Transcript 层次分析模型
层次分析模型 层次分析法（Analytic Hicrachy proccss 简记为AHP）是美国运筹 家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转 化为定量计算的一种行之有效的方法。把复杂的决策系统层次化通 过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。因此在资 源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到 广泛的应用。 一、 成对比较矩阵和正互反矩阵 层次分析的一个基本步骤是要比较若干因素对同一目标的影响， 从而确定它们在目标中占的比重。比如在旅游问题中要比较景色、 费用等因素对地点选择的影响，当然这里所指的影响可以是诸因 素在目标中的地位、实现目标所需费用或所得的利润等等，这些 因素有的有相同的量纲，在数量上是可比的，如费用问题，但更 多的是难以定量且不易比较的，如景色问题。有些受到相当大的 主观因素的影响，并且许多因素放在一起进行比较时，那就更加 困难和难以确定。层次分析法采用成对比较法，用它来提高诸因 素比较的准确程度。 设要比较 n 个因素 C1 , C2 , , Cn 对目标 O 的影响，从而确定 它们在 O 中所占的比重，每次取两个因素 Ci 和 C j ，用 aij 表示 Ci 与 C j 对 O 的影响程度之比，按 1 到 9 的比例标度来度量 aij 。 n 个元素彼此两两比较，全部结果可用如下的成对比较矩阵 表示： A (aij ) nn aij 0, a ji 1 aij aii 1(i, j 1,2, , n) 我们称满足上述性质的矩阵A为正互反矩阵。 下面用一个具体的例子说明。 (1) 现要进行假期旅游，有 P1 , P2 , P3 共 3 个旅游胜地供你选择，你 会根据诸如景色，费用，住宿，饮食，交通等一些准则去反 复比较 3 个候选地点。其层次结构图见图 6.1。 图1 选择旅游地的层次结构图 记设旅游问题中的这 5 个因素为：景色 C1 ，费用 C2 ，住宿 C3 ， 饮食 C4 ，交通 C5 。某人考虑该旅游问题所用成对比较法的成 对比较阵（正互反矩阵）是 1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1 3 （2） (2)式中 a12 1/ 2 表示景色 C1 与费用 C2 对选择旅游地这个目标 O 的重要性之比为 1:2； a13 4 表示景色 C1 与住宿 C3 的重要性之比为 4:1； a23 7 表示费用 C2 与住宿 C3 的 重要性之比为 7:1。由此可以看出，在景色，费用，住宿这三个因素中，费用最重要，景色 次之，住宿再次之。 仔细比较(2)式，我们会发现 a12 1/ 2 ， a13 4 ，这表明 C2 的重要性是 C1 的 2 倍， C1 的重要性是 C3 的 4 倍，那么 C2 的重 要性是 C3 的 8 倍，即 a23 8 ，而实际上 a23 7 。说明 C2 与 C3 重要 性的直接比较与间接比较有一些差异但差异又不大。对 n 个 因素总共要作 n(n 1) / 2 次比较，要使所有的比较做到直接比较 与间接比较完全一致是不太可能的。因此我们容许这种比较 在一定范围内不一致，但又不能差异太大。 这里我们给出一致阵的定义： 如果一个正互反矩阵A满足 aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n), （3） 则称A为一致性矩阵，简称一致阵。 关于 aij 的确定 T.L.Saaty 引用了数字 1~9 及其倒数作为标 度。 选择1~9的标度方法是基于下述的一些事实和乘法根据： 1.在估计事物质区别性时，人们常用五种判断来表示：即相等、 较强、强、很强、绝对强，当需要更高精度时，还可以在相邻判 断之间作出比较，这样，总共有九个数据，既保持了连贯性，又 便于在实践中应用。 2.心理学家认为，人们在同时比较若干对象时，能够区别差异 的心理学极限为7±2个对象，这样它们之间的差异正好可以用九 个数字表示出来。 3.Saaty还将1~9的标度方法同另外26种标度方法进行过比较， 结果表明1~9标度是可行的，并且能较好地将思维判断数量化。 二、权向量和一致性指标 通过两两成对比得到的判断矩阵A不一定满足矩阵的一致性条件 （3）。我们希望能找到一个数量标准来衡量矩阵A不一致的程度， 为此，我们先来分析一下一致阵的情况。 设想一下，我们现在把一块单位重量的大石头 O 分成 n 块 小石头 C1 , C2 , 各小块石的重量为 wi (i 1, 2, , Cn ， 在 Z 中占的比重可用其重量排序，即为 ( w1 , w2 , 对重量为 aij wi / w j . 这样就得到判断矩阵 A： 则 C1 , C2 , , n) ， , wn )T , Ci与C , Cn 的相 j w1 w 1 w2 A w1 wn w1 w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn . wn wn (4) 显然A是满足一致性条件的正互反阵 容易证明， 阶一致阵有下列性质： 1．A的秩为1，A的唯一特征根为 。 2．A的任一列向量都是对应于特征根 的特征向量。 如果得到的成对阵是一致阵，象(4)式的 A，自然应取对应于 特征根 n 的归一化的特征向量表示诸因素 C1 , C2 , , Cn 的权重， 这个向量称为权向量。如果成对阵 A 不是一致的，但在不一 致的容许范围内，Satty 等人建议采用 A 的最大特征根 max 对 应的特征向量 w ( w1 , w2 , , wn ) T 作为权向量。即 w 满足： A.max max .w n 且 w i i 1 1 （5） 直观地看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖 与矩阵的元素 aij ，所以当 aij 离一致性的要求不远时，A 的特 征根和特征向量也与一致阵的相差不大。当 max 比 n 大得越多， A 的不一致程度就越大，用特征向量作为权向量引起的误差 就会越大。因而可以用 max n 的大小来衡量 A 的不一致程度。 Satty 将下式作为一致性指标： CI max n n 1 (6) 对一致性正互反阵来说，一致性指标CI等于零。 n 由 于 i n ， 实 际 上 CI 相 当 于 n-1 个 特 征 根 i 1 2 , , n (最大特征根 max 除外) 的平均值。 显然，仅依靠CI值来作为判断矩阵A是否具有满意一致 性的标准是不够的，因为人们对客观事物的复杂性和认识 的多样性，以及可能产生的片面性跟问题的因素多少、规 模大小有关，即随着n值（1~9）的增大，为此Saaty又提出 了平均随机一致性指标RI。 平均随机一致性指标 RI 是这样得到的：对于固定的 n， 随机构造正互反矩阵 A'中其中a'ij 是从 1，2，…，9，1/2，1/3，…， 1/9 中随机抽取的，这样的 A' 是最不一致的，取充分大的子样 （500 个样本）得到 A' 的最大特征根的平均值 max ，定义 RI ' max n n 1 . (7) 对于1~9阶的判断矩阵，Satty给出RI值，见表2。 表2 平均随机一致性指标RI 对于 n 3 的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶的 随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。 当 CR CI 0.1 RI 认为成对判别A的不一致程度在容许范围内，可以用其特 征向量作为权向量。否则就需要调整成对判别矩阵，使之 具有满意的一致性 下面求出选择旅游地的5个因素成对比较阵A(2式)得到的权值与一致性检验。 对(2)式的矩阵A，容易求得最大特征值 max 5.072 对应的归一化特征向量为：w (0.2636,0.4758,0.0538,0.0981,0.1087) 一致性指标 CI 5.072 5 0.018 5 1 当 n 5 时，随机一致性指标 RI=0.12，则一致性比率 CR CI 0.018 0.0161 0.1 RI 1.12 一致性比率通过，前面的特征向量 w 可以作为5个因素的权重 三、组合权向量与组合一致性检验 在旅游决策问题中，我们已经得到准则层对目标层的权向量，获得旅游 问题中5个因素的权重。用同样的方法可以构造第3层方案层对第2层（准则 层）的每一个成对比较阵。不妨设为： 3 5 1 B1 1/ 3 1 2 1/ 5 1/ 2 1 3 5 1 B4 1/ 3 1 2 1/ 5 1/ 2 1 1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1/ 3 8 3 1 2 4 1 B3 1/ 2 1 3 1/ 4 1/ 3 1 1 2 1/ 4 B5 1/ 2 1 1/ 6 4 6 1 其中 Bk (k 1, 2, ,5) 中元素 bij( k ) 是方案 Pi (旅游地 i)与 Pj (旅游地 j)对 于准则 Ck （景色、费用等）的优越性的比较尺度。 由成对矩阵 Bk (k 1, 2, ,5) 计算出权向量 wk ，最大特征根 k ，一 致性指标 CI k ，结果列于表 3 中。 由于当 n 3 时随机一致性指标 RI=0.58，所有一致性指标 CRk 0.1 ，因 此 5 组权值都通过一致性检验，5 组权向量都可以作为权值 我们可以计算出第3层方案层相对目标层的权向量，该向量称为组合向量。 方案 P1相对目标层的权值： y1 0.6483 0.2636+0.0819 0.4758+0.5584 0.0538+0.6483 0.0981 +0.1929 0.1087 0.3245 方案 P2 相对目标层的权值 y2 0.2297 0.2636+0.2363 0.4758+0.3196 0.0538+0.2297 0.0981 +0.1061 0.1087 0.2242 方案 P3 相对目标层的权值： y3 0.1220 0.2636+0.6817 0.4758+0.1220 0.0538+0.1220 0.0981 +0.7010 0.1087 0.4513 因此方案层相对目标层的权向量为： y (0.3245, 0.2242, 0.4513) 。从结果 来看，方案 P3 的权重达到最大，因此可选取方案 P3 作为旅游的最佳方 案 再对整个系统的一致性进行检验。该检验称为组合一致性检验。包括 准则层，方案层的一致性及整个系统的一致性。 我们已经知道准则层的一致性比率为 CR1 0.0161 5 方案层所有方案的的一致性比率为 CR2 w .CI j w .RI j j 1 5 j 1 j j 0.0032 其中 w1 , , w5 为方案层的上一层准则层的权重。CI1 , , CI 5 为方案层的 5 个一致性指标， CR j 0.58 整个系统的组合一直性比率为：CR CR1 CR2 0.0161 0.0032 0.0193 。 0.1 因此组合一致性检验通过检验，前面表3得到的权向量可以作为最终决策的 依据。 四、层次分析法的基本步骤 可将层次分析法的基本步骤归纳如下： 1．分析系统中各因素之间的关系建立系统的递阶层次结构，这些层次大体 上可以分为三类： （1）最高层：它是分析问题的预定目标或理想结果。 （2）中间层：它包括为实现目标所涉及的中间环节，它也可以由若干个层 次组成。 （3）最低层：它是为实现目标而供选择的各种措施、决策方案。但是，每 层包含的因素个数不要超过9个，过多的话，可考虑再分出层次来。 2．构造两两成对比的判断矩阵。 判断矩阵元素的值反映了人们对因素关于目标的相对重要性的 认识，在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。 3．层次单排序及其一致性检验。 判断矩阵 A 的特征根 Aw max w 将 w 归一化，即为诸因素对于目标的 相对重要性的排序数值，计算出 CI 值，当 CR<0.1 时，则认为层 次单排序的结果有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵的元素取 值。 4．层次总排序。 计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权 值，称为层次总排序，这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的， 若上一层次 A 包含 m 个因素 A1 , A2 , , Am ，其层次总排序的权值分 别为 a1 , a 2 , , a m ，下一层次 B 包含 n 个因素 B1 , B2 , , Bn , 它们对于因素A j 的层次单排序的权值分别为 b1 j , b2 j , , bnj , 当 （Bk 与 Aj 无联系时，取 bkj 0 ） ，此时 B 层次总排序的权值由表 4 给出 这一过程是从高层到低层逐层进行的，如果 B 层次因素对 于 Aj 单排序的一致性指标为 CI j ，相应地平均随机一致性指标为 m RI j ，则 B 层次总排序一致性比率为 a CI j CR j j 1 . m a j 1 j RI j (8) 类似地，当CR<0.1时，我们认为层次排序结果具有满意的一致性，否则 就需要重新调整判断矩阵的元素取值。 五、应用举例 例1 某工厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何利用，可供选择 的方案有：发奖金、扩建福利设施、引用新设备，为进一步促进企业发展，如何 合理使用这笔利润？ 1)对于这个问题我们采用层次分析法进行分析，所有措施的目的都是为了更 好地调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活，当然最终目的是 为了促进企业的发展，因此，建立的递阶层次结构如图2。 2）构造判断矩阵,并求最大特征根、特征向量、一致性指标和随机一致性比 率. 判断矩阵A: 一致性比率 CR=0.033<0.1，因此通过一致性检验，该权重可作为 3 个因素 C1 , C2 , C3 的权值。 判断矩阵C1—P： max 2 CI=0 判断矩阵C2—P： max 2 CI=0 判断矩阵C3—P max 2 CI=0 3）各方案对总目标O的层次总排序见表5。 从计算结果来看，措施3的总权重最大，为0.5497。因此采用新设备P3，才 更能合理利用企业利润 其组合一致性比率显然也通过一致性检验 例2 2005B题DVD在线租赁中满意度权值的确定 2005B：随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之 一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化 的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网 络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、 成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快 递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其 偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每 个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之 后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继 续下次租赁。 该赛题的第2问是这样的。 表6中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线 订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD 注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单 用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当 前不在会员的在线订单中。 在该问题中，表格中会员对各种DVD的偏爱程度是用数字1,2,….,10来表示的， 我们需要将每种偏爱程度转化为满意度的权值。 首先需要确定满意度。由于会员对每种DVD的偏爱程度是用数字1,2，…， 10表示，越小偏爱程度越大。用层次分析法确定每种偏爱程度对应的权重。构造 判断矩阵如下： 2 3 1 1/ 2 1 3/ 2 1/ 3 2 / 3 1 1/10 2 /10 3 /10 其中 aij j / i (i, j, 1, 2, 10 5 10 / 3 1 ,10) 由于数字越大表示对该种DVD的偏爱程度越低，因此可选用其倒数作为重要 性的表示，由此得到上面的成对判别矩阵。 容易知道，该矩阵是一致阵。因而其任一列就是最大特征值对应的特征向量。 可取特征向量为： X [1,1/ 2,1/ 3, ,1/10] 作为各偏爱程度的满意度指标。也即各种偏爱程度的权重为偏爱程度的倒数。 另外偏爱程度为本0的权重也为0。 根据各种偏爱程度的权重可以得到满意度的权重矩阵 。 设第 i 个会员对第 j 种 DVD 的偏爱程度为 k ，则权重为： 1 Wij k 0 k 1 k 0 (i 1, 2, ,1000; j 1, 2, ,100)