Transcript 于是下一次和再下一次可能结果为

线性方程组的求解
中国青年政治学院
郑艳霞
• 使用建议：建议教师具备简单的
MATHMATICA使用知识。
• 课件使用学时：4学时
• 面向对象：文科经济类本科生
• 目的：掌握线性方程组的知识点学习。
假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为
D
民主党得票率


x  共和党得票率
R
自 由 党 得 票 率
L 

我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时
每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。
假设一次选举中结果为
 0.55


x0   0.40
 0.05


0.8
0.7
每次选举得票情况的变化为
0.2
为民主党投票
为共和党投票
0.1
0.3
0.1
0.1
0.3
为自由党投票
确定下一次和再下一次可能结果。
0.4
aij
表示第j个党向第i个党转移的比例
对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达
 0 .7 0 .1 0 .3 


P   0 .2 0 .8 0 .3 
 0 .1 0 .1 0 .4 


于是下一次和再下一次可能结果为：
0.8
 0.3870
 0.7 0.1 0.3  0.55  0.440




0.2 

x1  Px0   0.2 0为民主党投票
.8 0.3  0.40   0.445
 x 2  Px1   0.4785
为共和党投票
 0.1345
 0.1 0.1 0.4  0.050.1  0.115



 0.1  0.1

0.7
0.3
0.3
为自由党投票
一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况
得到下一次选举的结果：
0.4
xk 1  Pxk , k  1,2,3,...
假设选举得票情况的变化是恒定P, 问从现在开始经过多年
若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是
多少？
一般做法: xk 1  Pxk ,
{xk } 向量序列极限如何确定?
若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于
1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满
足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整
整数k，使得Pk>0,则P存在唯一的向量q满足条件。
易见P2>0,满足上述条件。于是上述问题转化为:如何求出满
足
x=Px
的非0向量x。
即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。
齐次线性方程组
Amn xn1  0m1 (2)
1. 齐次线性方程组（2）有解的条件
定理1：齐次线性方程组 Amn xn1
 r  A  n
定理2：齐次线性方程组
 r  A  n
推论：齐次线性方程组
 r  A  n
即
1.
2.
3.
4.
有解的条件
解的性质
基础解系
解的结构
 0m1 有非零解
Amn xn1  0m1
只有零解
Ann xn1  0n1 只有零解
A  0, 即系数矩阵A可逆。
2. 解的性质
1 ,  2
性质：若
则
是齐次线性方程组Ax=0的解，
x  k11  k2 2仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。
（可推广至有限多个解）
解向量：每一组解都构成一个向量
解空间:
AX  0
的所有解向量的集合，对加法和数乘
都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次
线性方程组的解空间。
3. 基础解系
设
1 , 2 , , nr
（1）1 , 2 ,
AX  0
是
,  n r
的解，满足
线性无关；
（2）AX  0 的任一解都可以由 1 , 2 ,
则称 1 , 2 ,
定理： 设
,  n r
是 AX
A是 m  n
,  n r
线性表示。
 0 的一个基础解系。
矩阵，如果 r ( A) 
r  n,
AX  0 的基础解系存在，
且每个基础解系中含有 n  r 个解向量。
则齐次线性方程组
证明分三步: 1. 以某种方法找 n  r个解。
2. 证明这 n  r 个解线性无关。
3. 证明任一解都可由这 n  r个解线性表示。
注：(1)
AX  0 的基础解系实际上就是解空间的一个基。
(2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(3) 基（基础解系）不是唯一的。
(4) 当 r ( A)  n 时，解空间是 {0}.
当 r ( A) 
r  n 时，求得基础解系是 1 , 2 , , nr ,
则 x  k11  k2 2 
 knr nr 是AX  0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX  0 的通解是 x  k11  k22 
 knr nr
解决我们的问题：
0.3   1 0  2.25
  0.3 0.1

 

P  I    0.2  0.2 0.3    0 1  3.75
 0.1
 0 0

0
.
1

0
.
6
0

 

r(P-I)=2<3 因此齐次线性方程组的解为：
再由问题的实际意义可知：要求向量的各
分量均非负，且满足：x1  x2  x3  1 。 q
因此只能取k>0。再将求出的解进行归一，
就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。
利用软件求解
最终大约有５４％的选票被共和党人得到.
9
 
 4
15
  k 
 4
1
 
 0.32   


  0.54 
 0.14 


一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3
种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元，
7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元，4
个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元，3个
两室单元和9个一室单元。设该建筑有x层采取A设计，y层采
取B设计，z层采取C设计。
 3
(1)向量x 7 的实际意义是什么?
8 
（2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元
的总数。
（3）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、74个两室和136一
室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。
解答（1）表示当建筑x层采取A设计时，包括三室
单元，两室单元和一室的公寓数目。
 3
 4  5 
(2) x 7   y 4  z 3
8 
8  9
（3）问题转化为：求非负整数x,y,z满足：
3
4 5  66 
x 7   y 4  z 3   74 
8 
8  9 136
也就是非求齐次线性方程组
 3 4 5   x   66 

   
 7 4 3   y    74 
 8 8 9   z  136

   
的解的问题。
Amn xn1  bm1
非齐次性线性方程组
(1)
1. 有解的条件
定理3：非齐次线性方程组
Amn xn1  bm1 有解
 r  A   r  A, b 
并且，当
当
r  A   r  A, b   n 时，有唯一解；
r  A   r  A, b   n 时，有无穷多解。
2. 解的性质
1 ,2 是 Amn xn1  bm1 的解，则 1  2 是
性质1：
对应的齐次线性方程组
Ax  0 的解。
性质2： 设是Amn xn1  0 m1的解，是Amn xn1  bm1的解，
则  是Amn xn1  bm1的解.
3. 解的结构
若
Amn xn1  bm1 (1)
*

其中

分析:
有解，则其通解为 x
 *   
是（1）的一个特解，
是（1）对应的齐次线性方程组
1. 证明
Ax  0 的通解。
x      是解；
*
2. 任一解都可以写成
x   *    的形式。
房屋设计问题的解
答
 3 4 5   x   66 

   
 7 4 3   y    74 
 8 8 9   z  136

   
进行计算：
1


2
1 0 
2
 3 4 5 66  


 
13
( A, b)   7 4 3 74   0 1
15


8
 8 8 9 136 
0 0 0
0






由此可得 r ( A, b)  r ( A)  2  3 ，
解，且基础解系含有一个向量。
因此该非齐次线性方程组有
2  4 
  

*
x       15  k   13
0  8 
  

利用软件求解
房屋设计问题（3）的解答
由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为0、1。
即房屋的设计方案有两个：
1.利用A设计的2层和B设计的15层
2. A设计的6层、B设计的2层和C设计的8层。