Transcript 一. 隐函数的导数

第四讲
隐函数的导数 对数求导法 高阶导数
由参数方程所确定的函数的导数
大学数学教研室 2015年4月13日12时5分
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一. 隐函数的导数
由第一章知: 显函数 y = ƒ(x), 也可写成
F(x, y) = y –ƒ(x) = 0. 由方程 F(x, y) = 0 确定的隐函
数可能有两种情形:
y 是x 的函数 y = ƒ(x) 或 x
是 y 的函数 x = φ(y); 但并非所有隐函数都可化为
sin y
2 2
一个显函数. 如
ye
 x y  0.
因而有必要研究隐函数的求导方法, 下面通过几个
例子来介绍.
例1.设方程 x2+y2=R2 确定函数 y = y(x), 求
解
得
dy
.
dx
方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)
2 x  2 yy  0 
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x
y   (圆周上点( x, y )的切线斜率).
y
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例2 求下列隐函数的导数
2
2
4
xy

x
y

y
1  0
1、y=xlny
2、
x 3  y 4  sin y  cos5
3、e  x  y  0 4、
xy
解：1、两边同时对x求导：
y ln y
/
y 
yx
2、两边同时对x求导：
y /  1  ln y  x 
1 /
y
y
1 y 2  x  2 y  y /  2xy  x 2 y /  4 y 3 y /  0
2
y
 2 xy
y/  2
x  2 xy  4 y 3
xy
/
/
3、两边同时对x求导： e ( y  xy )  1  y  0
1  ye xy
y  xy
xe  1
/
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4、两边同时对x求导：
3x 2  4 y 3 y /  cos y  y /
2
3
x
y/  3
4 y  cos y
例3 求曲线 y+x-exy=0 在点(0‚ 1)处的切线方程.
解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得
y  1  ( y  xy)e
xy
ye xy  1
y

 0  y 
1  xe xy
x0
y 1
0
则切线方程为 y  1  0  ( x  1) 即 y  1.
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二.下面介绍一个重要的求导方法——取对数求导法.
例4 求下列函数的导数
1、
3、
yx
x
y

x
y
x
x x
y(
)
2、
x 1
( x  5)(x  2)
4、 y  3
2
5
x 3
解：1、两边取对数： ln y  x ln x
两边对x求导:
1 /
y  ln x  1
y
y /  y(ln x  1)  x x (ln x  1)
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x
 x[ln x  ln( x  1)]
2、两边取对数： ln y  x ln
x 1
1 /
1
1
y  ln x  ln(x  1)  x( 
)
y
x x 1
1
1
/
y  y[ln x  ln( x  1)  x( 
)]
x x 1
y/  (
x x
1
1
) [ln x  ln( x  1)  x( 
)]
x 1
x x 1
3、两边取对数：
y / ln x  y 
y ln x  x ln y
1
x
 ln y   y /
x
y
y
ln y 
x
y/ 
x
ln x 
y
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2
ln
y

[ln(
x

5
)

ln(
x

2
)

ln(
x
 3)]
4、两边取对数：
3
5
1 / 1 1
1
1
1
y  (

  2
 2 x)
y
3 x5 x2 5 x 3
1 1
1
1
1
y  y (

  2
 2 x)
3 x5 x2 5 x 3
/
1 ( x  5)( x  2)
1
1
2x
y  3
[


]
2
2
5
3
x  5 x  2 5( x  3)
x 3
/
上述利用对数性质及隐函数求导法则来简化导数计算
的方法, 称为对数求导法. 这种方法适用于幂指函数
和一些连乘连除式子的求导.
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三.由参数方程所确定的函数的导数
确定y是x的函数，
1、若参数方程  x   (t )
 y   (t )
则称此函数关系为由参数方程所确定的函数.
2、设 x   (t )有连续反函数
存在，且
t   1 ( x) ，又 /(t )与 / (t )
 / (t )  0 则，y与x构成复合函数
y   (t )   [ 1 ( x)]
利用反函数和复合函数的求导法则，有
dy
dy dy dt dt  / (t )



 /
dx
dx dt dx
 (t )
dt
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3、举例
例5 已知
 x  arctany

2
y

ln(
1

t
)

2t
dy
dy dt 1  t 2


 2t
dx
1
dx
dt 1  t 2
解：
 x  a cost

 y  b sin t
例6 已知椭圆的参数方程为
t
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dy
求
dx

4
，求椭圆在
相应的点处的切线方程.
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解：当 t   时，椭圆上的相应点M的坐标是：
4

a 2
x0  a cos 
4
2

b 2
y 0  b sin 
4
2
，
曲线在点M的切线斜率为：
dy
(b sin t ) /
b cost
b
| 
|

|




dx t  4 (a cost ) / t  4  a cost t  4
a
代入点斜式方程，即得椭圆在点M处的切线方程：
y
化简后得
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b 2
b
a 2
  (x 
)
2
a
2
bx  ay  2ab  0
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四. 高阶导数
函数 y =ƒ(x) 的导数 f′(x) 仍 是x 的函数. 若
f′(x) 在点 x 处仍可导,则称 f′(x) 在 x 处的导数为函
数 y =ƒ(x) 在 x 处的二阶导数 .记为
y,
f ( x ),
d2 y
d dy

(
),
2
dx
dx dx
同理二阶导数的导数称为三阶导数.
d2 f
.
2
dx
记为
d3 y d3 f
y, f ( x ),
,
.
3
3
dx
dx
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
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( 4)
, f
( 4)
d4 y d4 f
( x ),
,
.
4
4
dx
dx
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定义. 一般地,定义函数y =ƒ(x)的n阶导数为其n–1
阶导数的导数,即
y( n)
n
n
d
y
d
f
 [ y ( n1) ] . 并记为 y ( n ) , f ( n ) ( x ),
,
.
n
n
dx
dx
注1: 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便,记
f ( x )  f (0) ( x )
注2：求高阶导数就是逐阶求导数.
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例7 求下列函数的二阶导数
x
y

e
 3x  2
1、
2、
y  x 2 sin 3x  ln x
 e 3
解：1、 y /
x
y e
//
x
y /  2 x sin 3 x  x 2 cos 3x  3 
2、
1
x
y //  2 sin 3x  6 x cos 3x  6 x cos 3x  9 x 2 sin 3x 
1
x2
1
 2 sin 3x  12 x cos 3x  9 x sin 3x  2
x
2
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例8求
y  xn
解：
y  nx
/
的各阶导数
n 1
y //  n(n  1) x n2
y
…….
( n)
 n!
例9 求y=sinx的n阶导数
解： /


y //   sin x  sin( x  2  )
2
y  cos x  sin( x  1  )
2
y
///

  cos x  sin( x  3  )
2
y
( 4)

 sin x  sin( x  4  )
2
……..
y
(n)
n
 sin( x  n  )  sin( x 
)
2
2
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