Transcript 第二节线性规划问题的可行域及基本可行解

第二节 线性规划问题的可行域
及基本可行解
§2.1 线性规划问题的可行域
§2.2 线性规划问题的最优解
精品课程《运筹学》
§2.1 线性规划问题的可行域
考虑标准形式的LP问题
min
cT x
 Ax  b
s .t .
x  0
x  Rn , c  Rn , b  Rm , A  Rmn
设D  { x  Rn | Ax  b, x  0}  
秩( A)  m, m  n
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定义1.2.1
设 S  R n 是 n 维欧氏空间中的一个点集，若对任
何 x  S , y  S 与任何   [0,1]，都有
x  (1   ) y  S
就称 S 是一个凸集.
凸集
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凸集
极点
不是凸集
定理1.2.1
D  { x  R n | Ax  b, x  0}是凸集.
证 任 取 x , y  D ， w   x  (1   ) y ， 其 中
  [0,1].
由于 x  0 ， y  0 ，故w  0 .
又 Ax  b ， Ay  b ，故
Aw  Ax  (1   ) Ay  b
即w  D .
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定理1.2.2 任意多个凸集的交还是凸集.
证 如果 x 和 y 是  S i 中的两个点，则 x 和 y 必
属于每一个Si ，因此它们的凸组合也在每一
个 Si 里，从而也在  S i 里.
定义1.2.2
给定b  R1 及非零向量a  Rn ，称集合
H  { x  Rn | aT x  b}
是 Rn 中的一个超平面.
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超平面 H是凸集.
由超平面 H 产生了两个闭半空间
H   { x  Rn | aT x  b}
H   { x  Rn | aT x  b}
都是凸集.
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由于凸集的交还是凸集，因而满足一组线性等式
aiT x  bi , i  1,, p
与一组线性不等式
aiT x  bi , i  p  1,, p  q
的全体向量 x 的集合也是凸集.（这里p 或 q 可以是零.）
定义1.2.3 称
S  { x  R n | aiT x  bi , i  1,, p;
aiT x  bi , i  p  1,, p  q }
为多面凸集.
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非空有界的多面凸集称为凸多面体.
D  { x  Rn | Ax  b, x  0} 是多面凸集.
定义1.2.4
设 S 为凸集， x  S .若对任何 y  S ，z  S ，
y  z ，以及任何 0    1，都有
x  y  (1   ) z
则称 x 为凸集S 的一个顶点(极点).
顶
点
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设 c   为 E n 中的一个凸集，d  E n ，d  0 ，
若对任一 x  C 及  0 ，均有 x   d  C ，则称 d 是
C 的一个方向(direction).
1
d
C


0
d
显然若 是 的方向，
，则  d 也是C
的方向.
如果一个方向不能表示成两个方向的正线性
1
2
d


d


d
( 1 ,  2  0 ) 时 ， 必 有
1
2
组合，即当
d   d ，就称 d 是C 的极方向(extreme direction).
1
2
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定理(凸多面体的表示)
设 D  x | Ax  b , x  0 的
所有极点为 x 1 , , x k ，极方向为d 1 , , d l ，则x  D 当
且仅当存在一组 i 与 j ，使满足
k
l
i 1
j 1
x   i x i    j d j
 i  0, i  1, , k
 j  0, j  1, , l
k
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i  1

i 1
§2.2 线性规划问题的最优解
(1)两个变量线性规划问题的图解法
2 x1  x2  2
例1.2.1 解线性规划
z  3 x  1,4
z  1.5
z0
T
max
z   x1  x2
 2 x1  x2  2
x  2x  2
 1
2
s .t .
 x1  x2  5
 x1  0, x2  0
x2
A2
x1  x2  5
A1
0
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x1  2 x2  2
A3
D
A4
x1
2 x1  x2  2
z  4 A1 , A2
z  2
x2
A2
min z z 4 x1x1 2 xx22
max
 2 x1  x2  2
x  2x  2
 1
2
s .t .
 x1  x2  5
 x1  0, x2  0
x1  x2  5
A1
x1  2 x2  2
A3
D
0
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z0
A4
x1
例1.2.2 解线性规划
z  2 x1  x2
x2
min
z  2 x1  x2
 x1  x2  1

s .t . x1  3 x2  3
 x  0, x  0
 1
2
x1  3 x2  3
0
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D
A
B
x1  x2  1
x1
从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论：
⑴．线性规划的可行区域D是若干个半平面的
交集， 它形成了一个有界的或无界的凸
多边形.
⑵．对于给定的线性规划问题，如果它有最优
解，最优解总可以在D的某个顶点上达到.
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(2)基本可行解及线性规划基本定理
Ax  b
秩( A)  m, m  n
a11 x1 a12 x2
a1n xn
b1
a21 x1
a2 n xn
b2
am1 x1 am 2 x2
amn xn
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
bm
A  ( B, N )
 xB 
x 
x 
 N
Ax  b
B
 xB 
N    b
x 
 N
 BxB  Nx N  b
b1

b2
bm
BxB
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Nx N
1
1
1
1
1
B BxB  B NxN  B b  xB  B NxN  B b
1
1
 xB  B b  B NxN
令x N  0
Bb11b1
x B1
x B2

x Bm
1
B BxB  ExB  xB
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Bb21b2
1
b
B mbm
1
B NxN
1
xB  B b
xN  0
1
 B b
x

 0 
基本解
若B 1b  0 则 x  0
x 基本可行解
B 可行基
B 1b1
x B1
B1b2
x B2
x Bm
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B 1bm
定义1.2.5
设 B 是秩为 m 的约束矩阵 A  R mn 中的一个
m 阶满秩子方阵，则称B 为一个基(或基阵). B
中m 个线性无关的列向量称为基向量，变量x
中与之对应的 m 个分量称为基变量，其余的分
量称为非基变量.令所有的非基变量取值为零，
1
x

B b
 B
 ，称为相应于 B 的
得到的解 x     
 x N   0 
1
x
B
b

0
基本解.当
时，称基本解 为基本可行
解，这时对应的基B 称为可行基.
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min
z  x1  x2
 2
 2 x1  x2  x3
x  2x
  1 0 0
 x4
2
 1
2
s .t .


 x5  5
B1   0 1 0
 x1  x2
 x j  0, j  1,2,3,4,5


 0 0 1
 2  1  1 0 0
可行基


x1  (0,0,2,2,5)T
A   1  2 0 1 0


基本可行解
0 0 1
1 1
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min
z  x1  x2
 2
 2 x1  x2  x3
x  2x
 x4
2
 1
2
 2 0 0
s .t .


x

x

x

5
2
5
 1
B2  1 1 0
 x j  0, j  1,2,3,4,5


1 0 1
 2  1  1 0 0
不是可行基


x 2  (1,0,0,3,6)T
A   1  2 0 1 0


不可行解
0 0 1
1 1
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定理1.2.3
可行解 x 是基本可行解的充要条件是它的正分量所
对应的 A中列向量线性无关.
证：不妨设x 的前 k 个分量为正分量，即
x  ( x 1 ,  , x k , 0 ,  , 0 )T
，
x j  0 , j  1,  , k
若 x 是基本可行解，则取正值的变量必定是基变
量，它们所对应的约束矩阵A 中的列向量 A1 , , Ak
是基向量，故必线性无关.
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反之，若 A1 , , Ak 线性无关，则必有k  m .由于x
行 解 ， 有 Ax  b ， 故 有
是可
k
x j Aj  b . 若k  m ， 则

j 1
B  ( A1 , , Ak ) 就是一个基，x 为B 所对应的基本可行
解；若 k  m ，因为 秩 ( A)  m ，则一定可以从其余的
n  k 个列向量中再挑选出m  k ，不妨设为 Ak  1 , , Am ，
B
使 A1 , , Ak ， Ak 1 , , Am 构成基 ，易知x 为相应于
B
基 的基本可行解.
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定理1.2.4
x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行域 D 的顶点.
证
充分性
设x 是可行域 D 的顶点，我们仍设它
的前k 个分量取正值，这时其对应的列 A1 , , Ak 必
定是线性无关的.事实上，如果它们相关，则存在非
零向量 y  ( y1 , , y k ,0, ,0 ) 使得
T
k
y j Aj  0

j 1
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于是对任一正实数 都有
k
( x j  y j ) A j  b

j 1
k
( x j  y j ) A j  b

j 1
1
2
x

x


y
x
当取
，  x   y 时总有 Ax 1  Ax 2  b .
因 为 x j  0 , j  1, , k ， 当   0 取 的 充 分 小 时 有
x  0, x  0 ，故有 x  D , x  D .由于 y  0 ，从而
x 1  x 2 ，然而
1 1 1 2
x x  x
2
2
1
2
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1
2
这与 x 是可行域 D 的顶点矛盾，故 A1 , , Ak 线性无
关，从而x 是基本可行解.
必要性
设x 是基本可行解，设它的前k 个分量取
1
2
1
2
x

D
,
x

D
正值.假定存在
， x  x 及0    1 ，
使
x   x 1  (1   ) x 2
1
1
1 T
2
2
2 T
x

(
x
,

,
x
)
x

(
x
,

,
x
这里
，
1
n
1
n ) .当 j  k  1
1
2
1
2
x

0
x

0
x

0
x

x
时，因为 j
， j
， j
，故有 j
j  0.
1
2
Ax

Ax
 b 可得
于是由
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k
(x

j 1
1
j
 x ) Aj  0
2
j
又 因 为 x 1  x 2 ， 至 少 存 在 一 个 j (1  j  k ) 使 得
x 1j  x 2j ，因而向量 A1 ,, Ak 线性相关.由定理 1.2.3 知
这与 x 是基本可行解相矛盾，
所以 x 是 D 的一个顶点.
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基本可行解
非退化
唯一的一个可行基
可由不止一个可行基得到
退化
min
cT x
m

cn 个可行基
Ax  b
 s .t .

x0

一个LP问题，如果它的所有基本可行解都是非
退化的，就说该问题是非退化的，否则说它是退
化的.
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定理1.2.5
一个标准形式的LP问题(1.2.1)，若有可行解，则
至少有一个基本可行解.
证
设 x 0  ( x10 ,, xn0 )T 是问题(1.2.1)的任意一个可
行解，则有 Ax 0  b ， x 0  0 .不妨设 x 0 的非零分量为
前 k 个，即有 x 0j  0, j  1,, k ；x 0j  0, j  k  1,, n .
如果约束矩阵 A 的前 k 个列向量 A1 ,, Ak 线性无关.
由定理 1.2.3 知 x 0 是基本可行解；否则存在着不全为
零的数 j , j  1,, k ，使得
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k
 j Aj  0

j 1
令  l  0, l  k  1,, n ， 得 到 n 维 向 量
  ( 1 ,, k , k 1 ,, n )T ，有
k
A    j Aj 
j 1
n
 l Al  0

j  k 1
由于 x 0j  0, j  1,, k ，我们可取适当小的整数  ，
使得
x   j  0, j  1,, k , k  1,, n
0
j
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易知
A( x 0   )  Ax 0  A   b
所以 x   和 x   均是(1.2.1)的可行解.在满
0
0
足不等式
x 0    0， x 0    0 ， j  1,, k
的同时，可以选择  0，使上述诸式中至少有一
个取等号.
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这样就得到(1.2.1)的一个可行解 x 0   或 x 0   ，
它的非零分量至少比 x 0 少一个.如果这个解还不是
基本可行解，那么上述过程仍可继续下去.由于当
可行解只有一个非零分量时，该非零分量所对应
的列向量一定是线性无关的，所以(1.2.1)必存在基
本可行解.
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定理1.2.6
若标准形式的LP问题(1.2.1)有有限的最优值，
则一定存在一个基本可行解是最优解.
（若标准形式的LP问题的目标函数有有限的最
优值，则必可在某个基本可行解处达到. ）
证
设 x 0 是(1.2.1)的一个最优解，即有
min{cT x | Ax  b, x  0}  cT x 0
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如果 x 0 是基本可行解，则问题得证；否则，按定理
1.2.5 的 证 明 过 程 可 做 出 两 个 可 行 解 x 0   和
x 0   ，它们的目标函数值分别为
c ( x   )  c x  c 
T
0
T
0
T
cT ( x 0   )  cT x 0  cT
因为 c T x 0 是最优值，所以有
c T x 0  c T   c T x 0
c T x 0  c T   c T x 0
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因而得到 cT   0 .故有 cT ( x 0   )  cT x 0 ，且可行解
x 0   或 x 0   的非零分量个数比 x 0 的少.按照定
理 1.2.5 的证明方法继续做下去，最后得到基本可行
解 x ，一定有 cT x  cT x 0 ，即基本可行解 x 也是(1.2.1)
的最优解.
定理1.2.6与定理1.2.5一起被称为线性规划的基本定
理.它告诉我们，求解标准形式的LP问题，只需在基
本可行解的集合中进行搜索（如果其目标函数有有
限最优值的话），而基本可行解的个数是有限的.
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