Transcript 等差数列及其前n项和

1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关
系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定
*)
a
－a
＝d(n∈N
n
义的表达式为 n＋1
.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公
式为a ＝ a1＋(n－1)d .
n
[思考探究1]
已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？
提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
3.等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是
A＝
.
[思考探究2]
三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；
四数成等差数列呢？
提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
4.等差数列的前n项和公式
已知条件
选取公式
首项和公差
首项和末项
1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，
则其公差d＝
(
A.－
B.
C.
D.
)
解析：a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋45d＝70，d＝
答案：D
.
2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于
A.4
B.5
C.6
D.7
(
解析：∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝12，则a5＝6.
答案：C
)
3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8
项的和为
(
A.128
B.80
C.64
D.56
解析：由
a1+d=3,
解得a1＝1，d＝2，
a1+6d=13,
∴S8＝8a1＋
答案：C
d＝64.
)
4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之
和为30，则其公差为
.
解析：由题意知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
①
a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
②
②－①：5d＝15，∴d＝3.
答案：3
5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列
中乘积是负值的相邻两项为
.
解析：由已知得an＋1－an＝－
，a1＝15，
∴an＝a1＋(n－1)d＝15－
(n－1)＝
，
显然a23＞0，a24＜0.
∴该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.
答案：第23项与第24项
1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：
(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)
(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).
2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：
(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an
＝An＋B，则{an}是等差数列；
(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形
式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.
[特别警示]
若说明一个数列不是等差数列，则只需找
到其中连续三项不是等差数列即可.
已知数列{an}中，a1＝
n∈N*)，数列{bn}满足bn＝
，an＝2－
(n≥2，
(n∈N*).
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.
[思路点拨]
[课堂笔记]
＝
(1)证明：∵an＝2－
(n≥2，n∈N*)，bn
.
∴n≥2时，
bn－bn－1＝
－
＝
＝
＝1.
又b1＝
，
∴数列{bn}是以－
为首项，以1为公差的等差数列.
(2)由(1)知，bn＝n－
，则an＝1＋
设函数f(x)＝1＋
，
易知f(x)在区间(－∞， )和(
＝1＋
，
，＋∞)内为减函数，
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大
值3.
1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn
＝
＝na1＋
d，共涉及五个量a1，an，
d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程
的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换
作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示
已知和未知是常用方法.
[特别警示]
等差数列.
因为
＝
n＋a1－
，故数列{
}是
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得
为数列{an}中的项.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，
则
.
由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，
因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.
又由S7＝7得7a1＋
d＝7.
联立①②解得a1＝－5，d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，
前n项和Sn＝n2－6n.
①
②
(2)＝
.
令2m－3＝t，
因为t是奇数，
－6，
∈N，所以t可取的值为±1.
当t＝1，m＝2时，t＋
－6＝3，
2×5－7＝3是数列{an}中的项；
t＝－1，m＝1时，t＋
－6＝－15，
数列{an}中的最小项是－5不符合.
所以满足条件的正整数m＝2.
若将“
，S7＝7”改为“S10＝30，S20
＝50”，求通项an和S30的值.
解：由题意得
解之得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－
S30＝30a1＋
n＋
d＝60.
，
1.等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.
若d<0，则数列递减.
若d＝0，则数列为常数列.
2.等差数列的简单性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝
d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).
(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、
p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).
(2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项
和为Sn.已知am－1＋am＋1－
[思路点拨]
＝0，S2m－1＝38，求m的值.
[课堂笔记]
由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am
＝0或2.又由S2m－1＝
×(2m－1)＝38且2am＝a1
＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，则有2m－1＝19，m
＝10.
若将“am－1＋am＋1－
＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，
如何求a3＋a4.
解：∵数列{an}为等差数列，
∴S6＝
∴a3＋a4＝
＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，
S6＝
×72＝24.
高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题
中考查等差数列的判断或证明；（2）在选择题、填
空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，
a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择
题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高
考命题的一个新方向.
[考题印证]
(2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5
＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得
Sn达到最大值的n是
(
A.21
B.20
C.19
D.18
)
【解析】
∵{an}为等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，
d＝a4－a3＝33－35＝－2，
∴{an}是递减数列.
an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，
an≥0，－2n＋41≥0，n≤
，
∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，
∴n＝20时，Sn最大.
【答案】
B
[自主体验]
已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n
项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝
{bn}的前n项和的最小值.
an－30，求数列
解：∵2an＋1＝an＋an＋2，
∴{an}为等差数列，
设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.
由a3＝10，S6＝72，得
∴
则bn＝
∴an＝4n－2，
an－30＝2n－31.
由
得
≤n≤
∵n∈N*，∴n＝15.
∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，
可知b1＝－29，d＝2，
∴T15＝
＝－225.
.
1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3
＝0，则公差d＝
(
A.－2
B.－
C.
D.2
)
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－
答案：B
.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
(
A.13
B.35
C.49
D.63
解析：由等差数列的性质得S7＝
＝49.
答案：C
)
3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使
前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是
A.4或5
B.5或6
C.6或7
D.8或9
(
)
解析：法一：∵d＜0，|a3|＝|a9|，
∴a3＋a9＝0，∴a1＋5d＝0，∴a1＝－5d.
∴Sn＝na1＋
＝
(n－
d＝
)2－
n2－
n
d.
∵d＜0，∴当n＝5或6时，Sn最大.
法二：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3＋a9
＝0，即2a6＝0，∴a6＝0，
故数列{an}的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.
从而前5项或前6项的和最大.
答案：B
4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6，
则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
解析：
答案：2∶1
.
＝2.
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对
任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.
(1)求c，an；
(2)若kn＝
，求数列{kn}的前n项和Tn.
解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，
∴Sn＝n2＋c
a1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3，
a3＝S3－S2＝5，
又∵{an}为等差数列，
∴6＋c＝6，c＝0，
d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)kn＝
，
Tn＝
①
②
①－②得
Tn＝
(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.
(1)若存在一个实数λ，使得数
列为等差数列，
请求出λ的值；
(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)假设存在实数λ符合题意，
则
必为与n无关的常数，
∵
要使
则
是与n无关的常数，
＝0，得λ＝－1.
故存在实数λ＝－1.使得数列
为等差数列.
(2)由(1)可得
＝1，
∴d＝1，且首项为
∴
＝2＋(n－1)＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).
＝2，
令bn＝(n＋1)2n且前n项和为Tn，
∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，
2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，
①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1
＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1
＝2n＋1－(n＋1)2n＋1
＝－n·2n＋1，
∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.
①
②