Transcript 高级微观数学

高级微观经济
学:数学基础
集合论初步与拓扑学初步
1
中国经济学教育历史的回顾







20世纪20年代中国高等教育的高起点
新中国建立一边倒:学习苏联教政治经济学
20世纪80初,厉以宁,张培刚讲授微观经济学
20世纪80年代邹至庄等教授举办计量经济学讲座
1984年开始在本科高年级讲授初级微观经济学
1992年在本科一年级讲授初级微观经济学
20世纪90年代后期开始或者说21世纪初讲授高级
微观经济学,博弈论等.
2
1
高级微观经济学教材参考数目:
3
微观经济学入门教材



曼昆《经济学原理》上下册，88元。
曼昆为哈佛高才生，天才横溢，属
新古典凯恩斯主义学派，研究范围
偏重宏观经济分析。
萨缪尔森《经济学》(Economics)
斯蒂格利茨《经济学》及系列辅助
教材。斯蒂格利茨在信息经济学成
就甚高，此书可作为前二者的补充，
前二者所涉及经济学内容主要是以
价格理论及边际分析为基础，不包
括不对称信息经济学、不确定性分
析部分。斯蒂格利茨之《经济学》
可填充前二者之空白。
4
高级微观经济学教材

杰弗瑞·A ·杰里 菲里普·瑞尼《高级微观经
济学(Advanced Microeconomic Theory)》
上海财经大学出版社,2003年版;

范里安《高级微观经济学》经济管理出版社。
这是范里安在《微观经济学---现代观点》
的基础上的标准高级教材。平新乔:《微观
经济学18讲》，北京大学出版社,2001年版;

邹薇:《高级微观经济学》武汉大学出版
社,2004年版.
5
数学工具：





中国大学本科考研究生之数学三（高数、线性代数、概率论与数理
统计）为必修之基础课，
其他之数学工具则包括拓扑学初步（凸集、凹集、微分方程稳定
性）、线性规划、非线性规划（不等式约束规划）、泛函分析、最
优控制理论（最大值原理、汉密尔顿函数）离散时间优化规划（不
动点性质、值函数）、时间序列分析、随机变量等等。
蒋中一《数理经济学基本方法》（基础水平）
王则柯:《拓扑学方法和经济学应用》,中国经济出版社,1999年版;
阿罗:《数理经济学手册》经济科学出版社.
6
01
集合论初步
7
数学附录目录

A01.集合的概念和运算(集合论初步)

A01.1 集合的基本概念

A01.2 集合的基本运算

A01.3 集合中元素的计数

A02.二元关系与函数(拓扑学初步)
8
A02: 二元关系与函数

A02.1 集合的笛卡儿积与二元关系

A02.2 关系的运算

A02.3 关系的性质:自反性\反自反性\对称性\反对称性\传递性

A02.4 关系的闭包:闭包定义/闭包的构造方法/闭包的性质

A02.5 等价关系和偏序关系等价关系的定义与实例:

A02.6 函数的定义和性质

A02.7 函数的复合和反函数
9
A01:集合定义与表示
集合论是现代数学的基础，也是经济学的基础。故
学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握：

集合中的一个基本概念
 集合中的两种关系
 集合中的三种特殊集合
 集合中的四种表示方法
 集合中的五种运算
 集合中的21个常用公式
10
(1） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确
定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。
(2）集合中的两个关系
 集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，AB。
 集合与元素间的隶属关系：aA，aA。
(3） 三种特殊的集合
 空集
 全集E
 幂集（A）。
11
（4） 集合的四种表示法：
 枚举法:即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…}
 特性刻划法:即用元素的性质刻划集合。例：{x | p (x)}
 图示法:即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：
 运算法:即用已知集合的运算构造新的集合。例：
S＝A∪ （B∩C）
12
（5）集合的五种运算：




并
交
相对补
对称差


绝对补
AB = { x | xA  xB }
AB = { x | xA  xB }
AB = { x | xA  xB }
AB = (AB)(BA)
= (AB)(AB)
A = EA
例：E={0,1,2,3,4},A= {1,2,3} ,B= {1,4} ,C= {3}
AB= {1,2,3,4}= B A; AB = {1}= B A
AB = {2,3}； BA = {4}； CA = 
AB= {2,3}  {4}= {2,3,4}; AB ={1,2,3,4}- {1} = {2,3,4};
A = {0,4};
 B= {0,2,3}
AB = A   B = {2,3}
13
（6）集合的21个公式：
交换律：
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
结合律：
A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C
A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C
分配律：
A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C）
A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
14
同一律：
A∪＝A
A∩E＝A
零一律：
A∪E＝E
A∩＝
互补律：
A∪～A＝E
A∩～A＝
双补律：
～（～A）＝A
E与 的互补：
～E＝
～＝E
等幂律：
A∪A＝A
A∩A＝A
吸收律：
A∪（A∩B）＝A
A∩（A∪B）＝A
狄·莫根定律：
～（A∪B）＝～A∩～B
～（A∩B）＝～A∪～B
15
有限集与无限集
（1）有限集与无限集的基本概念
 有限集的两个定义
  集合S与Nn 一 一对应
  非无限集即为有限集
 无限集的两个定义
  S与一 一对应函数f：SS使得：f (S)  S
  S存在与其等势的真子集
16
无限集
（3）四个常用的无限集：
 自然数集N
 整数集I
 有理数集Q
 实数集R
（4） 无限集的势
（5） 无限集分类（按势分类）
自然数集
无限集
可列集——基数为0
有理数集
实数集——基数为 
整数集
更大基数的集——（A）
17
幂集、n元有序组与笛卡尔乘积
（7）幂集
 幂集定义：集合A的所有子集所
组成的集合，可记为（A）。
 幂集性质：|A|＝n 则|  (A) |＝2 n
18
（8）n元有序组与笛卡尔乘积
n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两个基
本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。
 基本概念之一：有序偶。例：（a , b）
 基本概念之二： n元有序组。
例：（a1 , a2 ,…an ）
 基本运算：笛卡尔乘积。例：AB
19
定义A1.1
n
R 上的凸集
定义A1.1Rn上的凸集
如果对所有x1S, x2S,我们有
tx1+(1-t)x2S
则S Rn是一个凸集,
对所有 t,0≤t ≤1.


凸集是微观经济理论的每个领域内的基本的构造材
料.
Note:如果对于集合内任意两个点,这两个点的所有
加权平均也是同一个集合的点.x(1)＋(1- ) x(2) = x(2)
＋(x(1)- x(2)) 是连接 x(1)与x(2)的线段 。
凸集
非凸集
非凸集
20
A02: 二元关系与函数
A02.1
 A02.2
 A02.3
 A02.4
 A02.5
 A02.6
 A02.7

集合的笛卡儿积与二元关系
关系的运算
关系的性质
关系的闭包
等价关系和偏序关系
函数的定义和性质
函数的复合和反函数
21
关系研究集合内元素间的关联及集合间元素
关联，主要有
 一个基本概念
 两种表示方法
 三种运算
 九个公式
 五种性质
22
A02.1 集合的笛卡儿积和二元关系

笛卡儿积及其性质

二元关系的定义

二元关系的表示
23
有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组(x1, x2, …, xn) 是一个
有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
(x1, x2, …, xn) =((x1, x2, …, xn-1), xn)
实例 ：空间直角坐标系中的坐标 (3，5，－6)
n 维向量是有序 n元组.
当 n=1时, (x) 形式上可以看成有序 1 元组.
24
笛卡儿积
定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素，
B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样
的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积
记作AB， 即 AB ={(x,y) | xA  yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}
AB ={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),
(3,a),(3,b),(3,c)}
BA ={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2),
(a,3),(b,3),(c,3)}
A={}, P(A)A={(,),({},)}
25
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一：
（1）集合非空, 且它的元素都是有序对
（2）集合是空集
则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
如(x,y)∈R, 可记作 xRy；如果(x,y)R, 则记作x y
实例：R={(1,2),(a,b)}, S={(1,2),a,b}.
R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系
根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
26
A02.2 关系的五种性质

自反性

反自反性

对称性

反对称性

传递性
27
自反性
定义 设R为A上的关系,
(1) 若x(x∈A→(x,x)R), 则称R在A上是自反的.
实例：
自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA
小于等于关系LA, 整除关系DA
对称性
定义 设R为A上的关系,
(1) 若xy(x,y∈A∧(x,y)∈R→(y,x)∈R), 则称R
为A上对称的关系.
（关系矩阵为对称矩阵；如果两顶点之间有边，一定是
一对方向相反的边）
28
传递性
定义 设R为A上的关系, 若
xyz(x,y,z∈A∧(x,y)∈R∧(y,z)∈R→(x,z)∈R),
则称R是A上的传递关系.
29
A02.3 函数的定义与性质
函数是一种特殊的关系，它在数学中具有
普遍重要价值，函数主要内容有：
 一个基本概念
 两种基本运算
 三种性质函数
 四种常用函数
30
（1）一个基本概念——函数的基本概念
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任
一元素x能与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对
应关系f叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射。x所对应
的y内的元素y叫x的像，而x则叫y的像源。上述函数我
们可以表示成f：XY；或写成XY；以及y＝f（x）。
31
（2）三种不同性质函数：

满射与内射:函数f使得Y中的每个
元素均有X中的元素与之对应，这种
函数叫做从X到Y上的函数，否则叫
做从X到Y内的函数。

一对一与多对一:函数g使得不但X
中的每一个元素xi唯一对应一个Y中
的一个元素yj，而且也只有一个xi
对应yj，也就是说一个像只有一个
像源与之对应，这种函数叫做一对
一的函数，否则叫做多对一的函数。

一一对应（双射）:函数h使得X与Y
间建立了—一对应的关系，这种函
数叫X与了间—一对应的函数。
X
x1
x2
x3
x4
X
x1
x2
x3
x4
x5
X
x1
x2
x3
x4
g
f
h
Y
y1
y2
y3
y4
Y
y1
y2
y3
y4
Y
y1
y2
y3
y4
32
复合函数、反函数、多元函数
（3）两种运算：
 复合运算（复合函数）设函数f：
XY，g：YZ则复合函数h＝gf：
XZ是一个新的函数。
Y
定义：设函数f：XY，g：YZ，
y1
y2
它们所组成的复合函数或叫复合

映射gf，也是一个函数h：XZ，
即：
X
h＝g f：{(x , z)|xX , zZ且
至少存在一个yY，有y=f（x），
z＝g（y）}．
g
f
x1
x2
x3
Z
h
z1
z2
33
 逆运算（反函数）
定义：设f：XY是—一对应的函数，
则f所构成的逆关系叫f的逆映射或叫f的反
函数，记以f—1：Y  X
（4）函数分类：
 一元函数：f (x)
 二元函数：f (x , y)
 多元函数：f (x1, x2 , …xn )
34
（5） 四种常用函数
常值函数：f (x)＝b
 恒等函数：f (a)＝a
 单调递增函数与严格单调递增函数：
 单调递减函数与严格单调递减函数 ：

1 aA’
 特征函数： f (a)＝
0 aA’
35
A.1.3 一点拓扑学
36
Bε(X0)
定义A1.4
（
X0_ε
）
X0+ε
X0
1.以X0为中心,以ε>0(一个实数)
为半径的开球是Rn上的点的子集:
Bε(X0)≡{x Rn|d(X0,x)< ε}

2.以X0为中心,以ε>0为半径的闭
球是Rn上的点的子集:
B*ε(X0)≡{x Rn|d(X0,x)|≤ε}

ε
X00
Bε(X )Rn
ε
Bε(X0)
【
X0_ε
】
X0
X00
Bε(X )Rn
X0+ε
37
定理A1.1
设S和T是Rn上的凸集,那么,S∩T是凸集
(凸集的交集是凸集)
Proof:设S,T是凸集,x1,x2是S∩T任意两点, x1, x2 S∩T
x1 S, x1T
x2 S, x2T
1+(1-t)x2S
z=tx

z=tx1+(1-t)x2T

zS∩T
 S∩T是凸的
38
定义A1.5 Rn上的开集
如果对于所有
 X ∈S,存在一些ε>0,使
得,
Bε(X0) S,那么,S  Rn是
一个开集.
ε
定理:A1.2 Rn上的开集
X0

1.空集Φ是一个开集
2.整个空间Rn是开集
3.开集的并是开集
4.任何有限开集的交是
开集.
X
ε`
Bε(X0)Rn
39
定理A1.3.每个开集是开球的并集.
设S是一个开集,对
于每个x S,选择
一些εx>0 使得Bεx
(X) S,那么:
 S  ∪Bεx (X)





证明: 一方面,x S,对
 εx>0
因为S是开集, x
Bεx (X)
  ∪Bεx (X)
另一方面: x ∪Bεx
(X)   一些S,使得x
 Bεx

(S)  x S
 ∪Bεx (X)  S
40
定义A1.6 Rn上的闭集

如果S的补集Sc是个开集,那么,S是一个闭集.
定理A1.4.




Rn上的闭集
1.空集Φ是一个闭集
2.整个空间Rn是闭集
3.闭集的有限并是闭集
4.闭集的交是闭集
41
定义A1.7 有界集
M
y
y=f(x)
x
D

如果Rn上一个集合
S完全包含在一些
半径ε的球内(或
者为开球或者为闭
球)则称S是有界的.
也就是说,如果对
于一些X∈Rn ,存
在一些ε>0,使
得,S  Bε(x) ,
则称S是有界的.
-M
有界
x2
ε
xX00 ε`
ε
Bε(X0)Rn
ε``
图A1.14 在R 中的有界集
x1
42
定理A1.5 实数子集的上界与下界


1.设S是R内的一个有界开集,并设a与b是S是最大
下界与最小上界(g.l.b 和l.u.b),那么,,aS,并且
bS.
2.设S是R内的一个有界闭集,并设a与b是S是最大
下界与最小上界,那么,,aS,并且b  S.
定义A1.8(海涅—鲍瑞尔)紧集
如果一个集合S是一个有界闭集,S在Rn上则称为紧的.
43
A1.3.1 连续性

如果对于所有的ε>0,使得, 总存在>0,使得d(x,x0)<
蕴涵着d(f(x),f(x0))< ε,那么,函数:f:R→R是在点
x0处连续.如果函数在其定义域每个点上连续,那么,该
函数被称为一个连续函数.
f(X1)
f(X0)+
f(X0)+
f(X0)
f(X0)-
f(X0)
f(X0)-

X0-b


X0
X0+a

X0
X1
44
定义A1.9 (柯西)连续性
设D是Rn的一个子集,并且设
f:D→ Rn .如果对于每个
ε>0,使得, 总存在>0,使得
下列式子成立,那么,f在点x0
处连续.f(B(x0)∩D) 
ε
Bε(f(x0))
f(x0)
如果f在每个点xD上连续,
B
ε
那么,f被称为一个连续函数. ε(f(x0))
柯西连续性考虑的是定义域
内开球的象与值域的象的开
集的关系.也就是说,定义域
内一点的开球(在D内)的象是
点(x0)象的开球的子集则连
续.

连续性可以把定义域的开性
与闭性在象集得到很好的保
护.



(
)

B(x0)


x0
(
)
45
定义A1.10 D中的开集
设D是Rn的一个子集,因此,如果对于每个点
xS,存在ε>0,使得, Bε(x)∩DS,那么,D
的一个子集S在D内是开的.
 设D是Rn的一个子集,D的子集S的补集,即集
合{x DxS}在D内是开的,那么,S在D内是
闭的.

46
定理A1.6 连续性与其逆像




设D是Rn的一个子集,  (1)(2)
如下的条件是等价的  设B是象中的一个开球,>0,使得
1.f:D →Rn是连续的
Bε(f(x))B,
 因为f连续,δ使得,
2.对于Rn内每个开
球,f-1 (B)在D内也是
f(Bδ(x)∩D) Bε(f(x))B.
开的.
因此, Bδ(x)∩D f-1(B).
3.对于Rn内每个开集 因为,x 是任意的,我们得出结论是
S, f-1 (S)在D内是开的. f-1(B)在D内的开的,故(2)成立.
47
(2)(3)

(2)成立,S是Rn中的开集,根据A1.3,
S= ∪iIBi,因此,f-1(S)=f-1(∪iIBi)=
∪iI f-1(Bi)
根据(2), f-1(Bi)在D内是开的, f-1(S)是D内开集
的并集. S是Rn中的开集,f-1(S)也是开集.
48
(3)(1)
(3)存立
设xD,x>0
B(f(x))在Rn中是开的

f-1(B(f(x)))在D中是开的

x f-1(B(f(x)))
 δ>0,使得xBδ(x)∩D f-1(B(f(x)))
 f(B (x)∩D )B(f(x))
δ
 f连续
49
定理A.1.6紧集的连续象还是紧集
设D是Rn的一个子集,并设f:D→Rn是一个连
续函数.如果S D是D内的一个紧集,那么
,其象f (S) Rn在Rn也是紧集.

50
A1.3.2 一些存在性定理
定理A1.10 (威尔斯拉斯)
极值的存在性
设.f:S→R是连续实值映
射—这里S是Rn的一个
非空的紧子集,那么,
存在一个向量x*S与
xS,使得:
f(x)≤f(x)≤f(x*) 对
所有xS.




NOTES
1.存在性定理是保证存
在的定理
2.存在性定理的表件是
充分而非必要,有之必
然,无之未必不然;
3.只说存在,不说在哪
里.
51
证明:定理A1.10 (威尔斯拉斯)极值的存在性


由于f是连续性的并且S是紧的,由定理可知:f(S)是一个
紧集.由于f是一个实值函数, f(S)R.由于f(S)是紧的,
那么,它也是闭的且有界.根据A1.5,任何有界闭集的实
数子集包含它的最大下界(g.l.b),即a;有界最小上界,
即b.依据象集的定义,总存在一些x*S,使得
f(x*)=bf(S),及一些xS,使得: f(x)=af(S).结合
最大下界和最小上界的定义,对于所有xS,我们有:
f(x)≤f(x)与 f(x) ≤ f(x*).
52
f(x)
f(x)
f
f(x*)
f(S)
f(S)
X
1
x
X*
2
X
1
x
S
2
S
a.一个极小极大值保证的存在
b.没有一个极小极大值保证的存在
图A1.18 威尔斯拉斯定理
53
定理A1.11:布劳威不动点定理

设S  Rn是一个
非空的紧且凸的
集合,设 f:S →S是
一个连续映射.那
么,在S中至少存
在一个点x*S.使
得:
f(x*) = x*.
f(x)
1
f(x*)
0
x*
x
1
布劳威的不动点定理
54
证明:

一般性的证明要借助拓扑学的知识,我们仅考虑一个实线
性映射的证明.把布劳威定理简化成一个实分析的“中值
定理”
设SR是紧而凸的.由于R的任何紧的,有界的,并且凸的子集
必定是一个闭区间.可以设为[a,b]可以设f:[a,b][a,b]是
任何由集合[a,b]向自身的连续的映射.
由于f:[a,b][a,b],我们知道对x[a,b],我们也会有
f(x)[a,b],考虑在区间的每个终点上的f的值,任何由集
合[a,b]向自身的连续的映射.
对x[a,b],a≤f(x)≤b,我们必有
a ≤f(a),b≥f(b)
(P.1)
55
构造函数g:g(x)=x-f(x)
(P.2)
g的定义域也是[a,b],也是连续函数
考虑g的取值:g(a)=a-f(a)≤0 g(b)=b-f(b)≥0
如果有一个等式成立,证明结束.
设g(a)<0,g(b)>0,由于g(a)<0,至少存在c>a,使得对任意的
x[a,c), g(a)<0,由于g(b)>0,c<b.
取最大的c*,使
g(x)<0,
x[a,c*)
(P.3)
我们分析g(c*)的取值.如果g(c*)>0,设=g(c*)>0,根据g的
连续性,δ>0,使得
x(c*－δ,c*]Bδ(c*) g(x)(0,2g(c*))= B(g(c*))
这与(P.3)矛盾.
如果g(c*)<0,设=-g(c*)>0,根据g的连续性,δ>0,使得
x[c*,c*+δ]Bδ(c*) g(x)(2g(c*),0).
56
这与c*的定义矛盾(定义是:g(c*)<0.所以, g(c*)=0.
f(x)
f(x)
b
S
f(x*)
a
0
a
x*
b
x
S
布劳威的不动点定理
57
A1.4实值函数
在微观经济理论中实值函数经常遇到:消费
者效用函数,厂商生产函数,以及厂商成本理
论等等.
 定义A.1.16 实值函数


如果D是任何集合,并且RR,那么,f:D→R
是一个实值函数.
58
A.1.4.1 相关集合
函数是两个集合之间的一种特殊关系,它的
图象是一个相关集合,为我们提供思考函数
的直觉的方式.
 相关集合中的一些具有特别简单的集合表
达式时常给我们提供一种说明与思考函数
本身的一些等价且简明的工具.
 水平集则是最为重要的.(水平曲线)

59
x2
定义A1.19


当且仅当
L(y0)={x|xD,f(x)=y}
时,这里y0 R  ℝ 那
么, L(y0)是一个实值函
数 f:D→R的水平集.
NOTE:这些集合是函数
的定义域内的集合.
L(y2)
L(y1)
L(y0)={x|xD,f(x)=y}
x1
R2的水平集


NOTES
无差异曲线,等产量线,等利润线等均是实值函数的
水平集水平集可以通过减少一维来思考问题.
一个水平集是把函数定义域中所有元素映射到值域
的同一水平上,水平集是定义域的集合.
60
定义A1.20 相对与某一点的水平集

如果x|xD,f(x)=f(x0)},那么, L(y0)则是一
个相对于x0水平集.
定义A1.21 上优集与下劣集
1.S(y0) ≡{x|xD,f(x)y0}被称为相对于水平y0的上优集
2.I(y0) ≡{x|xD,f(x)≤y0}被称为相对于水平y0的下劣集
3.S(y0) ≡{x|xD,f(x)>y0}被称为相对于水平y0的严格上优
集
4.I(y0) ≡{x|xD,f(x)<y0}被称为相对于水平y0的下劣集
61
定理A1.12 上优集,下劣集与水平集
对于任何f:DR,并且y0R,则有:
1.L(y0)S(y0)
2.L(y0)I(y0)
3.L(y0)= S(y0)∩I(y0)
4.S(y0) S(y0)
5.I(y0) I(y0)
6.S(y0)∩L(y0)=
7.I(y0)∩L(y0)=
8.S(y0)∩I(y0)=
第二次课到此
62
A1.4.2:凹函数

假设A1.1 凸集上的实值函数,每当f:D→R是一个实值函数,
我们将总会假设D R是一个凸集.
定义: 设集合 D  R为凸集，函数 f :DR;若  x1,x2  D,
t  ( 0 , 1 ) ，xt =tx1＋(1- t)x2 均有
f(xt)≥tf(x1)+(1-t)f(x2) ，
则称 f(x) 为凸集D上的凹函数。

若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称 f(x) 为
凸集 D上的严格凹函数。
63
y
f(x)
y1
f(xt)
yt
y2
x
x2
x1
64
定理A1.13 一个凹函数的图象上及
其下方的点总会形成一个凸集


设A={(x,y)|xD,f(x)≥y}是f:D→R的图象上及其下方的
点的集合----在这里,DRn是一个凸集,并且,RRn;则:
f是一个凹函数A是一个凸集
证明:
第一部分:f是凹函数
A={(x,y)|xD,f(x)≥y}是凸集
设f是凹函数  xttx1+(1-t)x2
 f(xt)≥tf(x1)+(1-t) f(x2)
对一切x1,x2
D且t[0,1]
(P.1)
65
任取(x1,y1)A, (x2,y2)A,由A的定义则有

f(x1)≥y1,且 f(x2)≥y2
(P.2)
为证明A是凸的,必须表明:对t [0,1],凸组合
(xt yt) (tx1+(1-t)x2 , ty1+(1-t)y2 )
也属于A.由于D是凸的x1,x2D, xt (tx1+(1-t)x2 D,
我们只需证明f(xt)≥yt
对(P.2)第一个乘t,第二个乘(1-t)相加,
tf(x1)+(1-t)f(x2) ≥ ty1+(1-t)y2
根据(P.1)有: f(xt)≥yt.
 (xt yt) A, A是凸的
66
第二部分:

A是凸集 f是凹函数
选择x1 D, x2 D,设y1=f(x1), y2=f(x2),

f(xi)≥yi. (xt, yt) A
由于A 是凸的 

f(xt)≥yt.
(xt, yt) A
A的定义
f(xt)≥ty1+(1-t)y2.
 f是凹函数
67
A1.4.3 拟凹函数
定义: f :DR是拟凹的,当且仅当对所有x1,x2 ，xt =tx1＋
(1- t)x2 均有 f(xt)≥min[f(x1),f(x2)] t  [0 ,1]
定理A1.14拟凹性与上优集
f :DR是拟凹函数,当且仅当对所有yR,S(y)
是一个凸集.
68
证明:
充分性:f是拟凹的,要证明S(y)是凸集
设y是R内的任何点,S(y)是相对于y的上优集.
x1,x2是S(y)内的任意两点.
x1 S(y),x2  S(y),
f(x1)≥y, f(x2)≥y
(P.1)
 f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]≥y
第一个不等式是拟凹函数定义,
第二个不等式是由(P.1)推出

f(xt)≥y, xt  S(y), S(y)是凸的
69
S(y0) ≡{x|xD,f(x)y0}被称为相对于水平y0的上优集
必要性证明: 设S(y)是凸集,拟证f是拟凹的
x1,x2 是D内任意两点,可以假设
f(x1)≥f(x2)
(P.3)
根据
(P.3)
设yR,S(y)是凸集,S(f(x2))必定是凸集,
x2S(f(x2))(f(x2) f(x2 )=y0)
根据
S(y)
定义
 x1S(f(x2)) ,S(y)是凸集, XtS(y)

f(Xt)≥f(x2)
 f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]
根据
S(y)
定义
 f是拟凹的
70
定理A1.15 凹性蕴涵着拟凹性
一个凹函数总是拟凹性,一个严格凹函数总是
严格拟凹性
71
编号 函数特征
命题
关系
集合特性
1
f是凹的

处于f的图象下方的点集是凸的
2
f是凸的

处于f的图象上方的点集是凸的
3
f是拟凹的

上优集是凸的
4
f是拟凸的

下劣集是凸的
5
f是凹的

f是拟凹的
6
f是凸的

f是拟凸的
7
f是凹的

-f是(严格)凸的
8
f是(严格)凹的

-f是(严格)凹的
72