第十二章高阶微分方程习题课
Download
Report
Transcript 第十二章高阶微分方程习题课
高阶微分方程
习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程
待
定
系
数
法
f(x)的形式及其
特解形式
线性方程解的结构
二阶常系数线性
方程解的结构
特
征
根
法
特征方程的根
及其对应项
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降
变 阶
换
高阶方程
作变换
非非
变全
全微分方程
量微
积分因子 可 分
分方
常数变易法
离程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1)
y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y) 型
特点 不显含未知函数 y .
解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
( 3)
y f ( y, y) 型
不显含自变量x .
特点
令 y P ( x ),
解法
dp
y P ,
dy
dp
代入原方程, 得 P f ( y , P ).
dy
2、线性微分方程解的结构
（1）
二阶齐次方程解的结构:
形如
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
若y1 , y2是解, 则y c1 y1 c2 y2也是解
若y1 , y2是两无关解, 则y c1 y1 c2 y2是通解
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
( 2)
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
若f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )则y y1 y2
若y y1 jy2是f ( x ) f1 ( x ) jf 2 ( x )的特解
则y1 , y2分别是f1 ( x ), f 2 ( x )的特解
3、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确
定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
2
特征根的情况
1 r2
实根r1 r2
实根r
复根r
1, 2
i
通解的表达式
y C1e r x C 2 e r x
y (C1 C 2 x )e r x
1
2
2
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
若是k重共轭
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x
复根 j
( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
解法
(1)
二阶常系数非齐次线性方程
待定系数法.
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 不是根
k 1 是单根
2 是重根
,
( 2)
f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
设 y x k e x [ Rm(1) ( x ) cos x Rm( 2 ) ( x ) sin x ],
m maxl , n
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1)
m
( 2)
m
0 j不是特征方程的根时;
k
1 j是特征方程的单根时.
二、典型例题
1 y 2
例1 求通解 y
.
2y
解 方程不显含 x .
dP
令 y P , y P , 代入方程，得
dy
dP 1 P 2
P
,
解得， 1 P 2 C1 y,
dy
2y
dy
即 C 1 y 1,
P C 1 y 1,
dx
2
C1 y 1 x C 2 .
故方程的通解为
C1
例2
求特解
y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
解
特征方程 r 2 2r 1 0,
特征根
r1 r2 1,
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x .
*
2
x
y
x
(
ax
b
)
e
,
设原方程的特解为
3
2
x
则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e ,
*
3
2
x
( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e ,
*
*
将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得
*
*
1
1
a , b ,
6
2
3
2
x
x
原方程的一个特解为 y * e x e x ,
6
2
3
2
x
x
x
x
x
y
(
C
C
x
)
e
e
e
.
故原方程的通解为
1
2
6
2
1
y(1) 1,
(C1 C 2 )e 1,
3
3
x x
y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e ,
6
5
(C1 2C 2 )e 1,
6
1 1
2 1
C1 C 2 ,
C1 ,
e 3
e 6
解得
1 5
C 1 1 ,
2
C1 2C 2 ,
2 e
e 6
y(1) 1,
由
所以原方程满足初始条件的特解为
3
2
2 1 1 1
x x x x
x
y [ ( ) x ]e e e .
e 6 2 e
6
2
例3
设二阶非齐次线性方程的三个特解为
y1 x , y2 x sin x , y3 x cos x
解
求其通解
由解的结构知非齐方程的任二解之差是
相应齐方程的解
故
y2 y1 sin x
是齐方程的两个解
齐通解
非齐通解
y3 y1 cos x
且线性无关
Y c1 cos x c2 sin x
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x)
使曲线积分
L
[e x 2 xf ( x ) f ( x )] ydx f ( x )dy
( 常数) 与路径无关
解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) e x
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解
y (c1 c2 x )e
x
1时
1 2 x
y xe
2
*
2
x x
f ( x ) (c1 c2 x )e
2
1
x
1时 y*
e
( 1)2
1
x
f ( x ) (c1 c2 x )e
e
( 1)2
x
例5
解
1
求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ).
2
2
特征方程 r 4 0,
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
设原方程的特解为 y* y1* y2* .
(1) 设 y ax b, 则 ( y1* ) a , ( y1* ) 0,
*
1
1
1
代入 y 4 y x，得 4ax 4b x，
2
2
由
1
4a ，
2
4b 0，
解得
1
a ，
8
1
y x;
8
b 0，
*
1
( 2) 设 y2* x(c cos 2 x d sin 2 x ),
则 ( y ) (c 2dx ) cos 2 x (d 2cx) sin 2 x,
*
2
( y2* ) (4d 4cx) cos 2 x (4c 4dx ) sin 2 x ,
1
代入 y 4 y cos 2 x，得
2
1
4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x ,
2
1
c 0，
4d ，
1
2
*
由
y2 x sin 2 x;
即
1
8
d ，
4c 0，
8
故原方程的通解为
1
1
y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x .
8
8
1
设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应
x
的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
例6
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式；
（２） 此方程的通解.
解 （１）
由题设可得：
2 p( x ) 2 x 0,
解此方程组，得
2
1
x 3 p( x )( x 2 ) f ( x ),
1
p( x ) ,
x
3
f ( x) 3 .
x
1
3
（２） 原方程为 y y 3 .
x
x
显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方程
的两个线性无关的特解，
1
*
又 y 是原方程的一个特解，
x
由解的结构定理得方程的通解为
1
2
y C1 C 2 x .
x
测 验 题
一、选择题:
1、 一阶线性非齐次微分方程 y P ( x ) y Q ( x ) 的通
解是(
).
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y
e
[
Q
(
x
)
e
dx C ]；
(A)
Q
(
x
)
e
[ Q ( x )e
P ( x ) dx
dx ；
(B) y e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
dx C ]；
(C) y e
P ( x ) dx
(D) y ce
.
2
2
x
y
x
y
y 是(
2、方程
).
(A)齐次方程；
(B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程；
(D)可分离变量方程 .
P ( x ) dx
dy dx
3、 2 2 0 , y(1) 2 的特解是( ).
y
x
(A) x 2 y 2 2 ；
(B) x 3 y 3 9 ；
x3 y3
3
3
1.
(C) x y 1 ；
(D)
3
3
4、方程 y sin x 的通解是(
).
1
(A) y cos x C 1 x 2 C 2 x C 3 ；
2
1
(B) y sin x C 1 x 2 C 2 x C 3 ；
2
(C) y cos x C 1 ；
(D) y 2 sin 2 x .
5、方程 y y 0 的通解是(
).
(A) y sin x cos x C 1 ；
(B) y C 1 sin x C 2 cos x C 3 ；
(C) y sin x cos x C 1 ；
(D) y sin x C 1 .
6、若 y1 和 y 2 是二阶齐次线性方程
y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的两个特解,则
y C 1 y1 C 2 y 2 (其中C 1 , C 2 为任意常数)(
(A)是该方程的通解；
(C)是该方程的特解；
)
(B)是该方程的解；
(D)不一定是该方程的解.
7、求方程 yy ( y ) 2 0 的通解时,可令(
).
(A) y P , 则 y P ；
dP
(B) y P , 则y P
；
dy
dP
(C) y P , 则y P
；
dx
dP
(D) y P , 则y P .
dy
8、已知方程 x 2 y xy y 0 的一个特解为y x ,于
是方程的通解为(
).
1
2
(A) y C 1 x C 2 x ；
(B) y C 1 x C 2 ；
x
x
x
(C) y C 1 x C 2 e ；
(D) y C 1 x C 2 e .
9、已知方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的一个特解为 y1 ,
则另一个与它线性无关的特解为(
).
1 P ( x ) dx
dx ；
(A) y 2 y1 2 e
y1
1 P ( x ) dx
dx ；
(B) y 2 y1 2 e
y1
1 P ( x ) dx
dx ；
(C) y 2 y1 e
y1
1 P ( x ) dx
dx .
(D) y 2 y1 e
y1
10、方程 y 3 y 2 y e x cos 2 x 的一个特解形式是
(
).
(A) y A1 e x cos 2 x ；
x
x
(B) y A1 xe cos 2 x B1 xe sin 2 x ；
x
x
(C) y A1 e cos 2 x B1 e sin 2 x ；
2 x
2 x
(D) y A1 x e cos 2 x B1 x e sin 2 x .
二、求下列一阶微分方程的通解:
1、 xy ln x y ax (ln x 1) ；
dy
2、 xy x 3 y 3 0 ；
dx
ydx xdy
0.
3、 xdx ydy 2
2
x y
三、求下列高阶微分方程的通解:
1、 yy y 2 1 0 ；
2、 y y 2 y x ( e x 4) .
四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
3
2
2
1、 y dx 2( x xy )dy 0 , x 1时， y 1 ；
3
y
2
y
y
cos
x
x
0
时，
y
0
,
y
2、
,
.
2
六、设可导函数 ( x ) 满足
( x ) cos x 2 ( t ) sin tdt x 1, 求 ( x ) .
0
x
七、我舰向正东 1 海里 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰.设敌舰以常数 v 0 沿正北方向
直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷
的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击
中?
测验题答案
一、1、A； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B；
6、B； 7、B； 8、B； 9、A； 10、C.
c
二、1、 y ax
；
ln2 x
2
x
2
2、 y C1e x 1 ；
y
2
2
3、 x y 2 arctan C .
x
1
三、1、 y cosh( C1 x C 2 ) ；
C1
1 2 4
x
2 x
2、 y C1 C 2 e C 3 e ( x x )e x x 2 x .
6
9
四、1、 x (1 2 ln y ) y 2 0 ；
1
x
2、 y xe sin x .
2
五、 y x x ln x .
六、 ( x ) cos x sin x .
1
3
1
2
2
2
y
(
1
x
)
(
1
x
)
七、
3
3
( 0 x 1) .