Transcript 第13讲 - 应用数学家园

工程数学线性代数第13讲
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1
上一讲讲到定理7：
定理7 设mn矩阵A的秩R(A)=r, 则n元齐
次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n-r.
定理7不仅是线性方程组各种解法的理论
基础, 在讨论向量组的线性相关性时也很
有用.
2
2011年考研题数学一
一,(6) 设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵, A*为A
的伴随矩阵, 又(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的
一个基础解系, 则A*x=0的基础解系为:
(A) a1,a2
(B) a2,a3
(C) a1,a2,a3
(D) a2,a3,a4
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2011年考研题数学一
一,(6) 设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵, A*为A
的伴随矩阵, 又(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的
一个基础解系, 则A*x=0的基础解系为:
(A) a1,a2
(B) a2,a3
(C) a1,a2,a3
(D) a2,a3,a4
应选(D).
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一,(6) 设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵, A*为A
的伴随矩阵, 又(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的
一个基础解系, 则A*x=0的基础解系为:
对于伴随矩阵, 需要记住的是
AA*=A*A=|A|E
而因为Ax=0有非零解, |A|=0, 这时A*A=O,
A的每一列都是方程组A*x=0的解. 而
Ax=0的基础解系只有1个向量说明
R(A)=4-1=3, A的列向量组有三个线性无
关的向量. 则A*x=0的基础解系至少有3个
向量, 且a1,a3线性相关,
5
例13 设AmnBnl=0, 证明R(A)+R(B)n.
证 记B=(b1,b2,…,bl), 则
A(b1,b2,…,bl)=(0,0,…,0),
即
Abi=0 (i=1,2,…,l),
表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程
Ax=0的解. 记方程Ax=0的解集为S, 由
biS, 知有R(b1,b2,…,bl)RS, 即R(B)RS.
而由定理7有R(A)+RS=n, 故R(A)+R(B)n.
6
例14 证明矩阵Amn与Bln的行向量组等
价的充分必要条件是齐次方程组Ax=0与
Bx=0同解.
证 条件的必要性是显然的, 下面证明条
件的充分性
设Ax=0与Bx=0同解, 从而也与方程
 Ax  0,  A 
即  x  0

 Bx  0
B
同解, 设解集S的秩为r, 则三个系数矩阵
的秩都为n-r, 故
7
 A
R( A)  R( B )  R   ,
B
即 R(AT)=R(BT)=R(AT,BT),
根据定理2的推论, 知AT与BT的列向量组
等价, 即A与B的行向量组等价.
证毕
由于矩阵A与B行向量组等价, 就是方程
组Ax=0和Bx=0可互推. 因此, 本例的结论
也可叙述为: 齐次线性方程组Ax=0与
Bx=0可互推的充分必要条件是它们同解.
8
例15 证明R(ATA)=R(A).
证 设A为mn矩阵, x为n维列向量.
若x满足Ax=0, 则有AT(Ax)=0, 即
(ATA)x=0;
若x满足(ATA)x=0, 则xT(ATA)x=0, 即
(Ax)T(Ax)=0, 从而推知Ax=0.
综上可知方程组Ax=0与(ATA)x=0同解,
因此R(ATA)=R(A).
下面讨论非齐次线性方程组.
9
设有非齐次线性方程组
a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 ,
a x  a x   a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2
(4)


am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm ,
它也可写作向量方程
Ax=b,
(5)
向量方程(5)的解也就是方程组(4)的解向
量，具有如下性质
10
Ax=b
(5)
性质3 设x=h1及x=h2都是(5)的解, 则
x=h1-h2为对应的齐次线性方程组
Ax=0
(6)
的解.
证
A(h1-h2)=Ah1-Ah2=b-b=0,
即x=h1-h2满足方程(6).
11
Ax=b
(5)
Ax=0
(6)
性质4 设x=h是方程(5)的解, x=x是方程
(6)的解, 则x=x+h仍是方程(5)的解.
证 A(x+h)=Ax+Ah=0+b=b,
即x=x+h满足方程(5).
12
Ax=b
(5)
Ax=0
(6)
由性质3可知, 若求得(5)的一个解h*, 则
(5)的任一解总可表示为
x=x+h*,
其中x=x为方程(6)的解, 又若方程(6)的通
解为x=k1x1+…+kn-rxn-r, 则方程(5)的任一
解总可表示为
x=k1x1+…+kn-rxn-r+h*.
而由性质4可知, 对任何实数k1,…,kn-r, 上
式总是方程(5)的解.
n-r
13
Ax=b
(5)
Ax=0
(6)
于是方程(5)的通解为
x=k1x1+…+kn-rxn-r+h*,
(k1,…,kn-r为任意实数).
其中x1,…,xn-r是方程组(6)的基础解系.
n-r
14
例16 求解方程组
 x1  x2  x3  x4  0,
 x  x  x  3 x  1,
1
2
3
4

 x  x  2 x  3x   1
3
4
 1 2
2
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
0 
1 1 1 1
1 1 1 3 1 

B
1

1 1 2 3  
2

15
0   1 1 1 1
0 
1 1 1 1
1 1 1 3 1  r2  r1  0 0 2 4 1 
 

B
1  rr32r22 
1

1 1 2 3    0 0 1 2  
2 
2

1

 1 1 0 1 2   x  x  x  1 ,
1
2
4
r2  r1


 
2
1

r2  2 0
0 1 2
1

r3  r2 
x3  2 x4  .
2
2
 0 0 0 0 0  


~
~
可见R(A)=R(B)=2, 方程组有解, 取x2=x4=0,
则x1=x3=1//2, 即得方程组的一个解
16
1
2
1

 
x

x

x

,
1
2
4

0
2
*

η 

1
1
 x3  2 x4  .
 

2
 2 
0 
 x1  x2  x4 ,
在对应的齐次方程组 
中, 取
 x3  2 x4 .
 x2   1   0   x1   1   1 
 x    0  ,  1  , 则 x    0  ,  2 
 4      3    
17
1
2
1

 
x

x

x

,
1
2
4

0
2
*

η 

1
1
 x3  2 x4  .
 

2
 2 
0


x

x

x
,
 1
2
4
则齐次方程组  x  2 x .
的基础解系为
4
 3
1
1
1
0
ξ1    , ξ 2    ,
0
 2
0
1
 
 
18
1
1
1




2
1

1
0
  x x x ,
x

x

x

,
1
2
4

2
4
  , ξ2    ,
2  η*   0   1
ξ


1


0
 2
 1   x3  2 x4 .
1
 x3  2 x4  .
0
1


 
 

2
2
 
0 
于是所求通解为
1
 x1 
1
1  2 
x 
1
0  0 
 2   c    c      ,(c , c  R )
1
2
1 2


 x3 
0
 2 1
 
0
1  2 
 
   
 x4 
0
19
 
§5 向量空间
20
本章§1中把n维向量的全体所构成的集
合Rn叫做n维向量空间. 下面介绍向量空
间的有关知识.
定义6 设V为n维向量的集合, 如果集合V
非空, 且集合V对于加法及乘数两种运算
封闭, 那么就称集合V为向量空间.
所谓封闭,是指的在集合V中可以进行加
法和数乘运算而不会算出不属于V的向
量. 就是: 若aV, bV, 则a+bV; 若aV,
lR, 则laV.
21
例17 3维向量的全体R3, 就是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,
数l乘3维向量也仍然是3维向量, 它们都属于
R3. 我们可以用有向线段形象地表示3维向量
, 从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点
为起点的有向线段的全体. 由于以原点为起
点的有向线段与其终点一一对应, 因此R3也
可看作取定坐标原点的点空间.
类似地, n维向量的全体Rn, 也是一个向量空
间, 不过当n>3时, 它没有直观的几何意义
22
例18 集合
V={x=(0,x2,…,xn)T|x2,…,xnR}
是一个向量空间, 因为若
a=(0,a2,…,an)TV, b=(0,b2,…,bn)TV, 则
a+b=(0,a2+b2,…,an+bn)TV,
la=(0,la2,…,lan)TV.
23
如果一个集合是向量空间, 则它必然包含
零向量0, 这是因为数0也是实数, 0乘任何
向量都是0向量, 所以向量空间要对数乘
运算封闭, 就必然包含零向量, 反过来,如
果一个集合不包含零向量, 就一定不是向
量空间.
24
例19 集合
V={x=(1,x2,…,xn)T|x2,…,xnR}
因为不包含零向量, 零向量的第一个分量
不是1, 所以V不是向量空间.
25
例20 齐次线性方程组的解集
S={x|Ax=0}
是一个向量空间(称为齐次线性方程组的
解空间). 因为齐次线性方程组的解的性
质1.2, 即知解集S对线性运算封闭.
26
例21 非齐次线性方程组的解集
S={x|Ax=b}
不是向量空间. 因为当S为空集(无解)时,
S不是向量空间, 当S非空时, 它不包含零
向量, 因此也不是向量空间.
27
例22 设a,b为两个已知的n维向量, 集合
L={xlamb|l,mR}
是一个向量空间. 因为, 若x1=l1a+m1b,
x2=l2a+m2b, 则有
x1+x2=(l1+l2)a+(m1+m2)bL,
kx1=(kl1)a+(km1)bL.
这个向量空间称为由向量a,b生成的向量
空间.
28
一般地, 由向量组a1,a2,…,am所生成的向
量空间为
L={x=l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,…,lmR}
29
例23 设向量组a1,…,am与向量组b1,…,bs
等价, 记
L1={x=l1a1+…+lmam|l1,…,lmR}
L2={x=m1b1+…+msbs|m1,…,msR}
试证L1=L2.
证 设xL1, 则x可由a1,…,am线性表示. 因
a1,…,am可由b1,…,bs线性表示, 故x可由
b1,…,bs线性表示, 所以xL2. 因此L1L2.
类似可证L2L1, 所以L1=L2.
30
定义7 设有向量空间V1及V2, 若V1V2, 就
称V1是V2的子空间.
例如任何由n维向量所组成的向量空间V,
总有VRn, 所以这样的向量空间总是Rn
的子空间.
31
定义8 设V为向量空间, 如果r个向量
a1,a2,…,ar V, 且满足
(i) a1,a2,…,ar线性无关;
(ii) V中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示.
那么, 向量组a1,a2,…,ar就称为向量空间V的
一个基, r称为向量空间V的维数, 并称V为r维
向量空 间.
如果向量空间V没有基, 那么V的维数为0. 0
维向量空间只含有一个零向量0.
32
若把向量空间V看作向量组, 则由最大无
关组的等价定义可知, V的基就是向量组
的最大无关组, V的维数就是向量组的秩.
例如, 由例8知, 任何n个线性无关的n维向
量都可以是向量空间Rn的一个基, 且由此
可知Rn的维数为n. 所以我们把Rn称为n维
向量空间.
33
又如, 向量空间
V={x=(0,x2,…,xn)T|x2,…,xnR}
的一个基可取为: e2=(0,1,0,…,0)T, …,
en=(0,…,0,1)T. 并由此可知它是n-1维向量
空间.
34
由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间
L={x=l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,…,lmR} ,
显然向量空间L与向量组a1,a2,…,am等价, 所
以向量组a1,a2,…,am的最大无关组就是L的
一个基, 向量组a1,a2,…,am的秩就是L的维数.
35
若向量空间VRn, 则V的维数不会超过n.
并且, 当V的维数为n时, V=Rn.
36
若向量组a1,a2,…,ar是向量空间V的一个
基, 则V可表示为
V={x=l1a1+…+lrar|l1,…,lrR}
即V是基所生成的空间, 这就较清楚地显
示出向量空间V的构造.
37
例如齐次线性方程组的解空间S={x|Ax=0},
若能找到解空间的一个基x1,x2,…,xn-r, 则
解空间可表示为
S={x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r,|c1,c2,…,cn-rR}
38
如果在向量空间V中取定一个基
a1,a2,…,ar, 那么V中任一向量x可惟一地
表示为
x=l1a1+l2a2+…+lrar,
数组l1,l2,…,lr称为向量x在基a1,a2,…,ar
中的坐标.
39
特别地, 在n维向量空间Rn中取单位坐标
向量组e1,e2,…,en为基, 则以x1,x2,…,xn为
分量的向量x, 可表示为
x=x1e1+x2e2+…+xnen,
可见向量在基中的坐标就是该向量的分
量. 因此叫做Rn中的自然基.
40
例24 设
 2 2 1


A  (a1 , a2 , a3 )  2 1 2 ,


 1 2 2 


 1 4


B  (b1 , b2 )  0 3


 4 2 


验证a1,a2,a3是R3的一个基, 并求b1,b2在这
个基中的坐标.
41
解 要证a1,a2,a3是R3的一个基, 只要验证
a1,a2,a3线性无关, 即验证A~E.
设b1=x11a1+x21a2+x31a3,
b2=x12a1+x22a2+x32a3 即
 x11 x12 


(b1 , b2 )  (a1 , a2 , a3 ) x21 x22 , 记作B  AX


x

x
 31 32 
对矩阵(A,B)施行初等行变换, 若A能变为
E, 则a1,a2,a3为R3的一个基, 且当A变为E时,
B变为X=A-1B.
42
2 2
( A, B)   2 1

 1 2

1
1 1
( r1  r2  r3 )  1
3
 0 3 0
r2  2 r1 
0 3 3
r3  r1

1
~

 1 1 1 1
r2 ( 3) 
0 1 0  2
r3 3 
3

5
0 1 1 
3

~
4
2 0 3

2 4 2 
1 3 
2 3 

5 5 
1
 1 0 0 2
3 
3
 r1  r3 
2


1
0 1 0 
3
 r3  r2 
5 
  0 0 1 1
3 
~
4
3

1

2

3
43
2

1 0 0 3

2

( A, B ) ~ 0 1 0 

3

 0 0 1 1

4
3

1

2

3
因有A~E, 故a1,a2,a3是R3的一个基, 且
b1,b2在基a1,a2,a3中的坐标依次为
2 2
4 2
,  , 1和 ,1,
3 3
3 3
44
例25 在R3中取定一个基a1,a2,a3, 再取一个
新基b1,b2,b3, 设A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3). 求
用a1,a2,a3表示b1,b2,b3的表示式(基变换公式
), 并求向量在两个基中的坐标之间的关系
式(坐标变换公式).
解 (a1,a2,a3)=(e1,e2,e3)A,
(e1,e2,e3)=(a1,a2,a3)A-1.
故
(b1,b2,b3)=(e1,e2,e3)B=(a1,a2,a3)A-1B,
即基变换公式为(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P
P=A-1B称为从旧基到新基的过渡矩阵.
45
设向量x在旧基和新基中的坐标分别为
y1,y2,y3和z1,z2,z3, 即
 y1 
 z1 




x  (a1 , a2 , a3 ) y2 , x  (b1 , b2 , b3 ) z2 ,
 
 
y 
z 
 3
 3
 y1 
 z1 
 z1 
 y1 
 y1 








1 
1 
A y2  B z 2 ,  z 2  B A y2  P y2
 
 
 
 
 
y 
z 
z 
y 
y 
 3
 3
 3
 3
 3
46
作业
第110页开始
习题四
第28,36题
47