Transcript 第二章二元关系

离散数学
武夷学院数学与计算机系教授
张廷枋
2
L/O/G/O
第二章
二元关系
2.1 二元关系
一、 序偶和笛卡尔积
1.序偶的定义与相等：
由两个元素 x, y 按照一定的次序组
成的二元组称为一个有序对或序偶，记
作 〈x, y〉。称 x 为它的第一元素，y 为
它的第二元素。
〈x, y〉=〈u, v〉当且仅当 x=u 且 y=v。
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二元关系
2.1 二元关系
一、 序偶和笛卡尔积
1.序偶的定义与相等：
推广：由 n 个元素 a 1 , a 2 ,  a n
按照一定的次序组成的 n 元组称为 n 元
有序组，记作 a 1 , a 2 ,  , a n 。
a1 , a 2 , , a n
当且仅当

b1 , b 2 ,  , b n
a i  b i , i  1, 2 ,  , n
。
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二元关系
2.1 二元关系
一、 序偶和笛卡尔积：
2.笛卡尔积的定义与性质：
定义：设 A, B 是两个集合，称集合
A  B   x, y
( x  A)  ( y  B ) 
为集合 A 和 B 的笛卡尔积（Descartes
product）。
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二元关系
2.1 二元关系
一、 序偶和笛卡尔积：
2.笛卡尔积的定义与性质：
推广：设 A1 , A 2 ,  , A n 是 n 个集合，
称集合
A1  A 2    A n 
为集合
当

a1 , a 2 , , a n
a i  A i , i  1, 2 ,  , n

A1 , A 2 ,  , A n 的笛卡尔积。
A1  A 2    A n  A 时，记
A1  A 2    A n  A 。
n
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二元关系
▲笛卡尔积运算性质：
（1） A    
 A  
（2）一般地不满足交换律：
A  B  B  A (当 A    B    A  B )
（3）一般地不满足结合律：
A 

B   C  A  B  C

当A    B    C  

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二元关系
▲笛卡尔积运算性质：
（4）对并与交运算满足分配律：
①
A  B  C    A  B    A  C 
②
A  B  C    A  B    A  C 
③  B  C   A   B  A   C  A 
④  B  C   A   B  A   C  A 
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二元关系
▲笛卡尔积运算性质：
（5）  A  C    B  D   A  B  C  D
（6）当 A1 , A 2 ,  , A n 都是有限集时
A1  A 2    A n  A1  A 2    A n
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二元关系
二、关系的定义
“关系”这个词使人联想关系的
某些熟悉的例子，例如，父亲对儿子、
兄弟对姐妹等等。在算术中熟悉的一
些例子是两实数间的“大于”，“小
于”或相等的关系。我们也知道园的
面积和它的半径之间的关系。这些例
子都提出两个对象之间的关系。
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二元关系
二、关系的定义
两个对象之间的关系可以利用
把两个对象列成一个有序对来定义。
所有这样的有序对的集合描述一种
特定的关系，其中每一有序对的第
一个成员对第二个成员都有着某一
确定的关系。从而任意有序对的集
合，也就是笛卡尔积的子集定义一
种二元关系。
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二元关系
二、关系的定义
1.关系的定义：
对于集合 A 和 B，A×B 的子
集叫做从 A 到 B 的一个二元关系，
简称关系。当 A=B 时，A×A的任
一子集叫做 A 上的一个二元关系。
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二元关系
二、关系的定义
1.关系的定义：
对于关系 R ，若序偶 x , y  R ，
记为 xRy ，读作“ x 对 y 有关系R ”。
对于关系 R ，若序偶 x , y  R ，
记为 x R y ，读作“ x 对 y 没有关系R ”。
例：
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二元关系
二、关系的定义
2.空关系、全关系和恒等关系：
当 R   时，称为空关系；
当 R  A  B 时，称为全关系；

a  A 时，
当 I A   a, a
称为 A 上的恒等关系。
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二元关系
三、关系的表示法
1.集合表示法：
2.关系图法（对有限集合）：
（1）A≠B
（2）A=B
3.关系矩阵（对有限集合）：
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二元关系
三、关系的表示法
3.关系矩阵（对有限集合）：
设 A= a 1 , a 2 ,  , a n  ,B= b1 , b 2 ,  , b m  ,
R 是从 A 到 B 的一个二元关系，称矩
阵 M  r  为关系 R 的关系矩
阵（又称邻接矩阵）。其中
ri j  1, 当 a i Rb j ，否则 ri j  0 。
当 A=B 时，A 上的二元关系 R 的
关系矩阵 M R 为方阵。
R
i j
n m
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二元关系
2.2关系的运算
一、关系的定义域、值域
设R是二元关系，
（1）R 中所有的有序对的第一元素构
成的集合称为 R 的定义域，记为
domR   x  y  x , y  R  
（2）R 中所有的有序对的第二元素构
成的集合称为 R 的值域，记为
ranR   y  x  x , y  R  
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二元关系
2.2关系的运算
二、关系的交、并、差、补运算
由于关系是以序偶为元素的集合，它
是笛卡尔积的子集，因此关系可以作为集
合进行交、并、差、补等运算。设 R, S
都是集合 A 到 B 的两个关系，则
R  S   x, y x R y   x S y  
R  S 

x, y
x R y   x S y  
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二元关系
2.2关系的运算
二、关系的交、并、差、补运算
R  S   x, y x R y   x S y  
R S 

x, y
x R y   x S y  
R S 

x, y
 xRy    x S y  
R 

x, y
 x R y  
根据定义 A×B 是相对于 R 的全集
（全关系），所以 R  A  B  R ，且
有 R  R  A  B,
R R  。
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二元关系
2.2 关系的运算
三、关系的复合运算
1.关系的复合运算定义：
设 R 是从 A 到 B 的二元关系， S 是从 B
到 C 的二元关系，则 R 与 S 的复合关系 R  S
是从 A 到 C 的二元关系。
R  S   x , z  x  A    z  C    y  y  B    xRy    ySz   
运算 “ ”称为复合运算。（右复合，R 先
作用，S 后作用）
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二元关系
2.2 关系的运算
三、关系的复合运算
1.关系的复合运算定义：
例1.设集合 A  1, 2 ,3 , 4 , B  2 ,3 , 4 , C
求


R1 
x, y
x y 5
R2
y, z
y z 1
R1  R 2
 
 
 1, 2 , 3.
1, 4 , 2 , 3 , 3 , 2
2 ,1 , 3 , 2 , 4 ,3


，并作出关系图。
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二元关系
2.2 关系的运算
三、关系的复合运算
1.关系的复合运算定义：
例2.设集合A  1, 2 ,3 , 4 , R , S , T 都为 A 上
二元关系，
R   1, 2 , 3 , 4 , 2 , 2 , S   4 , 2 , 2 , 4 , 3 ,1 ,
 1, 4 , 2 ,1 , 4 , 2 
计算：（1）R  S 和 S  R 。
（2）  R  S   T 和 R   S
T 
T
。
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二元关系
2.2 关系的运算
三、关系的复合运算
2.复合运算性质：
（1）满足结合律： R  S   T  R   S  T 
（2） I A  R  R  I B  R
其中 I A 和 I B 分别为 A 和 B 上的恒等关系。
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二元关系
2.2 关系的运算
三、关系的复合运算
2.复合运算性质：设 F , G , H 为关系，
（3）复合与并运算的分配律：
① F  G  H   F  G  F  H
② G  H   F  G  F  H  F
（4）复合与交运算不满足分配律，但有：
① F  G  H   F  G  F  H
② G  H   F  G  F  H  F
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二元关系
2.2 关系的运算
四、关系的逆运算
1.逆关系的定义：
设 R 为 A 到 B 的二元关系，则 R
1
的逆关系，记作 R ，为 B 到 A 的二
元关系
R
1


y, x
x, y  R

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2.2 关系的运算
四、关系的逆运算
2.逆运算的性质：
1  1
（1）① R   R
②  1  
1
ranR
③ domR  ranR ,
T
④ MR MR
1
 domR
1
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二元关系
2.2 关系的运算
四、关系的逆运算
2.逆运算的性质：
（2） 设 R , R 1 , R 2 都是从 A 到 B 的二元关系，则
①
②
③
④
⑤
 R1 
1

R2
 R1  R 2 
1
A  B 
1
R 
 R
 R1
 R2 
1
 R1
1
 R1
1
 R2
 R2
1
1
 B A
1
1
这里
 R1
1
R  A B  R
 R2
1
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二元关系
2.2 关系的运算
四、关系的逆运算
2.逆运算的性质：
（3）设 T 是从 X 到 Y 的关系，S 是
从 Y 到Z 的关系，则
T
 S
1
 S
1
T
1
证明：
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二元关系
2.2 关系的运算
五、关系的幂运算
1.关系幂的定义：
设 R 是集合 A 上的二元关系，则
可定义 R 的 n 次幂 R n ，该 R n 也是
A 上的二元关系。
0
R
 I A   x , x x  A ;
（1）
1
（2） R  R
（3） R n  R n 1  R
例：
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二元关系
2.2 关系的运算
五、关系的幂运算
2.关系幂运算的性质：
R 是 A 上的关系， m , n  N
m
n
mn
（1） R  R  R
n
mn
（2） R m
 R
（3）设 A 为 n 元集，则存在自然数 s 和 t
s
t
使
R  R
（4）设 A 为 n 元集，则
 


i 1
n
R 
i

i 1
R
i
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二元关系
作业：P67—P69, 习题二
• 2.1，2.5，2.18，2.21，2.26
• 预习：
第2章 §2.3 关系的性质，
§2.4 关系的闭包。（ P46—P58）
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谢谢！
Thank you!
L/O/G/O