Transcript 离散第28讲闭包及等价关系

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1
二元关系
2
等价关系
3
序关系
《离散数学》第28讲
闭包与等价关系
Page 168 to 174
关系特性闭包
对本不具备某种特性的关系做最“经济”的扩充，使其具有
这种特性。
定义：R是集合A上的二元关系，若R’满足下列条件，则
称R’为R的自反闭包（对称闭包、传递闭包）：
（1）R’自反（对称、传递）
（2）RR’
（3）对任意A上关系S，若S满足（1）（2），则R’  S
R的自反闭包：r(R)
R的对称闭包：s(R)
R的传递闭包：t(R)
第28讲 等价关系
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举例
设A={1, 2, 3, 4}，R是A上的关系
R={<1,2>, <2,3>, <3,4>}
求R的自反、对称、传递闭包
r(R) = { <1,2>, <2,3> , <3,4> , <1,1> , <2,2> , <3,3> , <4,4> }
s(R) = { <1,2> , <2,3> , <3,4> , <2,1> , <3,2> , <4,3> }
t(R) = { <1,2> , <2,3> , <3,4> , <1,3> , <2,4> , <1,4> }
第28讲 等价关系
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关系特性闭包
定理：设R为集合A上的二元关系
r(R) =
s(R) =
EA∪R
R∪R~
a) ∵(R∪R~)~ = R~∪R~ ~ = R~∪R = R∪R~
∴R∪R~对称
b) R  R∪R~
c) 若有S满足以上两个条件，则对任意<x,y>R~，由<y,x>R，
R  S知<y,x>S，又因为S对称，所以<x,y>S。
由此，得R~  S，所以R∪R~  S
综上，s(R) = R∪R~
第28讲 等价关系
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关系特性闭包
定理：设R为集合A上的二元关系

t(R) =
a) R 

i
R

i 1
i
R

i 1

b) 设<x,y>  R ，<y,z>
i

R
i
，则存在正整数i，j，使得
i 1
i
<x,y>R ，<y,z>Rj，所以<x,z> Ri◦ Rj = Ri+j，从而<x,z>

 R i 。所以传递。
i 1
i 1
c) 若有S满足以上两个条件，则只需证明对任一正整数n，均有Rn
 S。设<x,y>Rn，则存在u1，u2，…，un=yA，使得xRu1，
u1Ru2，…，un-1Run。因为R  S，所以xSu1,u1Su2,…,un-1Sun，又

n
因为S传递，所以<x,y>S。R  S得证。从而  R i  S。

综上，t(R) =
R
i 1
i
第28讲 等价关系
i 1
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说明
n
i
R
若R为A上的二元关系，且|A| = n，则t(R) = 
i 1
由闭包的最小性可知R自反（对称、传递）当且
仅当R = r(R) （R = s(R)、R = t(R)）
第28讲 等价关系
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关系特性闭包
定理：设R为集合A上二元关系
若R自反，则s(R)、t(R)均自反
若R对称，则r(R)、t(R)均对称
若R传递，则r(R)传递
∵ R对称
∴ R = R~
∴ r(R) ~ = (EA∪R) ~ = EA~∪R~ = EA∪R= r(R)
∴ r(R)对称
又∵ 对任意自然数n，(Rn) ~ = (R~) n = Rn
∴ Rn对称 
∴ t(R) =  R 对称
i
i 1
第28讲 等价关系
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关系特性闭包
定理：若R为A上的二元关系，那么
rs(R) = sr(R)
rt(R) = tr(R)
st(R)  ts(R)
第28讲 等价关系
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引言
设A是以理工大学所有学生为元素的集合，R是A上的二元关
系，且对任意a，bA，<a,b>R  a和b在同一学员队中
自反性
1、自己和自己总在同一班中，所以
对R中任一元素x，都有<x, x> R
对称性 2、如果<x, y> R，表明x和y在一
个学员队中，那么y和x也在一个学
员队中，得到<y, x> R
传递性 3、如果<x, y> R，x和y在一个学
员队中；且<y, z> R ，y和z也在一
个学员队中，那么x和z也在一个学
员队中，得到<x, z> R
第28讲 等价关系
根据关系R，可将集合
A划分成多个子集：
1、在一个子集中的学
生都在一个学员队中；
2、任一个学生都在且
仅在一个子集中；
3、没有一个学生属于
两个子集；
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等价关系 (equivalent relation)
定义：如果集合A上的关系R满足自反性、对
称性、传递性，则称R为等价关系
设R是整数集上的关系，并对任意整数a，b，aRb当且
仅当a = b或者a = –b
设是26个英文字母的集合，R是*上的二元关系，并
且对任意a，b*，aRb当且仅当l(a) = l(b)，其中l(x)
是串x的长度
整数集合上的“模k相等关系=k”（k为正整数），其中
=k定义为x =k y 当且仅当k | (x–y)
对任意集合A，A上的相等关系EA、全关系AA
第28讲 等价关系
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等价类(equivalent class)
定义： 设R为集合A上的等价关系，对每一aA，
如下定义的[a]R（或简记为[a]）叫做a的等价类，
a称为[a]R的代表元素
[a]R = {x | xA∧xRa}
设R是整数集上的关系，并对任意整数a，b，aRb当
且仅当a = b或者a = –b。一个整数a对应的等价类为
[a]R = {a, –a}
对于模4相等关系，共有4个不同的等价类：
[0] = {…, –12, –8, –4, 0, 4, 8, 12, …}
[1] = {…, –11, –7, –3, 1, 5, 9, 13, …}
[2] = {…, –10, –6, –2, 2, 6, 10, 14, …}
[3] = {…, –9, –5, –1, 3, 7, 11, 15, …}
第28讲 等价关系
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等价类
对任何集合A， EA有|A|个不同的等价类，每个等
价类都是单元素集；
对任何集合A，AA只有一个等价类A；
对每一元素aA，任何A上的等价关系R，[a]R≠
，因为R自反，恒有a[a] R；
同一等价类可以有不同的代表元素，即不同的元
素可能有相同的等价类
第28讲 等价关系
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等价类的性质
定理：设R是集合A上的等价关系，对任意a，bA，
aRb当且仅当[a]R = [b]R
对于模4相等关系，
证明：假设aRb，证明[a]
= [b]。
[0]=[4]=[8]=…
[1]=[5]=[9]=…
假设c[a]，即cRa，因为aRb，
且R传递，所以cRb，即c[b]。
[2]=[6]=[10]=…
所以[a]
 [b]；
[3]=[7]=[11]=…
证明：假设[a] = [b] ，证明
aRb 。
a[a]，即a[b]，所以aRb
假设c[b]，即cRb。因为aRb，
且R对称，所以bRa。又因为R传
递，所以cRa，即c[a]。所以[b]
 [a]。
综上，[a] = [b]。
第28讲 等价关系
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等价类的性质
定理：设R是集合A上的等价关系，对任意a，b
A，或者[a]R=[b]R，或者[a]R∩[b]R＝
证明：设[a]R∩[b]R≠，证明[a] = [b]。
P∨Q ┝┥ ┐P →Q
因为[a]∩[b]≠，所以必存在某个元素c，满足
c[a]，且c[b]，
所以有cRa，cRb。根据R的对称性，有aRc，cRb；
又根据R的传递性，得aRb。
所以得到[a] = [b]
第28讲 等价关系
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等价类的性质
定理：设R是集合A上的等价关系，对任意a，bA，下面三个
命题等价：
（1）aRb
（2）[a] = [b]
（3）[a]∩[b]≠
对于模4相等关系，共有4个不同的等价类：
[0] = {…, –12, –8, –4, 0, 4, 8, 12, …}
[1] = {…, –11, –7, –3, 1, 5, 9, 13, …}
[2] = {…, –10, –6, –2, 2, 6, 10, 14, …}
[3] = {…, –9, –5, –1, 3, 7, 11, 15, …}
第28讲 等价关系
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本讲小结
主要内容
关系特性闭包的概念
关系特性闭包的求取、性质
等价关系的定义：自反、对称、传递
等价类的概念及性质
作业
P184 18(2)(4)、25、30、32
第28讲 等价关系
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