Transcript 一元二次方程的两个根和

 一元二次方程根的判别式
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)根
的判别式．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
b2－4ac ＞0
有两个不相等的实数根；
b2－4ac ＝0
有两个相等的实数根；
b2－4ac ＜0
没有实数根．
 一元二次方程根的判别式
1． 已知关于x的方程2x2－(4k+1)x+2k2－1＝0，
那么当k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程无实数根
 一元二次方程根的判别式
练习
2. 求证：不论m为任何值，关于x的方程(x－1)(x－2)
＝m2总有两个不相等的实数根．
3.若关于x的一元二次方程
（m2－1）x2－2（m＋2）x＋1＝0有实数根，求m
的取值范围.
判别式的作用：
(1)不解方程判断方程根的情况
(2)求方程中字母系数的值、范围
或相互关系
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程
x 2  5x  6  0
2 x  5x  3  0
2
6x2  x  2  0
x1 + x2
x1 · x2
5
6
5
2
1

6
3
2
1

3


1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 · x2与方
程 的系数有什么关系？
2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间
这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任
何一元二次方程都具有的呢？
 一元二次方程根与系数的关系
1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，
那么
b
c
x1  x2   ，x1  x2 
a
a
2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么
x1＋x2＝－p，x1·x2=q
公式的推导过程
如果ax  bx  c  0, a  0的两个根是x1 , x2
2
 b  b  4ac  b  b  4ac
x1  x2 

2a
2a
 2b
b


2a
a
2
2
 b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
x1  x2  (
)(
)
2a
2a

 b

2


b  4ac
4a 2
2

2
c

a
例1：已知方程：
5 x  kx  6  0,的一个根是2，
2
求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根为x1，那么
6
5
3
 x1  
5
k
 3
又    2  
5
 5
x1  2  
 3 

 k  5       2   7
 5 

3
所以，方程的另一根是  ，k的值是  7。
5
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2 x  3x  1  0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
例3 已知一元二次方程的两个根是2和3，
求这个一元二次方程。
拓展
2
1.若关于x的一元二次方程x +( m+1) x+m+4=0
的两个实数根的平方和为2，求m的值。
2.已知p - p- 1=0, 1- q- q =0, 且pq  1,
2
pq+1
求
的值。
q
2
 一元二次方程根与系数的关系
例4：以下是某同学自编的初中数学练习题：“x1，x2
是方程x2－2x＋2＝0的两个根，求x12+x22的值”。
叶一洋是这样解答的：“∵x1＋x2＝x1·x2＝2，
∴ x12+x22 ＝（x1＋x2）2－2 x1x2＝22－2×2＝0”
（1）你认为他们做的好吗？简要说明理由；
（2）只对原练习题中的方程进行变形，其他条件不
变，改求
1
1

x1 x 2
的值；
注意：只有在△≥0时，根与系数关系才成立，
才能应用韦达定理
 中考链接
1 (山东威海)若m＜0，n＜0，则关于x的一元二次方程
x2＋mx＋n＝0 ( )
A有两个异号的实数根，正数的绝对值较大；
B有两个负的实数根
C有两个异号的实数根，负数的绝对值较大；
D有可能无实数根。
2.(2005天津)解方程组
 x  y  7,

 xy  12.
3.(河北省)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别
是∠A 、∠B 、∠C的对边，a、b是关于x的方程
x2-7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线的长度是
_________
 中考链接
4.(2005天津)若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1
＝0的两个实数根x1，x2，且x1·x2＞x1＋x2－4，则实数
m的取值范围是(
5
（A）m＞ 
3
5
(C) m＜ 
3
)
(B) m≤
(D)
5

3
1
2
＜m≤
1
2
1 2
5.（荆门2005）已知关于x的方程 x  (k  1) x  k  1  0
4
2
的两根是一个矩形两邻边的长. ⑴ k取何值时，方程有
两个实数根；⑵当矩形的对角线长为 5 时，求k的值
某租赁公司拥有汽车 100 辆。据统计，当
每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。
每辆车的月租金每增加 50 元，未租出的车
将增加 1 辆。租出的车每辆每月的维护费
为 150 元，未租出的车每辆每月只需维护
费 50 元。
（1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，
能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租
赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）
可达到 306600 元？
2
5. 设a, b是方程x - 2x- 1=0的两个根，
则a+b+ab的值为______.
2
6. 关于x的方程( 2a- 1) x +( a+1) x+1=0
的两个根相等，求a的值。