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高等数学辅导
第九讲
导数运算（2）
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一、导数运算（二）
1、隐函数的导数
显函数y=f(x)。如
y=2sin(lnx)…
隐函数---由方程给出的函数F(x,y)=0,其中
y是 x 的函数。如
sin(xy)=exy
有的隐函数可变形为显函数，有的变形很复
杂，有的无法变换。（x2+y2=1)
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针对隐函数的求导法是：
☆ 把y看成x的函数，
☆ 两边对x求导，
☆ 然后解出y/。
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例
已知
x2+y2=1，求 y/
解: 两边对x求导（注意y是x的函数）
(x2+y2 )/x=1/
得
2x+2yy/x=0
∴
(x2)/x+(y2)/x=0
[T= y2
y=f(x) ]
y/ =-x/y
注意：隐函数导数中含y这是显然的，因为函数
式中有时根本无法分开或解出。
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例
已知
ey-e=x+sin(xy)
求y/∣x=0
解：两边对x求导,得
eyy/x=1+cos(xy)·(y+xy/x)
=1+ycos(xy)+xy/xcos(xy)
y/x= 1y y cos(xy)
e  x cos(xy)
而 x=0 时，y=1， y/∣x=0= 2/e
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注意
y/∣x=0是 y/(x)当x=0时的值y/(0)。
应先
由导数运算法则及公式求出导函数，
然后让导函数在该点取值
----这是今后求导常用的，基本的方法。
以上我们学习了初等函数求导法，而非初
等函数怎么求导呢？
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2、幂指函数的导数
y=u(x)v(x)---既非幂函数，又非指数函数，
不能用它们的公式求导。----对数求导法
对数求导法：
1）两边取对数，(成为隐函数)
2）用隐函数的求导法求解。
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例 已知 y=xx 求 y/
解：两边取对数 lny=xlnx（隐函数且初等函数）
两边对x求导 1 y/x= x/lnx+x(lnx)/
y
∴
思考题：
y/x=(lnx+1)y=xx(lnx+1)
求导数
y =
x
xx
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例
y=(ex +1)sinx
解：两边取对数 lny=sinxln(ex+1)
两边对x求导,得
1 /
y x=(sinx)/ln(ex+1)+sinx[ln(ex+1)]/
y
1 (ex+1)/
ex  1
=cosxln(ex+1)+sinx 1 ex
=cosxln(ex+1)+sinx
e 1
x
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1
x](ex+1)sinx
∴ x
e
ex  1
以上我们学习了四种类型函数的求导法，
y/
=[cosxln(ex+1)+sinx
即 简单函数、复合函数、隐函数、幂指函数。
另外分段函数在每个区间上求导就是初等函数
求导法，但在分段点采用定义法求导(略）。
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二、使求导简便的方法（技巧）
1、先化简，再求导。尽量避免用乘除法则，化
为加、减求导。
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x
 x  1 求y/
例 y=
x3
解：用商的导数公式显然是笨办法
y/=(x2+x-5/2+x-3)/
= 2x- 5 x-7/2-3x–4
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例
已知 y= x x x 求y
解：先化简
∴
/
y=x1/2x1/4x1/8=x7/8
y/= 7 x–1/8
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2、用对数求导法简化计算
例
解法1
y=ln 1  x
1 x
求y/(0)
1 x 1 x
y /=
( 1  x )/
1 x
= … =
（繁）
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解法2
y/(x)=[ln(1+x)-ln(1-x)]/
1
1

=
1 x 1 x
=
2
1  x2
y/(0)=2
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注：比较两种方法得知，
利用对数性质，可将商的运算化为加减运算
---这对一些大乘大除（若干式子乘除）
类型可简便计算。
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例
y =
( x  1)(x  3)
( x 2  1)
求y
/
解：利用对数求导法，则考虑
lny=ln(x+1)+ln(x+3)-ln(x2+1)
y/=（
1
1
2x
）( x  12)(x  3)

 2
x1 x 3 x 1
( x  1)
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3、对数的真数的n次方根可拿到前面作乘。
利用对数公式 lnxn =nlnx 可将复合函数
的求导问题简化为简单函数的求导。
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例 y=ln√x2+y2
解：y/=[
得
整理得
求y
1
ln(x2+y2)]
2
/
/
1 2 x  2 y  y
y 
2 x2  y2
∴
y /=
x
x2  y 2  y
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小结:
隐函数的求导法,对数求导法,求导的技巧
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