第二节线性规划问题的可行域及基本可行解
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Transcript 第二节线性规划问题的可行域及基本可行解
第二节 线性规划问题的可行域
及基本可行解
§2.1 线性规划问题的可行域
§2.2 线性规划问题的最优解
精品课程《运筹学》
§2.1 线性规划问题的可行域
考虑标准形式的LP问题
min
cT x
Ax b
s .t .
x 0
x Rn , c Rn , b Rm , A Rmn
设D { x Rn | Ax b, x 0}
秩( A) m, m n
精品课程《运筹学》
定义1.2.1
设 S R n 是 n 维欧氏空间中的一个点集,若对任
何 x S , y S 与任何 [0,1],都有
x (1 ) y S
就称 S 是一个凸集.
凸集
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凸集
极点
不是凸集
定理1.2.1
D { x R n | Ax b, x 0}是凸集.
证 任 取 x , y D , w x (1 ) y , 其 中
[0,1].
由于 x 0 , y 0 ,故w 0 .
又 Ax b , Ay b ,故
Aw Ax (1 ) Ay b
即w D .
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定理1.2.2 任意多个凸集的交还是凸集.
证 如果 x 和 y 是 S i 中的两个点,则 x 和 y 必
属于每一个Si ,因此它们的凸组合也在每一
个 Si 里,从而也在 S i 里.
定义1.2.2
给定b R1 及非零向量a Rn ,称集合
H { x Rn | aT x b}
是 Rn 中的一个超平面.
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超平面 H是凸集.
由超平面 H 产生了两个闭半空间
H { x Rn | aT x b}
H { x Rn | aT x b}
都是凸集.
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由于凸集的交还是凸集,因而满足一组线性等式
aiT x bi , i 1,, p
与一组线性不等式
aiT x bi , i p 1,, p q
的全体向量 x 的集合也是凸集.(这里p 或 q 可以是零.)
定义1.2.3 称
S { x R n | aiT x bi , i 1,, p;
aiT x bi , i p 1,, p q }
为多面凸集.
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非空有界的多面凸集称为凸多面体.
D { x Rn | Ax b, x 0} 是多面凸集.
定义1.2.4
设 S 为凸集, x S .若对任何 y S ,z S ,
y z ,以及任何 0 1,都有
x y (1 ) z
则称 x 为凸集S 的一个顶点(极点).
顶
点
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设 c 为 E n 中的一个凸集,d E n ,d 0 ,
若对任一 x C 及 0 ,均有 x d C ,则称 d 是
C 的一个方向(direction).
1
d
C
0
d
显然若 是 的方向,
,则 d 也是C
的方向.
如果一个方向不能表示成两个方向的正线性
1
2
d
d
d
( 1 , 2 0 ) 时 , 必 有
1
2
组合,即当
d d ,就称 d 是C 的极方向(extreme direction).
1
2
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定理(凸多面体的表示)
设 D x | Ax b , x 0 的
所有极点为 x 1 , , x k ,极方向为d 1 , , d l ,则x D 当
且仅当存在一组 i 与 j ,使满足
k
l
i 1
j 1
x i x i j d j
i 0, i 1, , k
j 0, j 1, , l
k
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i 1
i 1
§2.2 线性规划问题的最优解
(1)两个变量线性规划问题的图解法
2 x1 x2 2
例1.2.1 解线性规划
z 3 x 1,4
z 1.5
z0
T
max
z x1 x2
2 x1 x2 2
x 2x 2
1
2
s .t .
x1 x2 5
x1 0, x2 0
x2
A2
x1 x2 5
A1
0
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x1 2 x2 2
A3
D
A4
x1
2 x1 x2 2
z 4 A1 , A2
z 2
x2
A2
min z z 4 x1x1 2 xx22
max
2 x1 x2 2
x 2x 2
1
2
s .t .
x1 x2 5
x1 0, x2 0
x1 x2 5
A1
x1 2 x2 2
A3
D
0
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z0
A4
x1
例1.2.2 解线性规划
z 2 x1 x2
x2
min
z 2 x1 x2
x1 x2 1
s .t . x1 3 x2 3
x 0, x 0
1
2
x1 3 x2 3
0
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D
A
B
x1 x2 1
x1
从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论:
⑴.线性规划的可行区域D是若干个半平面的
交集, 它形成了一个有界的或无界的凸
多边形.
⑵.对于给定的线性规划问题,如果它有最优
解,最优解总可以在D的某个顶点上达到.
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(2)基本可行解及线性规划基本定理
Ax b
秩( A) m, m n
a11 x1 a12 x2
a1n xn
b1
a21 x1
a2 n xn
b2
am1 x1 am 2 x2
amn xn
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bm
A ( B, N )
xB
x
x
N
Ax b
B
xB
N b
x
N
BxB Nx N b
b1
b2
bm
BxB
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Nx N
1
1
1
1
1
B BxB B NxN B b xB B NxN B b
1
1
xB B b B NxN
令x N 0
Bb11b1
x B1
x B2
x Bm
1
B BxB ExB xB
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Bb21b2
1
b
B mbm
1
B NxN
1
xB B b
xN 0
1
B b
x
0
基本解
若B 1b 0 则 x 0
x 基本可行解
B 可行基
B 1b1
x B1
B1b2
x B2
x Bm
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B 1bm
定义1.2.5
设 B 是秩为 m 的约束矩阵 A R mn 中的一个
m 阶满秩子方阵,则称B 为一个基(或基阵). B
中m 个线性无关的列向量称为基向量,变量x
中与之对应的 m 个分量称为基变量,其余的分
量称为非基变量.令所有的非基变量取值为零,
1
x
B b
B
,称为相应于 B 的
得到的解 x
x N 0
1
x
B
b
0
基本解.当
时,称基本解 为基本可行
解,这时对应的基B 称为可行基.
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min
z x1 x2
2
2 x1 x2 x3
x 2x
1 0 0
x4
2
1
2
s .t .
x5 5
B1 0 1 0
x1 x2
x j 0, j 1,2,3,4,5
0 0 1
2 1 1 0 0
可行基
x1 (0,0,2,2,5)T
A 1 2 0 1 0
基本可行解
0 0 1
1 1
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min
z x1 x2
2
2 x1 x2 x3
x 2x
x4
2
1
2
2 0 0
s .t .
x
x
x
5
2
5
1
B2 1 1 0
x j 0, j 1,2,3,4,5
1 0 1
2 1 1 0 0
不是可行基
x 2 (1,0,0,3,6)T
A 1 2 0 1 0
不可行解
0 0 1
1 1
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定理1.2.3
可行解 x 是基本可行解的充要条件是它的正分量所
对应的 A中列向量线性无关.
证:不妨设x 的前 k 个分量为正分量,即
x ( x 1 , , x k , 0 , , 0 )T
,
x j 0 , j 1, , k
若 x 是基本可行解,则取正值的变量必定是基变
量,它们所对应的约束矩阵A 中的列向量 A1 , , Ak
是基向量,故必线性无关.
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反之,若 A1 , , Ak 线性无关,则必有k m .由于x
行 解 , 有 Ax b , 故 有
是可
k
x j Aj b . 若k m , 则
j 1
B ( A1 , , Ak ) 就是一个基,x 为B 所对应的基本可行
解;若 k m ,因为 秩 ( A) m ,则一定可以从其余的
n k 个列向量中再挑选出m k ,不妨设为 Ak 1 , , Am ,
B
使 A1 , , Ak , Ak 1 , , Am 构成基 ,易知x 为相应于
B
基 的基本可行解.
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定理1.2.4
x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行域 D 的顶点.
证
充分性
设x 是可行域 D 的顶点,我们仍设它
的前k 个分量取正值,这时其对应的列 A1 , , Ak 必
定是线性无关的.事实上,如果它们相关,则存在非
零向量 y ( y1 , , y k ,0, ,0 ) 使得
T
k
y j Aj 0
j 1
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于是对任一正实数 都有
k
( x j y j ) A j b
j 1
k
( x j y j ) A j b
j 1
1
2
x
x
y
x
当取
, x y 时总有 Ax 1 Ax 2 b .
因 为 x j 0 , j 1, , k , 当 0 取 的 充 分 小 时 有
x 0, x 0 ,故有 x D , x D .由于 y 0 ,从而
x 1 x 2 ,然而
1 1 1 2
x x x
2
2
1
2
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1
2
这与 x 是可行域 D 的顶点矛盾,故 A1 , , Ak 线性无
关,从而x 是基本可行解.
必要性
设x 是基本可行解,设它的前k 个分量取
1
2
1
2
x
D
,
x
D
正值.假定存在
, x x 及0 1 ,
使
x x 1 (1 ) x 2
1
1
1 T
2
2
2 T
x
(
x
,
,
x
)
x
(
x
,
,
x
这里
,
1
n
1
n ) .当 j k 1
1
2
1
2
x
0
x
0
x
0
x
x
时,因为 j
, j
, j
,故有 j
j 0.
1
2
Ax
Ax
b 可得
于是由
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k
(x
j 1
1
j
x ) Aj 0
2
j
又 因 为 x 1 x 2 , 至 少 存 在 一 个 j (1 j k ) 使 得
x 1j x 2j ,因而向量 A1 ,, Ak 线性相关.由定理 1.2.3 知
这与 x 是基本可行解相矛盾,
所以 x 是 D 的一个顶点.
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基本可行解
非退化
唯一的一个可行基
可由不止一个可行基得到
退化
min
cT x
m
cn 个可行基
Ax b
s .t .
x0
一个LP问题,如果它的所有基本可行解都是非
退化的,就说该问题是非退化的,否则说它是退
化的.
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定理1.2.5
一个标准形式的LP问题(1.2.1),若有可行解,则
至少有一个基本可行解.
证
设 x 0 ( x10 ,, xn0 )T 是问题(1.2.1)的任意一个可
行解,则有 Ax 0 b , x 0 0 .不妨设 x 0 的非零分量为
前 k 个,即有 x 0j 0, j 1,, k ;x 0j 0, j k 1,, n .
如果约束矩阵 A 的前 k 个列向量 A1 ,, Ak 线性无关.
由定理 1.2.3 知 x 0 是基本可行解;否则存在着不全为
零的数 j , j 1,, k ,使得
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k
j Aj 0
j 1
令 l 0, l k 1,, n , 得 到 n 维 向 量
( 1 ,, k , k 1 ,, n )T ,有
k
A j Aj
j 1
n
l Al 0
j k 1
由于 x 0j 0, j 1,, k ,我们可取适当小的整数 ,
使得
x j 0, j 1,, k , k 1,, n
0
j
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易知
A( x 0 ) Ax 0 A b
所以 x 和 x 均是(1.2.1)的可行解.在满
0
0
足不等式
x 0 0, x 0 0 , j 1,, k
的同时,可以选择 0,使上述诸式中至少有一
个取等号.
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这样就得到(1.2.1)的一个可行解 x 0 或 x 0 ,
它的非零分量至少比 x 0 少一个.如果这个解还不是
基本可行解,那么上述过程仍可继续下去.由于当
可行解只有一个非零分量时,该非零分量所对应
的列向量一定是线性无关的,所以(1.2.1)必存在基
本可行解.
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定理1.2.6
若标准形式的LP问题(1.2.1)有有限的最优值,
则一定存在一个基本可行解是最优解.
(若标准形式的LP问题的目标函数有有限的最
优值,则必可在某个基本可行解处达到. )
证
设 x 0 是(1.2.1)的一个最优解,即有
min{cT x | Ax b, x 0} cT x 0
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如果 x 0 是基本可行解,则问题得证;否则,按定理
1.2.5 的 证 明 过 程 可 做 出 两 个 可 行 解 x 0 和
x 0 ,它们的目标函数值分别为
c ( x ) c x c
T
0
T
0
T
cT ( x 0 ) cT x 0 cT
因为 c T x 0 是最优值,所以有
c T x 0 c T c T x 0
c T x 0 c T c T x 0
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因而得到 cT 0 .故有 cT ( x 0 ) cT x 0 ,且可行解
x 0 或 x 0 的非零分量个数比 x 0 的少.按照定
理 1.2.5 的证明方法继续做下去,最后得到基本可行
解 x ,一定有 cT x cT x 0 ,即基本可行解 x 也是(1.2.1)
的最优解.
定理1.2.6与定理1.2.5一起被称为线性规划的基本定
理.它告诉我们,求解标准形式的LP问题,只需在基
本可行解的集合中进行搜索(如果其目标函数有有
限最优值的话),而基本可行解的个数是有限的.
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