Transcript 5-5 高阶线性常系数非齐次微分方程

西华大学应用数学系朱雯
第五节常系数非齐次
线性微分方程
一
、
x
f ( x )  e Pm ( x )
二、 f ( x )  e x [ Pl ( x ) cos x  Pn ( x ) sin x] 型
三、小结
一、 f ( x )  e
x
Pm ( x ) 型
y  py  qy  f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y  py  qy  0,
通解结构 y  Y  y ,
常见类型 Pm ( x ),
Pm ( x ) e
x
Pm ( x ) e
cos  x ,
难点：如何求特解？
x
,
Pm ( x ) e
x
sin  x ,
方法：待定系数法.
设非齐方程特解为 y  Q( x )e x 代入原方程
2



Q ( x )  ( 2   p ) Q ( x )  (   p   q ) Q ( x )  Pm ( x )
  p  q  0,
( 1 ) 若  不是特征方程的根，
可设 Q ( x )  Q m ( x ),
2
x
y  Qm ( x )e ;
( 2 ) 若  是特征方程的单根，
  p  q  0,
2
可设 Q ( x )  xQ m ( x ),
2  p  0,
x
y  xQm ( x )e ;
( 3 ) 若  是特征方程的重根，
  p  q  0,
2  p  0,
2
可设 Q ( x )  x Q m ( x ),
2
x
y  x Qm ( x )e .
2
综上讨论
x
设 y  x e Qm ( x ) ,
k
 0  不是根

k   1  是单根 ,
 2  是重根

注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性
微分方程（k是重根次数）.
特别地 y  py  qy  Ae
A

x
e
,
  2  p  q

A

x
y 
xe
 2  p
A 2 x

x e

2
x
 不是特征方程的根
 是特征方程的单根
 是特征方程的重根
,
例1 求方程 y  3 y  2 y  xe 2 x 的通解.
解
特征方程 r  3 r  2  0 ,
2
特征根
r1  1，r2  2，
对应齐次方程通解 Y  C 1 e x  C 2 e 2 x ,
   2 是单根， 设 y  x ( Ax  B )e
代入方程, 得 2 Ax  B  2 A  x
1
于是 y  x( x  1)e
2
2x
原方程通解为 y  C1e  C 2e
x
2x
2x
,
1

A 

2 ,
 B   1
1
 x ( x  1)e
2
2x
.
 y   3 y   2 y   1

 y (0)  y (0)  y (0)  0
例2. 求解定解问题
解: 本题 
 0,
特征方程为
故对应齐次方程通解为 Y
其根为
 C1  C2 e
设非齐次方程特解为
由初始条件得
x
 C3e
 C3 e
代入方程得
原方程通解为
y  C1  C2 e
x
2 x
 C2  2C3   12
2 x
故
 C1   3
4

C 2  1
C   1
 3
4
解得
于是所求解为
y
3
4
e
x

1
4
e
2 x

1
2
x
二、f ( x )  e [ Pl ( x ) cos x  Pn ( x ) sin x ] 型
x
x
f ( x )  e [ Pl cos  x  Pn sin  x ] 利用欧拉公式
i x
 e [ Pl
e
Pl
Pn
x
 (
2

e
 i x
 Pn
2
2i
 P ( x )e
)e
(   i ) x
(   i ) x
(
Pl
2
 P ( x )e
设 y  py  qy  P ( x )e
(   i ) x
e
i x
e
]
2i

Pn
2i
)e
(   i ) x
,
 i x
(   i ) x
,
y1  x Q m e
k
(   i ) x
,
设 y  py  qy  P ( x )e
 y  x e
k
 x e
k
x
x
[Q m e
i x
(   i ) x
 Qme
 i x
y2  x Qm e
k
,
(   i ) x
,
]
[ R m ( x ) cos  x  R m ( x ) sin  x ],
(1 )
(2)
(1 )
(2)
其中 R m ( x ), R m ( x )是 m 次多项式， m  max l , n 
0
k  
1
  i  不是根
  i  是单根
,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例3 求方程 y  y  4 sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y  C 1 cos x  C 2 sin x ,
作辅助方程
   i 是单根 ,
代入上式
 y   2 ixe
*
y  y  4e
故 y  Axe
*
2 Ai  4 ,
ix
ix
ix
,
,
 A  2i,
 2 x sin x  ( 2 x cos x ) i ,
所求非齐方程特解为 y   2 x cos x , （取虚部）
原方程通解为 y  C 1 cos x  C 2 sin x  2 x cos x .
例4 求方程 y  y  x cos 2 x 的通解.
解
对应齐方通解 Y  C 1 cos x  C 2 sin x ,
作辅助方程 y  y  xe 2ix ,
   2 i 不是特征方程的根
设 y  ( Ax  B ) e
*
2 ix
代入辅助方程
,
1
 4 Ai  3 B  0

 3 A  1
 y  (
*
1
3
x
4
9
,
4
 A   ， B   i,
3
9
i )e
2 ix
,
 (
1
 
1
3
3
x
4
9
i )(cos 2 x  i sin 2 x )
x cos 2 x 
4
4
sin 2 x  ( cos 2 x  x sin 2 x ) i ,
9
9
3
所求非齐方程特解为
原方程通解为
1
y 
1
3
x cos 2 x 
y  C 1 cos x  C 2 sin x 
注意 Ae x cosx , Ae x sin x
分别是 Ae
(   i ) x
的实部和虚部.
4
9
sin 2 x ,
（取实部）
1
3
x cos 2 x 
4
9
sin 2 x .
例5.
的通解.
解: 特征方程为 r 2  9  0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos 3x  6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y*  x ( 5 cos 3x  3 sin 3x )
所求通解为
 x ( 5 cos 3x  3 sin 3x )
例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y
( 4)
 y   x  e  3 sin x
x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
 x ( d cos x  k sin x )
三、小结
(待定系数法)
x
( 1 ) f ( x )  e Pm ( x ), (  可以是复数）
x
y  x e Qm ( x );
k
x
( 2 ) f ( x )  e [ Pl ( x ) cos  x  Pn ( x ) sin  x ],
y  x e [ Rm ( x ) cos x  Rm ( x ) sin x ];
k
x
(1)
( 2)
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取
特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y*  x  (a x  b) cos x  (cx  d )sin x 
时可设特解为
y*  (a x  b) cos 2 x  (c x  d ) sin 2 x  k e 2 x
提示:
~
[ Rm ( x) cos  x  Rm ( x) sin  x]
x
2. 求微分方程 y   4 y   4 y  e
的通解 (其中 
为实数 ) .
解: 特征方程 r 2  4 r  4  0 , 特征根: r1  r2  2
对应齐次方程通解:
  2 时, 令 y   A e x , 代入原方程得 A 
1
(  2 )
故原方程通解为
1
  2 时, 令 y   B x 2 e x , 代入原方程得 B  2 ,
故原方程通解为
2
,
x



有特解
y

a
y

b
y

c
e
3. 已知二阶常微分方程
ye
x
(1  x e
2x
) , 求微分方程的通解 .
解: 将特解代入方程得恒等式
(1  a  b) e
比较系数得
x
x
x
 (2  a ) e  (1  a  b) x e  c e
a0
b  1
c2
1 a  b  0
2a c
1 a  b  0
故原方程为
ye
x
对应齐次方程通解: Y  C 1 e  C 2 e
原方程通解为
x
x
y  C1 e  C 2 e
x
x
 xe
x
x
 xe
x
思考题
写出微分方程 y   4 y   4 y  6 x 2  8 e 2 x
的待定特解的形式.
思考题解答
2
设 y   4 y   4 y  6 x 的特解为 y
*
1
设 y   4 y   4 y  8 e
2x
的特解为 y 2
*
*
*
则所求特解为 y  y 1  y 2*
 r  4r  4  0
2
 特征根 r1 , 2  2
 y  Ax  Bx  C
*
1
2
y  Dx e （重根）
*
2
2
2x
y  y  y  Ax  Bx  C  Dx e
*
*
1
*
2
2
2
2x
.
练 习 题
一 、求 下列 微分 方程 的通解 :
2
x
1 、 y   a y  e ；
2 、 y   3 y   2 y  3 xe
3 、 y   4 y  x cos x ；
4 、 y   y  sin
2
x
；
x.
二 、求 下列 各微 分方 程满足 已给 初始 条件的 特解 :
1 、 y   4 y   5 , y x  0  1 , y x  0  0 ；
2 、 y   2 y   y  xe
3 、 y   4 y 
1
2
x
e , y
x
( x  cos 2 x ) , y
x 1
x0
 1 , y x  1  1 ；
 0 , y x  0  0 .
三 、 在 R , L , C 含源 串 联 电 路 中 , 电 动 势为 E 的 电 源 对
电 容器 C 充电 .已 知 E  20 伏 , C  0 . 2 微法 ,
L  0 . 1 亨 , R  1000 欧 ,试 求 合 上 开 关 K 后 的 电
流 i ( t ) 及 电压 u c ( t ) .
四 、 设 函数  ( x ) 连 续 , 且 满 足
 (x)  e
x


x
0
求  ( x ).
x
t  ( t ) dt  x   ( t ) dt ,
0
练习题答案
一 、 1 、 y  C 1 cos ax  C 2 sin ax 
2、 y 
3、 y 
4、 y 
二 、 1、 y 
2、 y 
3、 y 
e
x
；
1 a
x
2x
x 3
2
C 1e  C 2e
 e ( x  3 x)；
2
1
2
C 1 cos 2 x  C 2 sin 2 x  x cos x  sin x ；
3
9
1
1
x
x
C 1e  C 2e 
cos 2 x  .
10
2
1
5
4x
( 11  5 e )  x ；
16
4
3
2
2 1
1 1
x
x
x
x
x
[   (  ) x ]e 
e 
e ；
e 6
2 e
6
2
1
1

sin 2 x  x ( 1  sin 2 x ) .
16
8
2
三 、 i ( t )  4  10
2
3
e
 5  10 t
u c ( t )  20  20 e
四、 ( x) 
1
2
sin( 5  10 t ) (安 ),
3
3
 5  10 t
[cos( 5  10 t )  sin( 5  10 t ] (伏 ).
3
(cos x  sin x  e ) .
x
3