Transcript 第一节线性规划的对偶模型,对偶性质

运筹学
Operations Research
Chapter 3 对偶理论
Dual Theory
3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP
3.2 对偶性质
Dual property
3.3 对偶单纯形法
Dual Simplex Method
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.1 线性规划的对偶模型
Dual Model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
【例3.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源
限量及价值系数如下表：
产品
A
B
C
资源限量
Ⅰ
9
8
6
500
Ⅱ
5
4
7
450
Ⅲ
8
3
2
300
Ⅳ
7
6
4
550
100
80
70
资源
单件产品利润
建立总收益最大的数学模型。
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
【解】设x1，x2，x3分别为产品
A，B，C的产量，则线性规划
数学模型为：
max Z  100 x1  80 x 2  70 x3
9 x1  8 x 2  6 x3  500
5 x  4 x  7 x  450
2
3
 1
8 x1  3x 2  2 x3  300
7 x  6 x  4 x  550
2
3
 1
 x1 , x 2, x3  0
产品
A B C
资源
限量
Ⅰ
9 8
6
500
Ⅱ
5 4
7
450
Ⅲ
8 3
2
300
Ⅳ
7 6
4
550
单件产
品利润
100 80
70
资源
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业不考
虑自己生产产品，而将现有的资源标价出售， 问题：决策者
应怎样给定资源一个合理的价格？
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增值价格(售价＝成本
＋增值)，总增值最低可用
min w=500y1+450y2+300y3+550y4
表示。企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9，5，8
和7个单位，利润是100, 企业出售这些数量的资源所得的利润不
能少于100，即
9 y1  5 y 2  8 y3  7 y 4  100
同理，对产品 B 和 C 有
8 y1  4 y2  3 y3  6 y4  80
6 y1  7 y2  2 y3  4 y4  70
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
价格不可能小于零，即有yi≥0(i=1, …,4), 从而企业的资源价格
模型为
min w  500 y1  450 y2  300 y3  550 y4
9 y1  5 y2  8 y3  7 y4  100
8 y  4 y  3 y  6 y  80
 1
2
3
4

6 y1  7 y2  2 y3  4 y4  70
 yi  0, i  1,,4
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划模型是前面生产计
划模型的对偶线性规划模型, 这一问题称为对偶问题。生产计划的
线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
max Z  100 x1  80 x 2  70 x3
注：以上两问题是同一组
9 x1  8 x 2  6 x3  500
5 x  4 x  7 x  450
1
2
3


8 x1  3 x 2  2 x3  300
7 x  6 x  4 x  550
2
3
 1

 x1 , x 2, x3  0
数据参数，只是位置有所
min w  500 y1  450 y2  300 y3  550 y4
9 y1  5 y2  8 y3  7 y4  100
8 y  4 y  3 y  6 y  80
 1
2
3
4

6 y1  7 y2  2 y3  4 y4  70
 yi  0, i  1,,4
不同，所描述的问题实际
上是从两个不同的角度去
描述。原始线性规划问题
考虑的是充分利用现有资
源，以产品数量和单位产
品的利润来决定企业的总
利润，没有考虑资源的价
格，实际上在构成产品的
利润中，不同的资源对利
润的贡献也不同，它是企
业生产过程中一种隐含的
潜在价值，经济学中称为
影子价格。
max Z  (100,80, 70)( x1 , x2 , x3 )T
 9

 5

 8
 7



6
 500 
  x1  

4 7     450 
x2  

3 2     300 
  x3  

6 4
 550 
( x1 , x2, x3 )T  0
8
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
max Z  CX
 AX  b

X  0
min w  ( y1 , y2 , y3 , y4 )(500, 450,300,550)T

9 8 6



( y , y , y , y )  5 4 7   (100,80,70)
 1 2 3 4 
8 3 2




7 6 4



( y1 , y2 , y3 , y4 )  0
min w  Yb
YA  C

Y  0
max Z  CX
 AX  b

X  0
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
min w  Yb
(2.1)
YA  C

Y  0
(2 .2)
线性规划问题(3.2)就是原线性规划问题(3.1)的对偶线性规划问题，
反之，(3.2)的对偶问题就是(3.1)．
原问题与对偶问题有如下关系(假设原问题 (3.1))：
(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对偶变量的个数
(2)原问题的目标函数系数对应于对偶问题的右端项
(3)原问题的右端项对应于对偶问题的目标函数系数
(4)原问题的约束矩阵转置就是对偶问题系数矩阵
(5)原问题求最大，对偶问题是求最小
(6)原问题不等式约束符号为“≤”,对偶问题不等式约束符号为“≥”
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题
max Z  5 x1  2 x2  3x3
4 x1  x2  x3  4

 x1  7 x2  5 x3  1
x , x , x  0
1 2 3
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
max Z  (5, 2,3)( x1 , x2 , x3 )T

 x1 
 4 1 1    4 

  x2    
 1 7 5     1 
 x3 

T

(
x
,
x
,
x
)
0
1 2 3

【解】设Y=(y1，y2 )， 则有
4
min w  Yb  ( y1 , y2 )    4 y1  y2
1 
 4 1 －1
YA  ( y1 , y2 ) 

1
－
7
5


 (4 y1  y2 , y1  7 y2， y1  5 y2 )  (5,  2, 3)
从而对偶问题为
min Z  4 y1  y2
4 y1  y2  5
 y  7 y  2
 1
2

 y1  5 y2  3

 y1  0, y2  0
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z  4 x1  3x2
5 x1  x2  6
7 x  5 x  8
 1
2

 x1  3x2  10
 x1  0, x2  0
【解】该线性规划的对偶问
题是求最小值，有三个变量
且非负, 有两个“ ≥” 约束,
即
min w  6 y1  8 y2  10 y3
5 y1  7 y2  y3  4

 y1  5 y2  3 y3  3
 y  0, i  1,2,3
 i
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ：
定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负；
目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
max Z  CX
 AX  b

X  0
min Z  CX
(2.1)
 AX  b

X  0
(2.2)
注： (1)线性规划规范形式与标准型是两种不同形式，但可以
相互转换。
(2)规范形式的线性规划问题的对偶仍然是规范形式．
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
问题：讨论一般形式的线性规划问题的对偶问题？
方法：先将其转化为规范形式的线性规划问题，然后写出其对
偶问题，适当将其进行化简。(具体过程见书本P40)
原问题(或对偶问题)
对偶问题(或原问题)
目标函数max
目标函数系数(资源限量)
约束条件系数矩阵A(AT)
目标函数min
资源限量(目标函数系数)
约束条件系数矩阵AT(A)
变
量
n个变量
第j个变量≥0
第j 个变量≤0
第j个变量无约束
约
束
n个约束
第j个约束为≥
第j个约束为≤
第j个约束为=
>
m个约束
第i个约束≤
第i个约束≥
第i个约束为=
变
量
m个变量
第i个变量≥0
第i个变量≤0
第i个变量无约束
约
束
3.2 对偶性质
Dual property
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
3.2.1 对偶性质
设原问题是(记为LP)： 对偶问题是(记为DP)：
max Z  CX
min w  Yb
 AX  b

X  0
YA  C

Y  0
这里A是m×n矩阵, X是n×1列向量, Y是1×m行向量。
【性质1】 对称性: 对偶问题的对偶是原问题。
【性质2】 弱对偶性: 设X*、Y*分别为LP(max)与
DP(min)的可行解，则
CX  Y b
*
*
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
( LP(max)) CX  Y b ( DP(min))
*
*
由这个性质可得到下面几个结论：
(1)
(LP) 的任一可行解的目标值是 (DP) 的最优值下
界；(DP)的任一可行解的目标是(LP)的最优值的上界；
(2)
在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且
具有无界解，则另一个问题无可行解；
(3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具
有无界解。
注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可
行解时，另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)
也可能无可行解。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
min z  x1  2 x 2
1

例如： x1  x 2  2 无可行解，而对偶问题
2

 x1  x 2  2
x , x  0
max w  2 y1  2 y 2
 1 2

 y1  y 2  1
 1
 y1  y 2  2
 2
y
,
y

0
1
2

有可行解，由结论(3)知必有无界解。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
【性质3】最优准则定理: 设X*与Y*分别是(LP)与(DP)
的可行解，则X*、Y*是(LP)与(DP)的最优解当且仅当
C X*= Y*b .
【性质4】对偶性：若互为对偶的两个问题其中一个有
最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。
另一结论：若(LP)与(DP)都有可行解，则两者都有最优
解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
【性质5】互补松弛定理: 设X*、Y*分别为 (LP) 与 (DP)
的可行解，XS和YS分别是它们的松弛变量的可行解，则
X*和Y*是最优解当且仅当
YSX*=0 和 Y*XS=0
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题
的最优解的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。
Y * XS = 0 和 YS X * = 0
两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
m
y x
i 1
*
i Si
n
y
j 1
Sj
0
x 0
*
j
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分
量为零，因而有下列关系：
3.2 对偶性质
Dual property
(1)当yi*>0时，xSi
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
 0 , 反之当 xSi  0 , 时yi*=0；
(2) yS j  0时x  0, 反之当x  0时yS j  0
*
j
*
j
利用上述关系，建立对偶问题(或原问题)的约束线性方
程组，方程组的解即为最优解。
max z  3 x1  4 x 2  x3
 x1  2 x 2  x3  10
【例3.5】 已知线性规划 
2 x1  2 x 2  x3  16
 x  0, j  1,2,3
 j
的最优解是 X  (6, 2, 0)T , 求对偶问题的最优解。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
min w  10 y1  16 y 2
 y1  2 y 2  3
2 y  2 y  4
1
2
【解】对偶问题是 

 y1  y 2  1
 y1 , y 2  0
因为x1≠0，x2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束
的松弛变量等于零，即
y  2y  3
1
2

2 y1  2 y2  4
解此线性方程组得y1=1, y2=1, 从而对偶问题的最优解
为Y=(1，1)，最优值w =26。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
min z  2 x1  x 2  2 x3
 x1  x 2  x3＝4
【例3.6】 已知线性规划 
 x1  x 2  x3  6
 x  0, x  0, x 无约束
2
3
 1
的对偶问题的最优解为Y=(0，－2)，求原问题的最优解。
max w  4 y1  6 y2
 y1  y2  2
 y  y  1
2
【解】对偶问题是  1

 y1  y2＝2
 y1无约束，y2  0
3.2 对偶性质
Dual property
因为y2≠0，所以原问题第二个松弛变量
y1=0、y2=2知，松弛变量 yS  0, yS  1,
1
2
则原问题的约束条件为线性方程组：
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
xS =0，由
2
故x2=0，
 x1  x3  4

 x1  x3  6
解方程组得：x 1=－5, x 3=－1, 所以原问题的最优解为
X=(－5，0，－1)T，最优值 Z= －12。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
min Z  x1  x2  x3
 x1  x3  4
【例3.7】 证明该线性规划无最优解：
 x1  x2  2 x3  3
max w  4 y1  3 y 2
 x  0, j  1,2,3
 j
 y1  y 2  1
 y  1
 2

 y1  2 y 2  1
 y1  0, y 2  0
【证】容易看出X=(4，0，0)
是一可行解。对偶问题
1
将三个约束的两端分别相加得 y 2  , 而第二个约束有
2
y2≥1,矛盾，故对偶问题无可行解，因而原问题具有
无界解，即无最优解。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
【性质6】LP(max)的检验数的相反数对应于DP(min)
的一组基本解。 其中第j个决策变量xj的检验数的相
反数对应于(DP)中第j个松弛变量
yS j
的解，第i个
松弛变量 x S i 的检验数的相反数对应于第i个对偶变
量yi 的解。反之，(DP)的检验数(注意：不乘负号)
对应于(LP)的一组基本解。
注：应用性质6 的前提是线性规划为规范形式，而
性质1-5则对所有形式线性规划有效。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
max z  6 x1  2 x2  x3
【例3.8】 线性规划
(1)
(2)
(3)
(4)
2 x1  x2  x3  2

 x1  4 x3  4
x , x , x  0
 1 2 3
用单纯形法求最优解；
写出每步迭代对应对偶问题的基本解；
从最优表中写出对偶问题的最优解；
用公式Y=CBB-1求对偶问题的最优解。
【解】(1) 加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代
如表3-5所示。
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
表3-5
XB
表
（1）
x4
x5
λj
表
（2）
x1
x5
λj
表
（3）
λj
x1
x2
x1
x2
x3
x4
x5
b
[2]
1
－1
0
2
4
1
0
0
1
2→
4
6↑
－2
1
0
0
1
0
－1/2
[1/2]
1
3
1/2
－1/2
0
1
0
1↑
－5
－3
0
1
0
0
1
4
6
0
－1
1
2
0
0
－11
－2
－2
1
3→
最优解X=(4，6，0)T，最优值Z=6×4－2×6=12；
4
6
3.2 对偶性质
Dual property
(2)
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
设对偶变量为y1、y2, 松弛变量为y3、y4、y5 ,
Y=(y1 、y2 、y3 、y4 、y5)，由性质6得到对偶问题的基本
解
(y1、y2、 y3、y4、y5)
=(－λ4,－λ5,－λ1,－λ2,－λ3)，即
表2－5(1)中λ=(6，－2，1，0，0)，
则Y(1)=(0，0，-6，2，－1)
表2－5(2)中λ=(0，1，－5，－3，0)，
则Y(2)=(3，0，0，－1，5)
表3－5(3)中λ=(0，0，－11，－2，－2)，
则Y（3）=(2，2，0，0，11)
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
(3) 因为表3－2(3)为最优解，故Y（3）=(2，2，0，0，
11)为对偶问题最优解；
1  1
(4) 表3－2(3)中的最优基 B  

2 0 
B-1 为表3－2(3)中x4，x 5两列的系数，即
B
1
 0 1



1
2


Y  ( y1 , y 2 )  C B B 1
CB=(6，－2)，因而
 0 1
 (6,2) 
 (2,2)

  1 2
3.2 对偶性质
Dual property
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
根据对偶性质；可将原问题与对偶问题解的对应关系列表如下：
表3－6
一个问题max
另一个问题min
有最优解
有最优解
性质4
无
无最优解
无最优解
性质4
最
优
无界解
(有可行解)
无可行解
性质2
解
无可行解
无界解
(有可行解)
应用
已知最优解
通过解方程
求最优解
性质5
已知检验数
检验数乘以－1
求得基本解
性质6
3.1 线性规划的对偶模型
Dual model of LP
Chapter3 对偶理论
Dual Theory
1. 如何写规范与非规范问题的对偶问题;
2.本节介绍的6个性质都是原问题与对偶问题的有关解的对应关
系；
3.性质5和性质6可用来已知一个问题的最优解求另一个问题的最
优解；
作业：教材P62
3