Transcript 多马经济增长模型的缺陷
微分方程在经济学中的应用 授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时（90分钟） 授课目的: (1)学会解微分方程 (2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用 授课教师: 张丽莉 一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设: 全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。 设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型： S (t ) Y (t ) I (t ) dY dt S (t ) I (t ) Y (0) Y0 (1) Y0 0 . Y0 其中 、 均为正的常数，为初期国民收入， 第一个方程表示储蓄与国民收入成正比 （ 称为储蓄率）， 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成 正比（ 称为加速数）， 第三个方程表示储蓄等于投资. 由（1）中前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关 于Y(t)的微分方程: dY Y , 0 dt 可分离变量方程 形如 f ( x) dx g ( y ) dy 的一阶微分方程，称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到 f ( x)dx g ( y) dy C 其中C为任意常数. 方程 dY Y , 0是可分离变量方程 dt 1 dY dt Y 即 两端积分得到 ln Y t c1 其通解为 Y ce t , c是任意的常数. 由初始条件 Y (0) Y0 ，得 c Y0 t 于是有 Y Y (t ) Y0 e . 由此可得: S (t ) I (t ) Y (t ) Y0 e t 由 0 可知， Y (t ) , S (t ) , I (t ) 均为时间 t 的单调增加 函数，即它们都是不断增长的. 多马模型的结论与意义 从凯恩斯的理论框架开始，但避免了凯恩斯投资率 不会增加资本存量规模的假定（短期分析），从而 变成了长期理论。 该模型产生了一种均衡条件，它意味着经济增长的 不变比率。 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变 量，一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能 力，政府可以通过调节储蓄水平、刺激资本积累来 实现经济的长期增长。 多马经济增长模型的缺陷 资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力 根本不能替代，这一假定是不现实的。 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用，从 而将经济增长推向“唯资本论”的方向。 没有考虑到技术进步在经济发展中的作用。 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色 彩，而对市场机制的作用有所忽视。 二、索洛（Solow, R. M.）经济增长模型 索洛模型假设： 该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投 资转化率假设为1； 投资的规模收益是常数； 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假 设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布道格拉斯生产函数。 设Y(t)为t时刻的国民收入，K(t)为t时刻的资 本存量，L(t)为t时刻的劳动力，索洛曾提出 如下的经济增长模型： Y F ( K , L) dK sY (t ) dt L L0 e t (2) 为劳动力增长率 ( 0)，L0 为 其中s为储蓄率(s>0)， 初始劳动力 ( L0 0) , F ( K , L) 为K和L的一次齐次函数， 称为生产函数. 由（2）的前两式，可得 dK K sF ( K , L) sLF ( , 1) dt L K 令 k L ――称为资本劳动力比， 表示单位劳动力平均占有的资本. 将 dL L , 可得 K kL 代入上式并利用 dt dk k sF (k , 1) (3) dt 为了求出方程(3)的解，需给出生产函数 F ( K , L) 的具体形式. 为此，下面取生产函数 柯布―道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数，即设 F ( K , L) AK L1 ALk 其中 A 0 , 0 1均为常数. 易知 F (k , 1) Ak , 将其代入（3）得 dk k sAk dt 伯努利（Bernoulli）方程 形如 dy n p ( x) y q ( x) y dx 的方程，称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的)，可以化成一阶线 性方程来求解，其中n为常数. 将方程两端除以 y n，得到 y n 令 y 1n z , dy p( x ) y1 n q( x ) dx (4) 有 (1 n) y n dy dz dx dx (5) 将(5)代入(4),得到 dz (1 n) p( x) z (1 n)q( x) dx 1 n y z 这是一阶线性方程，可以求解.求出后再用 代回，即得伯努利方程的解. dk k sAk dt 这是以 k k (t ) 为未知函数的伯努利方程. 令zk 1 , 则有 dz (1 )z (1 ) sA dt 这是关于z 的一阶线性方程，其通解为 sA 将 z k 1 K 1 [ sA z ce ( 1) t K 1 代入上式，得 ( ) L ce ( 1) t 1 ]L s AL10 e (1 ) t cL10 如果 K (0) K 0 , 则由上式有 K 0 1 s s 1 c ( ) A k0 A L0 于是有 K K (t ) [a be 1 (1 ) t 1 其中设 1 s 1 a k 0 A L0 b s AL1 0 ] 索洛经济增长模型的一些结论与意义 增长必须用人均数据（output per capita）来衡量， 强调技术进步时人均收入增长的源泉。 所有增长最终可以归结到两种途径：资本（物质和 人力）积累和技术进步。 重新假定生产要素（资本与劳动）具有相互替代性， 使资本—产出比由固定不变成为可变。 强调市场机制在经济增长过程中的作用。无论经济 处于什么样的初始状态，市场机制只要是完全的， 就可以选择合适的资本—产出比，保证充分就业。 索洛模型的缺陷 模型中假定资本与劳动力可以任意替代，以 便生产要素可以充分利用，实现均衡增长， 是不符合实际的。 缺乏政策指导意义。 认为技术进步是经济增长的决定因素，却有 假定技术进步是外生变量，结果使得新古典 模型对一些重要的增长事实无法解释。