Transcript 5-2一阶微分方程

西华大学应用数学系朱雯
第二节
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
伯努力微分方程
一、可分离变量的微分方程
g ( y ) dy  f ( x ) dx
例如
dy
dx
可分离变量的微分方程.
4

4
 2 x y 5  y 5 dy  2 x dx ,
2
2
解法 设 函 数 g ( y ) 和 f ( x ) 是 连 续 的 ,
 g( y )dy 

f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y)和 F ( x )是依 次为 g( y)和 f ( x ) 的原 函
数 , G( y )  F ( x )  C
为微分方程的解.
dy
例1 求解微分方程
dx
解
分离变量
dy
y
两端积分

 2 xy 的通解.
 2 xdx ,
dy
y

 2 xdx ,
ln y  x  C 1
2
2
 y  Ce 为所求通解.
x
二、齐次方程
1.定义 形如
dy
y
 f ( ) 的微分方程称为齐次方程.
dx
x
y
2.解法 作变量代换 u  , 即 y  xu ,
x
dy
du

 u x
,
dx
dx
du
u x
 f ( u ),
代入原式
dx
即
du
dx

f (u)  u
x
.
可分离变量的方程
当 f ( u )  u  0时 , 得
即
x  Ce
将 u
y
x
(u)
,
代入 ,

du
f (u)  u
（  (u) 

 ln C 1 x ,
du
f (u)  u
得通解 x  Ce
(
y
x
）
)
,
当  u 0 , 使 f ( u 0 )  u 0  0 , 则 u  u 0 是新方程的解
代回原方程
, 得齐次方程的解
y  u0 x .
,
例 5 求解微分方程
y
y
( x  y cos )dx  x cos dy  0.
x
x
解
令u 
y
x
， 则 dy  xdu  udx ，
( x  ux cos u ) dx  x cos u ( udx  xdu )  0 ,
cos udu  
dx
x
,
微分方程的解为 sin
sin u   ln x  C ,
y
x
  ln x  C .
例 6 求解微分方程
dx
x  xy  y
2
2

dy
2 y  xy
2
2
解
dy
dx
2 y  xy
2

x  xy  y
令u 
2
y
x
,
2

y
 y
2  
x
 x
 y
1   
x  x
y
则 dy  xdu  udx ,
2u  u
2
u  xu 
1 u u
2
,
2
,
.
1
1
1
2
1
dx
[ (
 )

]du 
,
2 u2 u
u2 u1
x
ln( u  1 ) 
3
2
u1
u(u  2)
3
2
ln( u  2 ) 
1
2
ln u  ln x  ln C ,
 Cx .
微分方程的解为 ( y  x ) 2  Cy ( y  2 x ) 3 .
利用变量代换求微分方程的解
例7 求
dy
 ( x  y ) 的通解.
2
dx
解 令 x  y  u,
du
dx
1 u
2
dy
dx

du
dx
1
代入原方程
解得 arctan u  x  C ,
代回 u  x  y , 得 arctan( x  y )  x  C ,
原方程的通解为 y  tan( x  C )  x .
例8 求方程 f ( xy ) ydx  g( xy ) xdy  0 通解.
解 令u  xy ,
则 du  xdy  ydx ,
f ( u ) ydx  g ( u ) x 
[ f ( u )  g ( u )]
dx
x

u
x
g ( u)
du  ydx
x
 0,
dx  g ( u ) du  0 ,
u[ f ( u)  g ( u)]
通解为 ln | x |  
du  0,
g(u)
u [ f ( u )  g ( u )]
du  C .
三、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy
 P ( x ) y  Q( x )
dx
当 Q ( x )  0 , 上方程称为齐次的.
当 Q ( x )  0,
例如
dy
dx
上方程称为非齐次的.
 y x ,
2
y y   2 xy  3 ,
dx
dt
2
 x sin t  t , 线性的;
y   cos y  1 ,
非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程
dy
 P ( x ) y  0.
dx
(使用分离变量法)
dy
y
  P ( x ) dx ,

dy
y
   P ( x ) dx ,
ln y    P ( x ) dx  ln C ,
齐次方程的通解为 y  Ce 
 P ( x ) dx
.
2. 线性非齐次方程
dy
dx
 P ( x ) y  Q ( x ).
Q ( x )

 
 P ( x )  dx ,
讨论 
y
 y

Q(x)
dx   P ( x ) dx ,
两边积分 ln y  
y
Q(x)
设 
dx 为 v ( x ),  ln y  v ( x )   P ( x ) dx ,
y
dy
即 ye
v( x)
e
  P ( x ) dx
.
非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C  u ( x )
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x )  原未知函数 y( x ),
作变换
y  u( x )e
y  u( x )e

 P ( x ) dx
  P ( x ) dx
 u( x )[  P ( x )]e

 P ( x ) dx
,
将 y 和 y 代入原方程得
P ( x ) dx

u ( x )e
 Q ( x ),

P ( x ) dx

dx  C ,
积分得 u( x )   Q( x )e
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx
  P ( x ) dx

y  [  Q( x )e
dx  C ]e
 Ce

 P ( x ) dx
对应齐次
方程通解
e

 P ( x ) dx
  Q( x )e
 P ( x ) dx
非齐次方程特解
dx
例9
解
求方程 y 
1
P(x) 
y  e

x
1
,
dx
x
1
x
y
sin x
x
Q(x) 
 sin x


e


x

的通解.
sin x
x
1
x
dx
,

dx  C 


 sin x

ln x
 e
e
dx  C 

x


1
1
  sin xdx  C     cos x  C .

x
x
 ln x
例10 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
3
线 y  f ( x )与 y  x ( x  0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
x
0
x
0
f ( x ) dx 
( x  y) ,
3
2
y  x
y
Q
ydx  x  y ,
3
y  f (x)
两边求导得 y   y  3 x ,
2
解此微分方程
3
P
o
x
x
y  y  3x
2
2  dx

 dx 
ye
C   3 x e dx



 Ce
x
 3 x  6 x  6,
由 y |x0  0,
所求曲线为
2
得 C  6,
y  3(  2e
x
 x  2 x  2 ).
2
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy
dx
 P ( x ) y  Q( x ) y
n
( n  0,1)
当n  0,1时， 方程为线性微分方程.
当n  0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
n
两端除以 y ，得
令z  y
1 n
代入上式
y
dz
dy
n
dx
 (1  n ) y
 y
e

n
dy
 Q ( x ),
,
则
dz
 ( 1  n ) P ( x ) z  ( 1  n ) Q ( x ),
dx
dx
求出通解后，将 z  y
1 n
 P(x) y
1 n
1 n
，
dx
代入即得
 z
 ( 1  n ) P ( x ) dx
(  Q ( x )( 1  n ) e
 ( 1  n ) P ( x ) dx
dx  C ) .
例 11求方程
解 两端除以
令 z
y,
dy
dx

4
x
y x
2
1 dy
y，得
y dx
2
dz
dx

4
x
y 的通解.

4
x
y  x ,
2
z x ,
2
2
x
 即 y  x4 x  C  .
解得 z  x   C  ,


2

2

2
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x
dy
 y  xy
dx
( 2) x
dy
提示:
dy
y 1
dx
y
 y (ln y  ln x)
dx
3
(3) ( y  x ) dx  2 x d y  0
3
(4) 2 y dx  ( y  x) d y  0
(5) ( y ln x  2) y dx  x d y
dy
dx
dy
可分离
变量方程
dx
dy 
x


y
ln
x
1
y
齐次方程
x
y
x
2
dx
2x
2
dx
1
y

dy
2y
dy
2
dx

x
x
y
2
线性方程
线性方程
2
sin x
x
y
2
伯努利
方程
例12
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy  2 xy  xe
1.
解
y   xy 
令z y

x
2
dz
dx
1 ( 1 )
1
2
xe
x
 2 xz  xe
2
y
1
dx
, ze
2
所求通解为 y 2  e  x (
x
;
,
dz
则
 y ,
2
x
2
2

 2y
 2 xdx
2
2
 C ).
dy
dx
[  xe
,
x
2
e
 2 xdx
dx  C ]
2.
解
dz
dx
dy
dx
1


2
x sin ( xy )
令 z  xy , 则
 y  x(
dz
dx
1
2
x sin ( xy )
y
x
;
 y x

y
x
)
dy
dx
,
1
2
sin z
,
分离变量法得 2 z  sin 2 z  4 x  C ,
将 z  xy 代回 ,
所求通解为 2 xy  sin( 2 xy )  4 x  C .
3.
解
dy
dx

1
x y
;
令 x  y  u,
代入原式
du
dx
1
则
1
u
dy
dx

du
dx
 1,
,
分离变量法得 u  ln( u  1 )  x  C ,
将 u  x  y 代回 ,
所求通解为
y  ln( x  y  1 )  C ,
另解 方程变形为
dx
dy
或 x  C 1e  y  1
y
 x  y.
三、小结
1.可分离变量的微分方程
y
2.齐次方程 y   f ( )
x
令 y  xu;
3.线性非齐次方程 令 y  u( x )e 
 P ( x ) dx
4.伯努利方程
令 y
1 n
 z;
;
思考题1
x
方程0
2 y ( t ) 

t  y ( t ) dt  xy ( x )
是否为齐次方程?
2
2
思考题解答
方程两边同时对 x 求导:
2y
x  y  y  xy ,
2
2
2
xy 
x  y  y,
2
2
原方程是齐次方程.
y 
y
 y
1    ,
x
 x
思考题2
求微分方程 y  
cos y
cos y sin 2 y  x sin y
的通解.
思考题3
使其满足下列方程:
求一连续可导函数
令 u  x t
x
提示: f ( x)  sin x   f (u )d u
0
则有
f ( x)  f ( x)  cos x
f (0)  0
利用公式可求出
f ( x) 
1
2
(cos x  sin x  e
x
)
思考题解答
dx
dy


cos y sin 2 y  x sin y
cos y
dx
dy
x e
 sin 2 y  x tan y ,
  tan y   x  sin 2 y ,
ln cos y
 sin 2 y  e
 ln cos y
dy  C

 2 sin y cos y

 cos y  
dy  C   cos y C  2 cos y .
cos y


练 习 题
一、求下列微分方程的通解:
 sin x
1 、 y   y cos x  e
；
2 、 y ln ydx  ( x  ln y ) dy  0 ；
dy
2
 2 y  0.
3、 ( y  6 x )
dx
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
dy
cos x
 y cot x  5 e
, y   4 ；
1、
x
dx
2
2、
dy
dx

2  3x
x
3
2
y 1, y
x 1
 0.
三 、 设 有 一 质 量为 m 的 质 点 作 直 线 运 动 从 速 度 等 于 零
的 时 刻 起 ,有 一 个 与 运 动 方 向 一 致 ,大 小 与 时 间 成 正
比 (比 例 系数为 k 1 )的 力 作 用 于 它 ,此 外 还 受
一 与 速 度 成 正 比 (比 例 系数为 k 2 )的 阻 力 作 用 ,求 质
点运动的速度与时间的函数关系 .
四、求下列伯努利方程的通解:
1、 y  
1
y  2x

1
2
1
y2；
x
3
2 、 xdy  [ y  xy ( 1  ln x )] dx  0 .
五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量
的方程,然后求出通解:
1、
dy

dx
1
x y
 1；
2、 y   y 2  2 (sin x  1 ) y  sin 2 x  2 sin x  cos x  1 ；
3、
dy
dx

1
2
x sin ( xy )

y
.
x
六、 已知微分方程 y   y  g ( x ) ,其中
2 , 0  x  1
,试求一连续函数 y  y ( x ) ,满
g( x)  
0 , x  0
足条件 y ( 0 )  0 ,且在区间[ 0 ,   ) 满足上述方程 .
练习题答案
一 、 1 、 y  ( x  C )e
 sin x
；
2 、 2 x ln y  ln y  C ；
1 2
3
x

Cy

y .
3、
2
cos x
 1；
二 、 1 、 y sin x  5 e
2
1
2、 2 y  x  x e
3
三、 v 
k1
t
3
k1m
2
2
x
(1  e
k2
k
四 、 1 、 xy  x  C ；
2、
x
2
y
2
C 
2
3
2
1
.

k0
m
t
).
x (ln x 
3
2
3
).
五 、 1、 ( x  y )  2 x  C ；
1
2 、 y  1  sin x 
；
xC
3 、 2 xy  sin( 2 xy )  4 x  C .
2
x
 2 (1  e ) , 0  x  1
六 、 y  y( x )  
.
x
 2 ( e  1 )e , x  1