边同时对 x
有
1

求导，

 y   ln a

y

y   y ln a  a ln a
x

归纳
（1）

取对数求导法的一般步骤：

将方程两边同时取自然对数，将方程化
为隐函数方程；

（2） 用隐函数求导法对方程求导；
（3） 将已知的显函数表达式代入求出的导数
.

？什么时候采用取对数求导法

应用 例5 已知 y   x  1   x  2 

2

 x  3

3

,

求 y .

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  ln  x  1   2 ln  x  2   3  ln x  3 

方程两边同时对 x 求导，有
1
y

 y 

1
x 1



2
x  2



3
x  3

2
3 
 1
y  y  



x

1
x

2
x

3


y   x  1  x  2

2

 x  3

3

2
3 
 1




x

1
x

2
x

3



应用 例6 已知

1 x

y 

,

求 y .

 x  2
解：将方程两边同时取对数，有
2

ln y  ln  1  x   2 ln  x  2 

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y 

y

1
x 1



2
x  2

2 
 1
y  y  


 x1 x2
y 

1 x

 x  2

2

2 
 1



x

1
x

2



应用 例7 已知 y 

 x  1  x  2 
, 求 y .
 x  3  x  4

解：将方程两边同时取对数，有
1

ln y 

2

 ln  x  1   ln  x  2   ln  x  3   ln  x  4  

方程两边同时对 x 求导，有
1 1
1
1
1 
 y  




y
2 x1 x2 x3 x4

1

y 1
1
1
1 
y  




2 x1 x2 x3 x4

y 

1
2

 x  1  x  2   1


 x  3  x  4  x  1





x2 x3 x4
1

1

1

应用 例8 已知 y

 x （幂指函数）求 y .
x

解：将方程两边同时取对数，有
ln y  x ln x

方程两边同时对 x 求导，有
1

 y   ln x  1

y
y   y  ln x  1 

y  x

x

 ln

x  1

幂指函数只能用取对数求导法

取对数求导法主要适用于由若干因
式所构成的积或商，由根式所构成
的函数，以及幂指函数的求导运算.

课后作业
习题3—3，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2 ﹙1﹚、﹙4﹚