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第十二章 常微分方程

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一、主要内容


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一阶方程
类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次
方程
5.全微分方程
6.线性方程

7.伯努利方程

基本概念
二阶常系数线性
方程解的结构
特征方程法

待 特征方程的根
定
及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其

特解形式

高阶方程
可降阶方程
线性方程
解的结构
定理1;定理2
定理3;定理4

欧拉方程


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微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降
变 阶
换

高阶方程

作变换

非非
变全
全微分方程
量微
积分因子 可 分
分方
常数变易法
离程

特征方程法
幂级数解法
待定系数法


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1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程
叫微分方程．

微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的最

高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等
式的函数称为微分方程的解．


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通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且
任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的
解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，
叫做微分方程的特解．
初始条件

用来确定任意常数的条件.

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，
叫初值问题．


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2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程

形如 g( y )dy  f ( x )dx
解法

 g( y )dy   f ( x )dx

分离变量法

dy
y
(2) 齐次方程 形如
 f( )
dx
x
y
解法
作变量代换 u 
x


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(3) 可化为齐次的方程

dy
ax  by  c
形如
 f(
)
dx
a1 x  b1 y  c1

当c  c1  0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法

令

x  X  h,
y  Y  k，

化为齐次方程．

（其中h和k是待定的常数）


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(4) 一阶线性微分方程

形如

dy
 P ( x ) y  Q( x )
dx

当Q( x )  0,

上方程称为齐次的．

当Q( x )  0,

上方程称为非齐次的.

解法 齐次方程的通解为 y  Ce 

 P ( x ) dx

.

（使用分离变量法）


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非齐次微分方程的通解为
P ( x ) dx
  P ( x ) dx

y  [  Q( x )e
dx  C ]e

（常数变易法）

(5) 伯努利(Bernoulli)方程

dy
n
形如
 P ( x ) y  Q( x ) y
dx

( n  0,1)

当n  0,1时， 方程为线性微分方程.
当n  0,1时， 方程为非线性微分方程.


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解法

需经过变量代换化为线性微分方程．

令z  y

1 n

,

y 1n  z
e 

 ( 1 n ) P ( x ) dx

( 1 n ) P ( x ) dx

(  Q( x )(1  n)e
dx  c ).

(6) 全微分方程
形如

P ( x , y )dx  Q( x , y )dy  0
其中 du( x , y )  P ( x , y )dx  Q( x , y )dy


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注意： 全微分方程 

 P Q

y  x

解法 应用曲线积分与路径无关.

u( x , y )  x P ( x , y )d x  y Q( x0 , y )dy
x

y

0

0

  Q( x , y )dy   P ( x , y0 )d x ,
通解为

y

x

y0

x0

u( x , y )  c .

 用直接凑全微分的方法.


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(7) 可化为全微分方程
形如

P ( x , y )dx  Q( x , y )dy  0
P  Q
非全微分方程 ( 
).
 y x

若  ( x , y )  0 连续可微函数，且可使方程

 ( x , y ) P ( x , y )dx   ( x , y )Q( x , y )dy  0成为全
微分方程.则称  ( x , y ) 为方程的积分因子.


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公式法:

1 P Q
若 ( 
)  f ( x)
Q y x
1 Q P
若 (
 )  g( y )
P x y

f ( x ) dx

则  ( x)  e
;

g ( y ) dy

则  ( y)  e
.

观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出
积分因子．


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常见的全微分表达式
 x2  y2 

xdx  ydy  d 
2



xdy  ydx
 y
 d 
2
x
 x

xdy  ydx
y


d
arctg


2
2
x
x y


xdy  ydx
 d ln xy 
xy

xdx  ydy
1
2
2 

d
ln(
x

y
)

2
2
x y
2


xdy  ydx
1 x  y
 d  ln

2
2
x y
2 x  y

可选用积分因子

1
1
1
1
x y
, 2, 2 2, 2
, 2 , 2 等.
2
x y x x y x  y y x


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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1)

y

(n)

 f ( x) 型

解法 接连积分n次，得通解．

( 2)

y  f ( x , y) 型

特点 不显含未知函数 y .
解法

令 y  P ( x ),

y  P ,

代入原方程, 得 P   f ( x , P ( x )).


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( 3)

y  f ( y, y) 型
不显含自变量x .

特点

令 y  P ( x ),

解法

dp
y  P ,
dy

dp
代入原方程, 得 P  f ( y , P ).
dy

４、线性微分方程解的结构
（1）

二阶齐次方程解的结构:

形如

y  P ( x ) y  Q( x ) y  0

(1)


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定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1)的两个
解,那末 y  C1 y1  C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常
数）
定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无
关的特解, 那么 y  C1 y1  C 2 y2 就是方程(1)的通
解.

（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如

y  P ( x ) y  Q( x ) y  f ( x )

( 2)


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定理 3

设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应

的齐次方程(1)的通解, 那么 y  Y  y * 是二 阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4

设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函

数之和, 如 y   P ( x ) y   Q ( x ) y  f 1 ( x )  f 2 ( x )
*
1

*
2

而 y 与 y 分别是方程,

y  P ( x ) y  Q( x ) y  f 1 ( x )
y  P ( x ) y  Q( x ) y  f 2 ( x )
*
*
的特解, 那么 y1  y 2 就是原方程的特解.


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５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n )  P1 y ( n1)    Pn1 y  Pn y  f ( x )
n阶常系数线性微分方程

y  py  qy  0

二阶常系数齐次线性方程

y  py  qy  f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确
定其通解的方法称为特征方程法.


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y  py  qy  0
特征方程为

r  pr  q  0
2

特征根的情况

 r2
实根 r1  r2
实根 r1
复根 r

1, 2

   i

通解的表达式

y  C1e r x  C 2 e r x
rx
y  (C1  C 2 x )e
y  ex (C1 cos x  C 2 sin x )
1

2

2


Slide 22

推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n )  P1 y ( n1)    Pn1 y  Pn y  0
特征方程为 r n  P1r n 1    Pn 1r  Pn  0
特征方程的根

通解中的对应项

若是k重根r

(C0  C1 x    Ck 1 x k 1 )e rx

若是k重共轭

[(C0  C1 x    C k 1 x k 1 ) cos  x

复根  j

 ( D0  D1 x    Dk 1 x k 1 ) sin  x ]e x


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６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y  py  qy  f ( x )

解法

(1)

二阶常系数非齐次线性方程

待定系数法.

f ( x )  e x Pm ( x ) 型

设 y  x k e x Qm ( x ) ,

0 不是根

k  1 是单根
 2 是重根


,


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( 2)

f ( x )  e x [ Pl ( x ) cos x  Pn ( x ) sin x ] 型

设 y  x k e x [ Rm(1) ( x ) cos x  Rm( 2 ) ( x ) sin x ],

m  maxl , n
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1)
m

( 2)
m

0   j不是特征方程的根时;
k
1   j是特征方程的单根时.


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7、欧拉方程
形如

x n y ( n )  p1 x n1 y ( n1)    pn1 xy  pn y  f ( x )
的方程(其中 p1 , p2  pn 为常数)，叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换

x  e t 或 t  ln x 可化为常系数微分方程.


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8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分
表达时, 常用幂级数解法.


Slide 27

二、典型例题


Slide 28

x

例1. cos ydx  (1  e ) sin ydy  0, y

x0
x

解： sin y



d cos y
e
1
 x
dx ,
dy  
dx ,
x
cos y
e 1
cos y
1 e

ln cos y  ln( e  1)  ln C
x

 cos y  C (e  1)
x



2
将y
 代入，得C 
x0 4
4
2 x
故所求特解为：
cos y 
e 1
4






4


Slide 29

dy
dy
例2. y  x
 xy
, 求通解。
dx
dx
2

2

2

解：  y   dy  y dy ,
dx x dx
 x

2

 y
 
2
dy
y  dy
 x
 y



0
   1  
y
dx 
x  dx
 x

1



x

y
dy
du
令u  , 则
 u x
, 代入，得：
x
dx
dx

du
u2
u x

,
dx
u1

u
du
u2
x

u 
u1
dx
u1


Slide 30

du
u2
u x

,
dx
u1

( u  1)du dx

,
u
x

u
du
u2

x

u
u1
dx
u1

u  ln u  ln x  ln C

u  ln x  ln u  ln C

u  ln xu  ln C

将变量还原，得：
y
 ln y  ln C
x
y
ln y   C1 (C1  ln C )
x
y
x

所以，原方程的解为：
y  Ce 。


Slide 31

例3. xy' y[ln( xy )  1], 求通解。
解：方程中出现f ( xy ), f ( x  y ), f ( x 2  y 2 ), f  y 
 x
等形式的项时，通常要做相应的变量替换：
2
2 y
u  xy , x  y , x  y , ,
x
'
令u  xy, 则 u'  y  xy代入原方程，得：
,
u' y  [ln u  1]  0, 即：u' y ln u
du u
du
dx
 ln u,

, ln ln u  ln x  ln C ,
dx x
u ln u x
ln u  Cx,

即：
ln( xy)  Cx,


Slide 32

例4. y ln ydx  ( x  ln y )  0, 求通解。
解： 方程两端同除以y ln ydy, 得：
dx x  ln y

 0,
dy
y ln y
dx
1
1
整理，得： 
x  , 将y当作自变量，
dy y ln y
y
 1  y ln1 y dy


,
e
dy

C
x e
 y





 ln ln y  1 ln ydy  C ,
e
 y



C
ln y
1


ln
yd
ln
y

C


ln y
2
ln y


1
dy
y ln y






Slide 33

1
1
例5. y'
y   ( x  1)3 y 3的通解。
x 1
2

解：这是n  3的贝努利方程，作代换：z  y 2 , 得：
dz
1
 1
3
 ( 2) 
z  ( 2)    ( x  1)  ,
dx
x 1
 2

dz
2
即： 
z  ( x  1)3 ,
dx x  1
2
2
 
dx 

dx


3
x 1 
x 1

z  e
(
x

1
)
e
dx

C





1
 ( x  1)4  C ( x  1)2
2
1
1
故原方程的通解为：2  ( x  1)4  C ( x  1) 2
y
2


Slide 34

1
1
例5. y'
y   ( x  1)3 y 3的通解。
x 1
2

解法二：用常数变易法求解
1
C
的通解为：
y

,
对应的齐次方程：
y'
y0
x 1
x 1
u( x )
u' ( x )( x  1)  u( x )
设 y
, 则 y' 
,
2
x 1
( x  1)
1 3
代入原方程并化简，可得：u' ( x )   u ( x )( x  1)
2
2du( x )
即：
 3
 x 1
u ( x)
1
2
两边同时积分得：u ( x )  ( x  1)2  C
2

故原方程的通解为：
1
 u( x ) 

2

y
x

1



2

1
 ( x  1)4  C ( x  1) 2
2


Slide 35

2


例7. sin( xy )  xy cos( xy ) dx  x cos( xy )dy  0的通解。

解 P ( x, y )  sin( xy )  xy cos( xy ), Q( x, y )  x 2 cos( xy )
 Py  2 x cos( xy )  x 2 [ sin( xy )]  Qx
 方程为全微分方程, 取（x0 , y0 )  (0,0)

u( x , y )   P ( x, y0 )dx   Q( x, y )dx
x

y

0

0

  0dx   x 2 cos( xy )dx
x

0

 x sin( xy )

y

0

y
0

 x sin( xy )

故原方程的通解为： x sin( xy )  C


Slide 36

1
例8. 已知 f (0)  , 且f ( x )可导，同时使 [ex  f ( x )] ydx  f ( x )dy与
L
2
路径无关，求 f ( x ).

解

P ( x , y )  [e x  f ( x )] y, Q( x , y )   f ( x )
P  Q
由已知条件，有 
y x

即：e x  f ( x )   f ' ( x )  f ' ( x )  f ( x )  e x



 f ( x )  e   dx   e x e  dxdx  C







 e   e e dx  C  Ce
1
将f (0)  代入，可得：C  0
2
x

x

x

x

1 x
故原方程的通解为：
f ( x)   e
2

1 x
 e
2


Slide 37

例9. 求以下列函数为通解的
微分方程：
( x  C1 )2  ( y  C 2 ) 2  C 3 .(*)
2

解

显然以(*)为通解的方程为一三阶微分方程。
对方程两边同时求导，得：

2( x  C1 )  2( y  C2 ) y'  0 即：
( x  C1 )  ( y  C2 ) y'  0
再求导，得： 1  ( y  C ) y' ' y '2  0
（1）
2

再求导，得： y' y' '( y  C2 ) y' ' '2 y ' y ' '  0
即：
( y  C2 ) y' ' '3 y ' y ' '  0
由（1）得：
 y ' 2 1
y  C2 
y ''
代入（2），得：
2

（2）

y ' ' ' ( y' 1)  3 y' y' '  0
2

即为所求。


Slide 38

例10. 求xy ' ' y '  ln x的通解。
解 令y'  p, 则y' '  p' , 原方程化为：
xp' p  ln x
p ln x
即：p' 
x
x
1
1
  dx  ln x  dx

C1
x
x
1
pe
e dx  C   ln x 

x
 x

C1
即：y'  ln x 
1
x

 y  x ln x  x  C1 ln x  x  C2
 ( x  C1 ) ln x  2 x  C2


Slide 39

例11. 求yy ' ' y '2  1的满足y

解

x0

 1, y'

x0

 2的特解。

dp
dp
py
 p 2  1,
令 y'  p , 则y ' '  p
, 原方程化为：
dy
dy
y
p
dy
2
解得：
ln( p  1)  2 ln
即： 2
dp 
C1
p 1
y
将y

x0

 1, y'

x0

 2代入，得：C1  1

dy
2
于是 p  1  y , p  1  y （舍负）   p  1  y ,
dx
dy
2
 dx , 两边同时积分，得：
ln
1

y
 y  x  C2
2
1 y
2

2

2



将y

 1代入，得： C 2  ln( 2  1)

x0
故所求特解为：
ln( y 2  1  y )  x  ln( 2  1)




Slide 40

例12. 求yy ' ' y '2  y 2 ln y的通解。

解

这是不显含x的方程，且y  0，

原方程可化为：yy' ' y'2  ln y
2
y
'
 y' 
''


即：
 y   ln y  ln y   ln y ,
 
令 ln y  z，则  z ''  z ,
这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为：

2  1，  1，
则其通解为：z  C1e x  C 2e  x
即：
ln y  C1e x  C 2e  x


Slide 41

例13. 设F ( x )  f ( x ) g( x ), 其中函数f ( x ), g( x )在（ ， ）内满足以下条件：

解

f ' ( x )  g( x ), g' ( x )  f ( x ), 且f (0)  0, f ( x )  g( x )  2e x , 求F ( x ).

对F ( x )  f ( x ) g( x )两边同时求导，得：
F ' ( x )  f ' ( x ) g( x )  f ( x ) g' ( x )  g 2 ( x )  f 2 ( x )
 g( x )  f ( x )  2 f ( x ) g( x )  (2e x )2  2F ( x )
2

即：F ' ( x )  2F ( x )  ，(2e x )2









：F ( x )  e   2dx  4e 2 x e  2dxdx  C  e 2 x  4e 4 x dx  C  e 2 x  Ce 2 x

将F (0)  f (0) g(0)  0, 代入上式，得： C  1
故：
F ( x)  e 2 x  e 2 x


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三、巩固练习


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一、 选择题:
1、 一阶线性非齐次微分方程 y   P ( x ) y  Q ( x ) 的通
解是(
).
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
[ Q ( x )e 
dx  C ]；
(A) y  e 
(B) y  e 



Q
(
x
)
e

[  Q ( x )e 

 P ( x ) dx

P ( x ) dx

(C) y  e

P ( x ) dx

dx ；

 P ( x ) dx

dx  C ]；

(D) y  ce 
.
2、方程 xy   x 2  y 2  y 是(
).
(A)齐次方程；
(B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程；
(D)可分离变量方程 .
 P ( x ) dx


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dy dx
3、 2  2  0 , y(1)  2 的特解是(
).
y
x
(A) x 2  y 2  2 ；
(B) x 3  y 3  9 ；
x3 y3
3
3
 1.
(C) x  y  1；
(D) 
3
3
4、方程 y   sin x 的通解是(
).
1
(A) y  cos x  C 1 x 2  C 2 x  C 3 ；
2
1
(B) y  sin x  C 1 x 2  C 2 x  C 3 ；
2
(C) y  cos x  C 1 ；
(D) y  2 sin 2 x .


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5、方程 y   y   0 的通解是(
).
(A) y  sin x  cos x  C 1 ；
(B) y  C 1 sin x  C 2 cos x  C 3 ；
(C) y  sin x  cos x  C 1 ；
(D) y  sin x  C 1 .
6、若 y1 和 y 2 是二阶齐次线性方程
y   P ( x ) y   Q ( x ) y  0 的两个特解,则
y  C 1 y1  C 2 y 2 (其中 C 1 ,C 2 为任意常数)(
)
(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；
(C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解.


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7、求方程 yy   ( y  ) 2  0 的通解时,可令(
).
(A) y   P , 则y   P  ；
dP
(B) y   P , 则y   P
；
dy
dP



(C) y  P , 则y  P
；
dx
dP
(D) y   P , 则y   P  .
dy
8、已知方程 x 2 y   xy   y  0 的一个特解为 y  x ,于
是方程的通解为(
).
1
2
(A) y  C 1 x  C 2 x ；
(B) y  C 1 x  C 2 ；
x
(C) y  C 1 x  C 2 e x ；
(D) y  C 1 x  C 2 e  x .


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9 、 已 知 方 程 y   P ( x ) y   Q ( x ) y  0 的 一 个 特
解为 y1 ,
则另一个与它线性无关的特解为(
).
1   P ( x ) dx
dx ；
(A) y 2  y1  2 e
y1
1  P ( x )dx
dx ；
(B) y 2  y1  2 e
y1
1   P ( x ) dx
dx ；
(C) y 2  y1  e
y1
1  P ( x ) dx
dx .
(D) y 2  y1  e
y1


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10、方程 y   3 y   2 y  e x cos 2 x 的一个特解形式是
(
).
(A) y  A1 e x cos 2 x ；
(B) y  A1 xe x cos 2 x  B1 xe x sin 2 x ；
(C) y  A1 e x cos 2 x  B1 e x sin 2 x ；
(D) y  A1 x 2 e x cos 2 x  B1 x 2 e x sin 2 x .
二、 求下列一阶微分方程的通解:
1、 xy  ln x  y  ax (ln x  1) ；
dy
2、  xy  x 3 y 3  0 ；
dx
ydx  xdy
 0.
3、 xdx  ydy  2
2
x y


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三、求下列高阶微分方程的通解:
1、 yy   y  2  1  0 ；
2、 y   y   2 y   x ( e x  4) .
四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
3
2
2
y
dx

2
(
x

xy
)dy  0 , x  1时， y  1 ；
1、
3




y

2
y

y

cos
x
2、
, x  0时，y  0 , y  .
2

五、已知某曲线经过点( 1 , 1 ) ,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程 .


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六、设可导函数 ( x ) 满足

 ( x ) cos x  2   ( t ) sin tdt  x  1, 求 ( x ) .
0
x

七、我舰向正东 1 海里 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰.设敌舰以常数 v 0 沿正北方向
直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷
的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击
中?


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巩固练习题答案
一、1、A； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B；
6、B； 7、B； 8、B； 9、A； 10、C.
c
二、1、 y  ax 
；
ln x
2
x2
2、 y  C1e  x 2  1 ；
y
2
2
3、 x  y  2 arctan  C .
x
1
三、1、 y  cosh(C1 x  C 2 ) ；
C1
1
4
2、 y  C1  C 2 e x  C 3 e  2 x  ( x 2  x )e x  x 2  x .
6
9


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四、1、 x (1  2 ln y )  y 2  0 ；
1
x
2、 y  xe  sin x .
2
五、 y  x  x ln x .
六、 ( x )  cos x  sin x .
1
3
1
2
2
2
七、 y  (1  x )  (1  x ) 
3
3

(0  x  1) .


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谢谢使用，再见！
Thank you! Byebye!