Transcript 线性规划的单纯形算法与线性代数的分块初等变换的教学结合2

线性规划的单纯形算法和线性代数的
分块初等变换的教学结合
福建师范大学
数学与计算机科学学院
郑开杰
大纲
 教学困惑
 教学结合
 其他
一、教学困惑
1. 线性代数的应用实例的教学困惑
（1）教师角度：
 教师的教学往往是“以不变应万变”，不同专业的学生讲
一样的应用实例
 为讲线性代数的应用“造”实例
 受制于课时，不敢完整地讲甚至不敢讲应用实例
（2）学生不买帐
 老师讲的实例不真、不完整、与专业无关且无法实现
 不考试
5
一、教学困惑
2. 线性规划的单纯形算法的教学困惑
 现有大部分《运筹学》课程要求完整地讲授单纯形算
法，但实际上，应用工作者无需了解太深
 为讲单纯形算法，需复习相关线性代数的内容，占课
时
 单纯形算法的迭代过程多采用表格形式，工作量极其
大
一、教学困惑
3. 解决途径：将单纯形算法融入到线性代数中
 省《运筹学》至少6课时，且仅需至多增加两个线性代
数的课时
 适用的学生面广
 无需教授数学软件，Excel即可简便实现
二、分块初等行变换观点看单纯形算法
仅为叙述算法方便，不妨设
max(min) c T x
A =（Bm×m，N）且 r(A) = r(B) = m
Ax = b
矩阵形式  Ax  (或  ,  )b
x
c
 B
 B

x    c    BxB+NxN = b
x

0

xN 
cN 


T
xB = B-1b-B-1NxN
标准型 max{ c x | Ax=b, x ≥0}
x
其中，R (Am×n) = m T
T
T  B 
c x  (cB , c N )    cTB xB  cTN x N
2. 最优解的判定
 xN 
1. 线性规划概念
基变量、检验数、基本解、
基本可行解；
基本解成为最大值解当且仅当
（1）x≥0
（2）自由变量的检验数非正
 cTB ( B1b  B1 NxN )  cTN xN
 cTB B1b  (cTN  cTB B1 N ) xN
 cTB B1b 
 j x j
j 为自由未知量指标
n
 C B B 1b    j x j
j 1
二、分块初等行变换观点看单纯形算法
n
3. 单纯形算法
Z  C B B 1b    j x j
j 1
标准型：max { cTx | Ax=b, x ≥0}
原始单纯形法的思路：
检验数的自动计算
step1：找一个自由变量等于零的非
xB
xN
B
负解（初始基本可行解）
xB
B
N
b
step2：不断改善该基本可行解，
cB
基本可行解唯一取决于自由变量的选择，
故改善解的过程本质上是：
xB
“不断地调整自由变量组”
或“选择进基变量和离基变量” 检验数λ
启发式的认为：
（1）为使目标函数上升最快，
进基变量应选择检验数最大的，
（2）出基变量的选择应使解可行
cN
xB
xN
b
E
B-1N
B-1b
0
cN T - cBTB－1N
step3：单纯形迭代
（单纯形过程简化写法）
二、分块初等行变换观点看单纯形算法
4. 算例： 用单纯形法求最优解
max Z  300 x1  400 x2
2 x1  x2  40

 x1  3 / 2 x2  30
x , x  0
 1 2
【解】step1：化为标准型
max Z  300 x1  400 x2
2 x1  x2  x3  40

 x1  3 / 2 x2  x4  30
x , x , x , x  0
 1 2 3 4
step2：求初始基本可行解
X(1)=(0,0,40,30)T
x1
x2
x 3 x4 b
1
1 0 40 
 2


1
[3
/
2]
0
1
30


 300 400 0 0



 [4 / 3]

 2/3
 100 / 3

1 0

0 1
0 0

2 / 3
20 

1 0
2/3
20 

0 0 800 / 3

3 / 4 1 / 2 15 

1 / 2
1
10 

25 250

0 1
故最优解为（x1，x2）=（15，10）
step3：单纯形迭代（单纯形表格写法）
基变量
将3/2化为1
(a)
(b)
(c)
进基列
bi /ai2，ai2>0
θi
XB
x1
x2
x3
x4
b
x3
2
1
1
0
40
40
x4
1
3/2
0
1
30
20
λj
300
400
0
0
x3
4/3
0
1
-2/3
20
15
x2
2/3
1
0
2/3
20
30
λj
100/3
0
0
x1
1
0
3/4
-800/3
-1/2
15
x2
0
1
-1/2
1
10
10
λj
0
0
-25
-250
出
基
行
二、分块初等行变换观点看单纯形算法
5. Excel实现
三、层次分析法与最大特征值
Step1：建立递阶层次结构模型
Step2：构造各个层次的判断矩阵
Step3：检验判断矩阵的一致性
Step4：层次单排序、层次总排序
三、层次分析法与最大特征值