Transcript 第三节最大流问题

第三节
最大流问题
§3.1 基本概念与定理
§3.2 求解网络最大流的方法（标号法）
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第三节 最大流问题

流量问题在实际中是一种常见的问题。
如公路系统中有车辆流量问题，供电系统
中有电流量问题等等。最大流问题是在单
位时间内安排一个运送方案，将发点的物
质沿着弧的方向运送到收点，使总运输量
最大。
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§3.1 基本概念与定理
设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，
j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的
最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内
的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的
流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。
设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量
cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外
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D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的
弧只能以 vs为起点，与vt相关联的弧只能以 vt为
终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。
例6.3.1 图6-3-1给出了一张网络，其中：vs为源，
vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量
fij，则显然有0≤fij ≤ cij 。
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最大流问题可以建立如下形式的线性规划
数学模型。图6-3-1最大流问题的线性规划数学
模型为
max v=fs1+fs2
 f ij   f ij  0(i  s, t )
j
i
0  f ij  cij
所有弧(i,j)
由线性规划理论知，满足式上式的约束条
件的解{fij}称为可行解，在最大流问题中称为
可行流。
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可行流满足下列三个条件：
⑴ 0  f ij  cij
⑵  f im   f km
vm
vm
⑶v f  f
vs
sj
vt
it
条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。
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在图D中，从发点到收点的一条路线称为链，
从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的
方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，
与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合
记为u-。
设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs
到收点vt到的链u满足：
（1）所有前向弧上fij＜cij
 (2) 所有后向弧上fij＞0
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则称链u为增广链.
设S,T∈V,S∩T=Ø,vs∈S,vt∈T则称（S，T）
={（vi ， vj ）︱vi∈S,vj∈T}为图D的一个割集；
称C（S，T）=
为割集（S，T）的

i
j
( v ,v )( s ,t )
容量。
c (v , v )
i
j
显然对任意可行流f及任意割集（S，T）
总有V(f)=C(S,T).故有某个可行流f*及某一割集
（S* ，T* ）使得V(f*)= C（S* ，T* ），则f* 为D
的最大流，（S*，T*）为最小容量割集。
定理6.3.1 图D上的可行流f*是最大流的充要
条件是D上不存在关于f*的增广链。
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§3.2 求解网络最大流的方法（标号法）
标号法是一种图上迭代计算方法，该算
法首先给出一个初始可行流，通过标号找出
一条增广链，然后调整增广链上的流量，得
到更大的流量。再用标号找出一条新的增广
链，再调整直到标号过程不能进行下去为止，
这时的可行流就是最大流。
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标号法步骤如下：
第一步 找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流
量fij(0) =0.
第二步 对点进行标号找出一条增广链。
（1） 起点标号（∞）
（2） 选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿
着某条链向收点检查
（a）如果弧是前向弧且有fij＜cij，则vj标号
θj=cij﹣fij
（b）如果弧是后向弧且有fij﹥0，则vj标号θj=fij
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当收点已得到标号时，说明已找到增广链，
依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当收
点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算
结束
第三步 调整流量
(1) 求增广链上点的vi标号的最小值，得到调整
量号
=

min  j
j
(2) 调整流量
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fij+θ
f 1=
fij﹣ θ
fij
（vi，vj）∈u+
（vi，vj)∈u（vi，vj )  u
得到新的可行流 f1 ，去掉所有标号，返回到第
二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不
能标号为止。
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例6.3.2用标号法求网络最大流（图6-3-1），
弧旁数字为（cij ，fij(0)）。
解 （1） 标号过程。见图6-3-2。
（2） 增广链为{vs，v1，v2，v3，vt} （注意
（v2，v1），（v3，v2）∈u- ）。
（3）调整量θ=2调整后得图6-3-3。
（4） 二次标号过程。见图6-3-3。
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标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9，
最小割集（S*，T*）, S*={vs}, T*={ v1，v2，v3，
v4，vt}。
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