Transcript 使用经验

复习
分部积分公式
1. 使用原则 :
 u dv  uv   v du
v 易求出,  uv dx 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 v 
3. 以下积分类型用分部积分法：
m ax
x
 e dx,
m
x
 sin axdx,
m
x
 arctan xdx,
ax
e
 sin bxdx,
m
x
 cos axdx.
m
x
 ln xdx.
ax
e
 cos bxdx.
4. 题目类型 : 分部化简 ;
循环解出; 递推公式
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递
推公式 .
第四节
有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
一、 有理函数的积分
有理函数
n1
a0 x  a1 x 
P( x)
R( x ) 

Q( x )
b0 x m  b1 x m 1 
n
 an
 bm
m  n 时, R( x ) 为假分式; m  n 时, R( x ) 为真分式
有理函数
综合
除法
多项式+ 真分 式
分解
若干部分分式之和
定理
P( x)
, 若
设有真分式
Q( x )
m
Q ( x )  b0  ( x  ai )
i 1
i
n
i
2
(
x

p
x

q
)
,

i
i
i 1
pi 2  4qi  0.
则真分式可以分解成部分分式之和
m
Aj
 i
P( x)
 b0   
j

Q( x )
i 1
 j 1  x  ai 



Bj x  C j
 i

 2
i 1  j 1 x  p x  q
i
i

n

其中 b0 ,  i ,  i , ai , pi , qi , Aj , Bj , C j 均为常数.

j




2x2  x  1
( x  1)( x  3) 2 ( x 2  x  3)( x 2  2 x  5) 3
A1
A3
Bx  C
A2



 2
2
x  1 x  3 ( x  3)
x  x3
B1 x  C1
B2 x  C2
B3 x  C3
 2
 2
 2
2
( x  2 x  5) 3
x  2 x  5 ( x  2 x  5)
这里有11个待定的常数，将方程右端通分，消去两
端分母，比较方程两边 x 的同次幂的系数，可解得
待定常数. 有时对某些具体问题，可综合使用以 x
的特殊值代入的方法，以简化计算.
x
例1. 把 3
分解成部分分式之和
x 1
A
Bx  C
x
x


 2
解 3
2
x  1 ( x  1)( x  x  1)
x 1 x  x 1
右端通分，约去共同的分母，得恒等式
x  ( Bx  C )( x  1)  A( x 2  x  1)
1
2
令x  1, 得 1  A(1  1  1), A 
3
令x  0, 得 0  C  A，C  A
对比 x 2 项的系数得： 0  B  A, B   A
x
1 1
x 1 
 
 2

3
x  1 3 x  1 x  x  1
将分式分解成部分分式之和时应注意
分解后的部分分式必须是最简分式.
x3
例2. 把 2
分解成部分分式之和
x  5x  6
x3
A
B
x3



2
x  5 x  6 ( x  2)( x  3) x  2 x  3
用赋值法
A( x  3)  B( x  2)  x  3
令x  2, 得
A  5
令x  3, 得
B6
1
例3. 把
分解成部分分式之和
2
x ( x  1)
1
A
B
C


2 
x ( x  1)
x x  1 ( x  1) 2
用赋值法
A( x  1) 2  Bx( x  1)  Cx  1
令x  0, 得
A1
令x  1, 得
C 1
令x  2, 得
A  2 B  2C  1  B  1
或比较 x 2 的系数得
A  B  0  B  1
1
例4. 把
分解成部分分式之和
2
(1  2 x )(1  x )
A
Bx  C
1


2
1  2x 1  x2
(1  2 x )(1  x )
用赋值法 A(1  x 2 )  ( Bx  C )(1  2 x )  1
1
4
令 x  ,得 A
2
5
令x  0, 得 A  C  1
2
令x  1, 得 2 A  3( B  C )  1  B  
5
2
2
或比较 x 的系数得 A  2 B  0  B  
5
四种典型部分分式的积分:
A
1. 
dx
xa
A
2. 
dx
n
( x  a)
( n  1)
Ax  B
3.  2
dx
x  px  q
Ax  B
4.  2
dx
n
( x  px  q )
( p2  4q  0 , n  1)
x 1
例5. 求  2
dx .
x  x 1

x 1
dx  
2
x  x 1
1
3
2
d(x  x  1)  dx
2
2
x2  x  1
1 d(x 2  x  1) 3
1
 
  2
dx
2
2
x  x 1
2 x  x 1

1
1
1
dx  
d(x  )
2
2
2
2
x  x 1
1  3 

 x  2    2 
1


x
2
2 C

arctan
3
3
2
( x  1)dx  Ad( x 2  x  1)  Bdx
( x  1)dx  A(2 x  1)dx  Bdx  [2 Ax  ( A  B)]dx
1
A ,
2
3
B
2
简单形式： x  1  A(2 x  1)  B
1 d(x 2  x  1) 1
2

ln
|
x
 x  1 | C
2

2
x  x 1
2
x2
例6. 求  2
dx .
x  2x  3
1
x  2  A(2 x  2)  B  A  , B  3
2
1 d(x 2  2 x  3)
3
 2
dx
原式   2
2 x  2x  3
x  2x  3
3
1
 x 2  2 x  3dx  3 ( x  1)2  ( 2) 2 dx
3
x 1

arctan
C
2
2
x3
例7. 求  2
dx .
2
( x  2 x  3)
x  3  A(2 x  2)  B
1
 A , B2
2
1 d( x 2  2 x  3)
2
 2
dx
原式   2
2
2
2 ( x  2 x  3)
( x  2 x  3)
1
1
dx
 2
 2
2
2
2
2 x  2x  3
 ( x  1)  ( 2) 


对第二项积分，利用§3.例10 的递推公式求积分.
dx
1 
x

I n1   2

  2n  1  I n  .
2 n1
2 
2
2 n
(x  a )
2na  ( x  a )

dx
 ( x  1)

2
 2
2

1 
x 1
dx


2

2  2  ( x  1)  2
( x  1) 2  2 
1
x 1
1
x 1


arctan
 C1 .
2
4 ( x  1)  2 4 2
2
于是，有
1
x 1
1
x 1
1
1
原式   2


arctan
 C1
2
2 x  2x  3 2 x  2x  3 2 2
2
x
1
x 1


arctan
 C.
2
2( x  2 x  3) 2 2
2
4
3
2
x

x
 x 1
例8. 求
dx .
3

x 1
解：被积函数为假分式，用多项式的综合除法
2 x4  x 3  x  1
x
 2x  1  3
3
x 1
x 1
x
x
A
Bx  C


 2
3
2
x  1 ( x  1)( x  x  1)
x 1 x  x 1
1 1
1 x 1


3 x  1 3 x2  x  1
2x2  x3  x  1
1 1
1 x 1 

dx    2 x  1 

 dx
3
2

x 1
3 x  1 3 x  x  1

1
1
x 1
 x  x  ln x  1   2
dx
3
3 x  x 1
2

x 1
1 d(x 2  x  1)
3
1
dx   2
dx   2
dx
2
x  x 1
2
x  x 1
2 x  x 1
1
2x  1
2
 ln x  x  1  3 arctan
C
2
3
x3  2x2  1
dx .
例9. 求 
2
( x  1)( x  2)( x  3)
x3  2x2  1
A
B
C
D




2
( x  1)( x  2)( x  3)
x  1 x  2 x  3 ( x  3) 2
x 3  2 x 2  1  A( x  2)( x  3) 2  B( x  1)( x  3) 2
 C ( x  1)( x  2)( x  3)  D( x  1)( x  2)
@ x  1,  4 A  4  A  1
@ x  2, B  17
@ x  3, 2 D  46  D  23
比较 x 3 的系数得 1  A  B  C  C  15
x3  2x2  1
A
B
C
D




2
( x  1)( x  2)( x  3)
x  1 x  2 x  3 ( x  3) 2
A  1, B  17, C  15, D=23
x3  2x2  1
 ( x  1)( x  2)( x  3)2 dx
dx
dx
dx
dx
 
 17 
 15 
 23
x 1
x2
x3
( x  3) 2
23
  ln x  1  17 ln x  2  15ln x  3 
 C.
x3
例10. 求

1
x
3
x
2
1 e  e  e
x
6
dx .
6
dx  dt ,
指数代换
t
1
6
dx  
 dt
3
2
1 t  t  t t
解： 令 t 6  e x  x  6ln t ,

1
x
2
x
3
1 e  e  e
x
6
1
3
3t  3 
6
 6
dt    

dt
2
2 
t (1  t )(1  t )
 t 1 t 1 t 
3 d(1  t 2 )
1
 3
dt
 6ln t  3ln(1  t )  
2
2
2 1 t
1 t
x
6
x
x
3
 x  3ln(1  e )  ln(1  e 3 )  3arctan( e 6 )  C .
2
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构
寻求简便的方法.
x2
dx .
例11. 求  2
2
( x  2 x  2)
解: 原式  
( x 2  2 x  2) (2 x  2)
dx
2
2
( x  2 x  2)
dx
d( x 2  2 x  2)

 2
2
( x  1)  1
( x  2 x  2) 2
1
 arctan( x  1)  2
C
x  2x  2
1
例12. 求  4
dx .
x 1
按常规方法解
第一步
令 x 4  1  ( x 2  ax  b)( x 2  cx  d )
4
2
2
x

1

(
x

2
x

1)(
x
 2 x  1)
比较系数得
1
Ax  B
Cx  D
 2
 2
第二步 令 4
x  1 x  2x  1 x  2x  1
比较系数定 A , B , C , D .
第三步 分项积分 .
1
例12. 求  4
dx .
x 1
2

(
x
 1)
( x  1)
注意本题技巧
解：原式  
d
x
x4  1
1
1
1

2
1
1 1  x2
 
dx   2 x dx
2 x  1
2 x2  1
x2
x2
1)
1)
d(
x

d(
x

1
1
x
x
 
 
2 ( x  1 )2  2 2 ( x  1 )2  2
x
x
2
1
x2  2x  1
x2  1

ln 2
C

arctan
4 2 x  2x  1
2 2
2x
1
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
三角函数有理式由三角函数和常数经过有限次
四则运算构成的函数．一般记为 R(sin x,cos x )
 R(sin x , cos x )dx
令 t  tan x
2
t 的有理函数的积分
万能代换
x
万能代换 t  tan ,
2
x
2sin x
2 tan
2 x
2
2t
2
sin x 
cos


2
2
x
x
2
cos
1

t
1  tan
2
2
x
1  tan
2 x
2 x
cos x  cos  sin
2

2
2
2 x
1  tan
2
1  t2

2
1 t
1 2x
1
dt  sec dx  (1  t 2 )dx ,
2
2
2
2
dt
dx 
2
1 t
2
1  sin x
dx .
例13. 求 
sin x (1  cos x )
x
解: 令 t  tan , 则
2
2t
1
2
1 
1
1

t
2

dt    t  2 
原式  
2 
t
2 t  1 t 2  1 t 2
1

2 
2
1 t  1 t 
1 1 2

  t 2t  ln t   C
2 2

1
x 1
x
2 x
 tan
 tan  ln tan  C
4
2
2 2
2

 dt

三角有理式的计算中应先考虑其它手段, 不得已才
用万能代换.
在三角函数有理式的积分
 R(sin x,cos x )dx 中，
当三角函数有理式 R(sin x,cos x ) 具有某种对称性时，
用下述变换往往较简便：
R(  sin x,cos x )   R(sin x,cos x ),
令 cos x  t
R(sin x,  cos x )   R(sin x,cos x ),
令 sin x  t
R(  sin x,  cos x )  R(sin x,cos x ),
令 tan x  t
1
dx ( ab  0).
例14. 求 
2
( a sin x  b cos x )
dx
解: 原式  
( a tan x  b)2 cos2 x
令 t  tan x
dt

(a t  b)2
1

C
a( a t  b )
cos x

C
a( a sin x  b cos x )
cos3 x  2cos x
例15. 求 
dx .
2
4
1  sin x  sin x
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t  sin x ,
原式  
(cos2 x  2)cos x dx
(sin 2 x  1) d sin x
 
2
4
1  sin x  sin x
1  sin 2 x  sin4 x
1)
1  12
d(
t

( t  1)dt
t
t


d
t
 


 t2  1  1
 ( t  1) 2  3
1  t2  t4
2
t
t
1
2
t

1
1
cos
x
t

arctan
C 
arctan
C
3
3 sin x
3
3
2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分. 例如:
n
R
(
x
,
ax  b )dx ,

n
R
(
x
,

a x b
)d x ,
c x d
令 t  n ax  b
令t
n
a x b
c x d
n
m
R
(
x
,
ax

b
,
ax  b )dx ,

令 t  p ax  b ,
p 为 m , n 的最小公倍数.
dx
.
例16. 求 
3
1 x  2
解: 令 u 
3
x  2 , 则 x  u  2, dx  3u du
3
2
3u2
( u2  1)  1
原式  
du  3 
du
1 u
1 u
1
 3 ( u  1 
)du  3 1 u 2  u  ln 1  u   C
1 u
2
33

( x  2) 2 3
2
3
3

3ln
1

x  2 C
x2
例17. 求 
dx
.
3
x x
解: 令 x  t 6 , 则 dx  6t 5dt ,
原式  
6 t 5 dt
t3 t2
1
 6 (t  t 1
)dt
1 t
2
 6  1 t 3  1 t 2  t  ln 1  t   C
3
2
 2 x  3 3 x  6 6 x  6 ln( 1  6 x )  C
1
1

x
例18. 求 
dx .
x
x
1 x
解: 令 t 
,
x
1
,
则 x 2
t 1
 2 t dt
dx  2
( t  1) 2
2t
dt
原式   ( t  1)  t  2
2
( t  1)
2
t 1
t2
C
 2  2
dt  2t  ln
t 1
t 1
1 x
 2
 ln 2 x  2 x x  1  1  C
x
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
分解
万能代换
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定
简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算.
最后还需要指出：对于初等函数来说，在其定义
区间内，它的原函数一定存在，但其原函数不一定
都是初等函数，如
e
 x2
sin x
dx , 
dx ,
x
1
 ln x dx ,


1
1  x4
2
sin
x
dx ,

dx ,
1  k 2 sin 2 xdx , (0  k  1).
等等. 其原函数都不是初等函数.
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
2
x
1.  6
dx ( a  0)
6
a x
dx
2.  3
sin x cos x
3
3
1
dx 3
1
x

a
解: 1. 原式   3 2
ln 3
C
3 2 
3
3
3 (a )  ( x )
6a
x a
dx
cos x
sin 2 x  cos2 x
  3 dx
dx  
2. 原式  
3
sin x cos x
sin x
sin x cos x
d tan x
d sin x
1 1


C
 ln tan x 
3
2
tan x
sin x
2 sin x
作
• P218.
业
6, 8, 11, 13, 18, 20, 24
作业提交时间：2012年12月17日上午8:00AM