Transcript 第一节二次型及其标准形

5 二次型
§1 二次型及其标准形
投影变换
y
例
2阶方阵
对应
 1 0


0
0


例
P ( x, y )
 x1  x ,

 y1  0.
P1 ( x1 , y1 )
0
x
2阶方阵
 cos 

 sin 
 sin  

cos  
对应
 x  x1 cos   y1 sin  ,

 y  x1 sin   y1 cos  .
y
P ( x, y )
以原点为中心逆时针
旋转 角的旋转变换

0

P1 ( x1 , y1 )
x
一、二次型
 解析几何中，二次曲线的一般形式
ax2 + bxy + cy2 = 0
通过选择适当的的旋转变换
 x  x cos   y sin  ,

 y  x sin   y cos  .
使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ．
定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,
, xn )  a11 x12  a22 x22 
2a12 x1 x2  2a13 x1 x3 
称为二次型．
 ann xn2
 2an 1,n xn 1 xn
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,
, xn )  a11 x12  a22 x22 
 ann xn2
2a12 x1 x2  2a13 x1 x3 
 2an1, n xn1 xn
 a11 x12  a12 x1 x2 
 a1n x1 xn
 a21 x2 x1  a22 x22 
 a2 n x2 xn

 an1 xn x1  an 2 xn x2 

n
a
i , j 1
ij
xi x j
 ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn )  ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 nx)n
12 x
2
 ax212 (xa221x1x1aa2222xx
2 2 aa
2 n2x
2x
n
nx
n)

2
 axnn1(xannx1 1x1aa
x
x


a
x
x


a
x
)
n 2n 2 n 2 2
nnnn n n
 a11 x1  a12 x2   a1n xn 


a
x

a
x


a
x
22 2
2n n 
 ( x1 , x2 , , xn )  21 1




 an1 x1  an 2 x2   ann xn 
对称阵
a1n   x1 
 a11 a12

 
a
a
a
21
22
2 n   x2 

 ( x1 , x2 , , xn )

 

 
ann   xn 
 a n1 a n 2
 xT Ax
f ( x1 , x2 ,
, xn )  ( x1 , x2 ,
对称阵的
二次型
二次型
的矩阵
 a11

a21

, xn )


 a n1
 a11

a21

A


 a n1
a12
a22
an 2
a12
a22
an 2
a1n   x1 
 
a2 n   x2 
 
 
ann   xn 
a1n 

a2 n 


ann 
对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩．
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例1 （1）已知二次型 f  x12  2x22  3x32  4x1x2  6x2 x3 ，
试写出f 的矩阵A，并求f 的秩。
0 1 2 
（2）写出矩阵 B   1 0 1 对应的二次型。


 2 1 0 


解
(1)
a11  1, a22  2, a33  3, a12  a21  2, a13  a31  0, a23  a32  3.
0 
1 2


 A   2 2  3 .
 0  3  3


由于R(A)=3，所以f 的秩为3
 x1 
(2) 令 X   x2  ，由于 X T BX  2x1x2  4x1x3  2x2 x3 ，
x 
 3
所以，B对应的二次型为：
2x1 x2  4x1 x3  2x2 x3
二、线性变换
非退化的
对于二次型，寻找可逆的线性变换
线性变换
 x1  c11 y1  c12 y2   c1n yn ,
 x  c y  c y   c y , 简记为 x = C y ，
 2
21 1
22 2
2n n

于是
f = xTAx

 xn  cn1 y1  cm 2 y2   cnn yn .
= (C y)T A (C y)
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = y12 + … + yp2 − yp+12 − … − yr2
则上式称为二次型的规范形．
说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ，
则称矩阵A 和 B 相似．（P.100定义1）
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足
CTAC = B ，
则称矩阵A 和 B 合同．（P.113定义3）
显然，

BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵．

R(B) = R(A) ．
经过非退化线性变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同
的矩阵CTAC，且二次型的秩不变．
若二次型 f 经过非退化线性变换 x = C y 变为标准形，即
f  x T Ax
 (Cy )T A(Cy )
 yT (C T AC ) y
 k1 y12  k2 y22 
 kn yn2
 k1
  y1 

 
k
y2 
2



 ( y1 , y2 , , yn )

 

 
k n   yn 

问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）．
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT，
则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得
P −1AP = PTAP = L，
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.
（P.105定理3）
定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在
正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值．
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在
可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形．
证明：
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0,
 k1

 1


, i  r,
k2



令 K=
, 其中ki   | li |


 1,
i  r.



kn 

则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为
f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz
 l1 l2

lr
其中 T
K LK  diag 
,
, ,
, 0, , 0 
| lr |
 | l1 | | l2 |

例2：求一个正交变换 x = P y ，把二次型
f = －2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
化为标准形．
 0 1 1 
解：二次型的矩阵 A   1 0 1 

  1
1
 1 1 0  



3
2

根据§4.4例题的结果，有正交阵
 1
P  
3

 1

 3
 2 0 0 


1
使得 P AP  L   0 1 0 
 0 0 1


于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形
f = －2y12 + y22 + y32
1
2
0
1 

6
1 

6
2 

6
 2 0 0 


P 1 AP  L   0 1 0 
 0 0 1


如果要把 f 化为规范形，令
 y1  1 / 2 z1

1/ 2 0 0
y

z
 2
2


y  z
1 0
，即 K   0
2
2

 0

0
1


可得 f 的规范形：f = －z12 + z22 + z32
作 业
P114
P120
1.(3); 3.(2);
3.(1);