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北师大版高中数学必修一第四章第1节
函数与方程
作者：江西樟树三中宋一娇
学科学段：高中数学
问题探究一
一元一次方程
x - 1 = 0 的解和相应的一次函数
f (x) = x - 1 的图像与 x 轴交点坐标有何关系？
y
o
-1
1 2
x
方程的根等于交点的
横坐标
问题探究二
一元二次方程 x 2 - 3x + 2 = 0 的解和相应的二次
函数 f (x) =
系？
x 2 - 3x + 2的图像与 x 轴交点坐标有何关
y
o
1
2
x
方程的根等于交点的
横坐标
函数的零点
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为
这个函数的零点。
等价关系： 方程 f (x) = 0 有实数解
 函数 y = f (x) 的图像与 x 轴有交点
 函数 y = f (x) 有零点
巩固练习1
1.利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
y
0
有,2个
x
没有
知识探究
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图像:
[－2,1]
y
.
.
－2 －1
1
0
－3
－4
.
1
－1
－2
.
2
3 4
f(1)<0
f(－2)·f(1)<0 （－2,1）x＝－1
2
.
f(－2)>0
x
x2－2x－3＝0的一个解
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3
x2－2x－3＝0的另一个解
y
.
零点存在定理:
a
b x
.
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线，
0
并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则
在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应
的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.
y
.
.
a
y
0
b
.
x
a 0
.
b
x
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定
区间内存在零点。
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