Transcript 第二节运输模型的应用与指派问题

4.4 指派问题
assignment problem
4.4 指派问题
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Chapter 4 运输与指派问题
T&A Problem
4.1.1 数学模型
【例4.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗
位一个人．经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表4-34所
示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
表4-34
工作
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
人员
1
【解】设 x  
ij
0
 x11
x
21

X
 x31

 x41
x12 x13 x14 
x22 x23 x24 
x32 x33 x34 

x42 x43 x44 
分配第i人做j工作时
不分配第i人做j工作时
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数学模型为：
max Z  85x11  92x12  73x13  90x14  95x21  87x22 
 78x23  95x24  82x31  83x32  79x33  90x34 
 86x41  90x42  80x43  88x44 甲
 x11  x12  x13  x14  1
x  x  x  x  1
 21
22
23
24

 x31  x32  x33  x34  1
 x 41  x 42  x 43  x 44  1
 x11  x 21  x31  x 41  1
x  x  x  x  1
 12
22
32
42

 x13  x 23  x33  x 43  1
 x14  x 24  x34  x 44  1
xij  0或1，i、j  1,2,3,4
A
乙
B
丙
C
丁
D
图5. 3
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假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij≥0，
效率矩阵为[cij](如表4-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)
的数学模型为
m
m
min(max)Z   cij xij
i 1 j 1
m
 xij  1
 j 1
 m
 xij  1
 i 1
 xij  0或1


i  1,  , m
j  1,  , m
i, j  1,  m
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4.4.2 解指派问题的匈牙利算法
匈牙利法的条件：问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负
【定理4.4】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减
去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去
(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵
[bij]，其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这
里cij、bij均非负．
【定理4.5】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖
“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独
立元素)的最大个数．
如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零
元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，
得到最优解．
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【例4.15】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四
个工厂的单位产品成本(元/件)如表4-35所示．求最优生产配置方
案．
表4-35
产品1
产品2
产品3
产品4
工厂1
58
69
180
260
工厂2
75
50
150
230
工厂3
65
70
170
250
工厂4
82
55
200
280
【解】问题求最小值。
第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去最
小元素，有
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min
58
75

65

82
69 180 260 58
50 150 230 50

70 170 250 65

55 200 280 55
 0 11 122 202
 25 0 100 180


 0 5 105 185


27 0 145 225
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
 0 11 122 202
 0 11 22 22
 25 0 100 180
 25 0 0 0 

 

 0 5 105 185
0 5 5 5




27
0
145
225
27
0
45
45




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 0 11 22 22 


第三步：用最少的直线覆盖所有“0”，得  25 0 0 0 
0 5 5 5


27
0
45
45


第四步：这里直线数等于3(等于4时停止
运算)，要进行下一轮计算．从矩阵未被
直线覆盖的数字中找出一个最小数k并且
减去k，矩阵中k＝5．直线相交处的元素
加上k，被直线覆盖而没有相交的元素不
0
30

0

32
6 17 17 
0 0 0 
0 0 0

0 45 45
变，得到下列矩阵
第四步等价于第1、3行减去5，同时第1列加上5得到的结果
4.4 指派问题
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0
30

0

32
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6 17 17 
0 0 0 
0 0 0

0 45 45
第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在4个
不同行不同列的零元素．容易看出4个“0”的位置
( 0 )
30

×
0

32
6 17 17 
×
0 (0 ) 0 
×
0 0 ( 0)

( 0) 45 45
或
( 0 )
30

×
0

32
6 17 17 
×
0 0 ( 0)
×
0 (0 ) 0 

( 0) 45 45
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1

1





1
1
 ， X (2)＝ 

得到两个最优解 X (1)＝ 


1
1 




1
1




有两个最优方案
第一种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品3，
第三个工厂加工产品4，第四个工厂加工产品2；
第二种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品4，
第三个工厂加工产品3，第四个工厂加工产品2；
单件产品总成本
Z＝58＋150＋250＋55＝513
4.4 指派问题
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1．指派模型的特征
2．匈牙利法求解指派问题的条件
3．匈牙利法的两个基本定理
4．指派问题也是一个特殊的运输问题.
5．将指派(分配)问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变.
作业：P124 T9(2)
The End of Chapter 4