Transcript 一元二次方程

一
元
二
次
方
程

知识结构
ax2+bx+c=0（a≠0）
一般形式
解法

直接开平方法
( x  a)2  b b  0
2
2
配方法 x2  bx   b    x  b   c  c  0
2
 2 
2

b

b
 4ac
公式法 x 
   0
2a
( x  a)( x  b)  0
根的判别式：
  b2  4ac b
c
因式分解法
根与系数的关系： x1  x2   , x1  x2 
a
a
应用
思想方法

配方法求最值问题

实际应用
转化思想；
配方法、换元法
一、概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的方程
二、一元二次方程的一般形式：
ax  bx  c  0 (a  0)
2
2
ax
其中二次项是________,二次项系数是
a
bx
__________,一次项是________,一次项
b
系数是_________,常数项是_______
c
1.下列关于x的方程中是一元二次方程
的是（ D ）
A. 3x  4x  5  2 B. 2 x  3x  2 y  4
2
1
2
x

3
2
 0 D.
C. x  2 
 2x  7
2x
6
2
E.ax  bx  c  0
5
2
3
x
2
1  0
2、方程① 3 y  y  1 ② x 
2
2
2
③ 2 x  5x  6  0 ④ 7 x  8xy  1
2
中是一元二次方程的为
2
②③
（填序号）
2
2
≠2
3.当k
时，方程 kx  3x  2 x  1
是关于x的一元二次方程。
4.方程2x(x-1)=18化成一般形式
2-x-9=0
x
为
，其中常数项
为 -9 。二次项为 x2 ，一次项
为
，二次项系数为 1
，
x
一次项系数为 -1 .
5、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1)
a2-4=0
a+2≠0
∴a=2
∴当a=2时，原方程是
一元一次方程
(2) a2-4≠0
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原方
程是一元二次方程
三、方程的根
能使等式成立的未知数的值叫做方
程的解，一元二次方程的解也叫做
一元二次方程的根
6.若关于x的方程x²＋2x－m＝0的一根为0，则
m＝
。
7.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一
个根，则a＝
，另一个根为
。
四、根的情况：
ax  bx  c  0 (a  0)
2
b2-4ac>0
方程有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根
b2-4ac<0
方程没有实数根
练习：
不解方程判别根的情况 ：
（1）2x2－4x+1=0；
（2） 4y(y－5)+25=0；
（3）(x－4)(x+3)+14=0；
（4）(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0.
8.方程 x2- 7x-1=0 的根的情况
是 有两个不相等的实数根.
9.关于x的一元二次方程(1  k ) x  2x 1  0
有两个实数根，则k的取值范围
是 k≤2且k≠1
。
2
10.关于x的一元二次方程2x²＋kx＋1＝0有两
个相等的实根，则k＝  2 2 ；方程的解
2
为 x1  x 2 
。
2
五、解一元二次方程的方法：
配方法
公式法
mx n
2
a
 b  b  4ac
x1, 2 
2a
2
因式分解法。
ax  bcx  d   0
b
d
x1   , x2  
a
c
练习
选用适当方法解下列一元二次方程








1、 (2x+1)2=64
( 直接开平方 法）
2、 (x-2)2-４(x+１)2=0
( 因式分解 法）
3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 因式分解 法）
4、 x２-４x-10=０
( 公式
法）
5、 ３x２-４x-５=０
( 公式
法）
6、 x２＋６x-1=0
( 公式
法）
7、 ３x２ -８x-３=０
( 因式分解 法）
8、 y2- 2 y-1=0
( 公式
法）
选择方法的顺序是：
直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法
11、 （1）(x＋1)(x－2)＝0
（2）(x＋3)²＝４
（3）已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
则a2+b2 =
。
（4）已知2x2+5xy－7y2=0，
且y≠0，求x∶y
12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是
（ ）
A.x²－2x－99＝0化为 (x－1)²＝100
B. B. x²＋8x＋9＝0化为 (x＋4)²＝25
7 2 81
(
t

)

C. 2t²－7t－4＝0化为
4
16
D. 3y²－4y－2＝0化为
2 2 10
(y  ) 
3
9
13.用适当的方法解方程
x  6x  5
2
(1)
( x  3)  2
(2)
(3)
x  1  3x
(4) (2x  3)  4(2x  3)
2
2
(5) (3x  2)  4( x  3)
2
2
2
(6)
x 9  x 3
2
14.若方程(x+1)(x+a)=x²+bx-4，则(
A. a＝4，b=3
B. a＝-4，b=3，
C. a＝4，b=-3
D. a＝-4，b=-3
)
求证：
2 x  4 x  3＞0；
（1）对于任何实数x，均有：
2
（2）不论x为何实数，多项式 3x  5 x  1的
2
值总大于 2 x  4 x  7 的值。
2
六、一元二次方程的根与系数：
韦达定理：
一元二次方程的根与系数的关系：
若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则
c
x1+x2=_______；x1x2=___；
a
b

a
以x1、x2为根（二次项系数为1）的
2-(x +x )x+x x =0
x
1
2
1 2
一元二次方程为_________________.
已知两数的和是4,积是1，则此两数为
.
例题分析:
【例1】 关于x的方程2x2+kx-4=0的一
个根是－2，则方程的另一根是
；
k＝
。
【例2】x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个
根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x12+x22
（2）︱x1-x2︱
（3）x12+3x22-3x2
１、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，
则m=
。
2.设a，b是方程 x  x  2009  0 的两个实数
根，则 a2  2a  b
=
；
2
3、 已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个
根β小4，则α=
；β=
；m=
.
4、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方
程的另一根及m的值。
5、关于x的方程2x2－3x+m=0，当
时，
方程有两个正数根；当m
时，方程有一
个正根，一个负根；当m
时，方程有一
个根为0。
AC BC

,
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
AB AC
那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫
做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
A
设AB  1, AC  x, 则CB  1  x.
 x 2  1 1  x ,
即x 2  x  1  0.
解这个方程, 得
 1 5
x 
.
2
C
B
1  5
 x1 
,
2
1  5
x2 
(不合题意, 舍去).
2
AC  1  5
 黄金比

 0.618.
AB
2
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元
一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、验、答．
1.一种商品，原来每件的成本为100
元，由于连续两次降低成本，现在的
成本是81元，求平均每次降价的百分
率。
2.某印刷厂一月份印刷书籍50万册,二,
三月份共印刷132万册,求二,三月份平
均每月增长率是多少?
2.某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方
形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草
坪，并请全校学生参与设计。现选取了几位同学设
计的方案（图纸如下）：
（1）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为540平
方米。问：道路的宽为多少？
（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪的
总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？
（3）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪的
总面积为570平方米。则道路宽又为多少？
（4）若把乙同学的道路由直路改为斜路，
设计草坪的总面积仍为540平方米，
那么道路的宽又是多少？
20
32
20
(5)改为折线又如何？
改为曲线又如何？
32
3.如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙和
55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方
形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总
面积为150米2,那么有几种围法?(2)如果需要围成的
养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积
是多少?
( 墙长18米)
4.某商场礼品柜台春节期间购进大量
贺年卡，一种贺年卡平均每天可售
出500张，每张盈利0.3元，为了尽快
减少库存，商场决定采取适当的降
价措施，调查发现，如果这种贺年
卡的售价每降低0.1元，那么商场平
均每天可多售出100张，•商场要想平
均每天盈利120元，每张贺年卡应降
价多少元?
每张贺年卡应降价多少元时有最大利润
5. 现有12升纯酒精，倒出一部分
后注满水，第二次倒出与前次同
量的混合液再注满水，此时容器
内的水是纯酒精的3倍，求每次
倒出液体的数量是多少升.
一元二次方程的概念
1、判断下列方程是否为一元二次方程.
3
2
(2)X +X =36
1 2
(4) 2   0
(3)X2+3Y=36
x
x
2+bx+c=0(a≠0)
2
(6)ax
(5)X =X(X+1)+36
(1)X2+X=36
2
２、若关于x的方程(m-1)x +3x-4=0是一
元二次方程, 则m的取值范围是______.
做一做,看看你是否真的掌握了?
1.下列是一元二次方程的是（
）
2
2
2
A. X +3x-2
B. x +3x-2=x
2
2
3
C. X =2+3x
D. x -x +4=0
2.写出一个一元二次方程，使它的各项系
数之和为6，则方程可以是__________________________.
2
3.关于x的方程(m-3)x -(m-1)x-m=0是一元
二次方程，则二次项系数是_____,一次项
系数是_____,常数项是_____.
4.若关于x的方程kx2+x=2x2+1是一元二次方
程，则k的取值范围是_____.
典型例题：
(1)x2-10x+24=0;
(2)(x 1)  ( 2 1)
2
2
(3)y2+(2-y)2+7y=0
(4)3x(x-2)=4(x-2);
【中考题目训练】
1．(2002·杭州)已知2是关于x的方程
3 2
x  2a  0的一个解，则2a－1的值
2
为_____________．
2、(2003·大连)某房屋开发公司经过几年的
不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万
平方米，到2002年的7万平方米．设这两年
该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增
长率为x，则可列方程为_____________．
1.将方程化成一般形式.
2.解方程时选取方法要恰当。
3.应用根与系数关系时，要
特别注意应，b2-4ac≥0.
3.一元二次方程系数可以判断
方程根的情况.
a与c的符号为异号时，方程必定有实数根；
综合运用
1、方程2x2=x的解是
。
2、已知(x+y)(x+y+2)=8，那么x+y=
。
3、当m=
时，代数式x2+mx+0.25是一
个完全平方式
4、已知方程4x2-5kx+k2=0的一个根是x=2，
则k的值为 2或8 。
5、如果方程
2x
m 23
2
m7  0
是关于x的一元二次方程，则它的根
为 1或  6
。
7、如果方程ax2-6x+3=0有实数根，则a的取
值范围是
。
8、 (m  2)( x  5)
m2 2
40
是关于x的一元二次方程，求m的值并解此
方程
9、读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去
世时的年龄）
 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
 而立之年督东吴，早逝英年两位数；
 十位恰小个位三，个位平方与寿符；
 哪位学子算得快，多少年华属同瑜？
一元二次方程复习三
例1 将下列方程化为一般形式， 并分别指
出它们的二次项系数、一次项系数和常数
项,并解方程
1)
( x  3)(3x  4)  ( x  2) 2
2）（x-2）(x+3)=8
3）
x  4  ( x  2)
2
2
2
2
例2:关于x的方程(m -9)x +(m+3)x+5m-1=0，
(1)当m取何值时是一元二次方程？
(2)当m取何值时是一元一次方程？
练: 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当 2a－4≠０，即a ≠2 时是一元二次方程；
a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
.选择题
1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次
方程则m的值为＿＿＿
A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是
A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
3. 关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13
可能是一元二次方程吗？
4.若方程kx3－(x－1)2＝3(k－2)x3＋1是关于x
的一元二次方程，则k＝＿＿＿
5. a为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是
一元 二次方程
6.K为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关
于x的一元二次方程
1. 已知 2 是方程 x  c  0 的一个根, 则 x  _____.
2
2. 关于 x 的一元二次方程x 2  tx  2t  0 的一个根
是 4 , 则 t 的值是 _______.
3.已知 m 为方程 x 2  x  6  0 的一个根, 则代数式
m 2  m 的值等于________.
4.已知 2  3 是关于 x 的一元二次方程x 2  4 x  c  0
的一个根, 则 c 的值是 ______.
5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2  bx  c  0, 且
满足 b  a  c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ).
A.1
B.  1
C. 0
D. 不能确定
6.已知1 是关于 x 的一元二次方程(2a  b) x 2 
(2b  c) x  2c  a  0的根, 则a, b, c满足的关系是(A).
A. a  b  c  0
C. 2a  b  2c  0
B. a  b  c  0
D. a  2b  2c  0
7. 若关于 x 的一元二次方程x 2  px  1  0 的一个
实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C )
A.  2
B. 2
C.  2
D.  1
1.
关于X的方程(2m2+3)x2+5x=13
一定是一元二次方程吗？为什么?
2. 若关于x的方程kx2+x=2x2+1是一元
二次方程，则k的取值范围是_____.
3)根据下表的对应值, 试判断一元二次
方程ax  bx  c  0的一解的范围是C 
2
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax 2  bx  c -0.06
-0.02
0.03
0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
C 3.24＜x ＜3.25
D
3.25＜x ＜3.26
试说明：
不论x取何值，代数式
2
2x +5x-1的值总比代数
2
式x +8x-4的值大。
例
如图,已知A、B、C、D为矩 A
形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动 P
点P、Q分别从点A、C同时出发,点P
以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点
B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. B
问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形
PBCQ的面积是33c㎡
(2)P、Q两点从出发开始几秒时,
点P点Q间的距离是10㎝
D
Q
C
问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,
四边形PBCQ的面积是33c㎡
分析:四边形PBCQ的形状是
梯形,上下底,高各是多少?
(2)P、Q两点从出发开始几秒时,
点P点Q间的距离是10㎝
A
D
P
B
分析:PQ的长度如何求?如图过Q点作垂线,
构造直角三角形
Q
C
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或
降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量
是A,则它们的数量关系可表示为
a(1  x)  A
n
其中增长取+,降低取－
 1,老李购买某债券4000元，两年后本利和
为4840元，求这种债券的平均年利率。
 2，制造一种产品，原来每件的成本是120
元，由于连续两次降低成本，现在成本为
78元，求平均每次降低成本百分之几？
解方程:
（1）x  8 x  1  0
2
（2）
2 x  1  3x
2
（3）
3 x  6x  4  0
2
谢谢合作！